Les fractions en 5ème ne représentent pas seulement des morceaux d’un gâteau. L’écriture \(\frac{a}{b}\) désigne le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). Elle peut exprimer un partage, une mesure, un rapport ou le résultat exact d’une division.
Cette leçon consolide le quotient, explique pourquoi plusieurs écritures peuvent désigner le même nombre et propose des méthodes de comparaison adaptées aux données. L’objectif n’est pas d’appliquer toujours le même procédé, mais de choisir le plus court sans perdre la justification.
Une fraction est un nombre et un quotient
Écriture fractionnaire
Si \(a\) et \(b\) sont des nombres et si \(b\neq0\), la fraction \(\frac{a}{b}\) désigne le quotient de \(a\) par \(b\). Le nombre \(a\) est le numérateur ; \(b\) est le dénominateur.
Le dénominateur ne peut pas être nul, car aucun nombre multiplié par \(0\) ne peut produire un numérateur non nul. En revanche, le numérateur peut être nul : \(\frac{0}{7}=0\).
Dans un partage, le dénominateur indique le nombre de parts égales dans une unité et le numérateur le nombre de parts prises. Cette image est utile, mais elle ne doit pas enfermer la fraction entre \(0\) et \(1\) : \(\frac{9}{4}\) est un nombre supérieur à \(2\).
Plusieurs représentations du même nombre
Une fraction peut être représentée par une bande, un point sur une droite graduée, une division ou une écriture décimale lorsque celle-ci est finie. Passer d’une représentation à l’autre renforce le sens du nombre.
| Fraction | Division | Écriture décimale | Lecture |
|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(1\div2\) | \(0,5\) | un demi |
| \(\frac{3}{4}\) | \(3\div4\) | \(0,75\) | trois quarts |
| \(\frac{7}{2}\) | \(7\div2\) | \(3,5\) | sept demis |
Toutes les fractions n’ont pas une écriture décimale finie. \(\frac{1}{3}\) donne \(0,333\ldots\), mais la fraction reste une valeur exacte. Une calculatrice fournit parfois une approximation ; elle ne remplace pas l’écriture exacte.
Construire des fractions égales
Propriété fondamentale du quotient
On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Multiplier les deux termes revient à découper chaque part en un même nombre de sous-parts. La quantité totale reste inchangée. Diviser les deux termes regroupe au contraire des sous-parts, ce qui permet de simplifier.
Erreur fréquente : ajouter le même nombre au numérateur et au dénominateur ne conserve pas la fraction. Par exemple, \(\frac{1}{2}\neq\frac{2}{3}\).
Simplifier jusqu’à une fraction irréductible
Simplifier une fraction consiste à diviser son numérateur et son dénominateur par un diviseur commun supérieur à \(1\). Une fraction est irréductible lorsque ses deux termes n’ont plus d’autre diviseur commun que \(1\).
On peut simplifier en une seule fois si le diviseur commun est repéré, ou en plusieurs étapes. Les deux chemins donnent la même fraction irréductible. Les critères de divisibilité et la recherche de diviseurs accélèrent ce choix.
Le signe moins peut être placé devant la fraction, au numérateur ou au dénominateur : \(-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}=\frac{3}{-5}\). Pour une écriture claire, on préfère généralement le signe devant la barre ou au numérateur.
Comparer : choisir la méthode adaptée
Comparer des fractions ne demande pas toujours de les mettre au même dénominateur. Il faut d’abord observer leur structure.
Même dénominateur
Les parts ont la même taille : la fraction qui en prend le plus grand nombre est la plus grande. Ainsi \(\frac{7}{11}>\frac{4}{11}\).
Même numérateur positif
On prend le même nombre de parts. Plus les parts sont petites, moins la quantité est grande : \(\frac{5}{8}<\frac{5}{6}\).
Comparaison à \(1\)
Si le numérateur positif est inférieur au dénominateur, la fraction est inférieure à \(1\). S’il est supérieur, la fraction est supérieure à \(1\). On sait donc immédiatement que \(\frac{7}{9}<\frac{11}{8}\).
Réduire au même dénominateur quand c’est nécessaire
Pour comparer \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{5}{6}\), aucune observation immédiate ne suffit. On cherche un dénominateur commun, ici \(12\), puis on construit des fractions égales.
Le produit des dénominateurs fournit toujours un dénominateur commun, mais ce n’est pas forcément le plus petit. Un multiple commun plus petit réduit les calculs et les risques d’erreur.
Erreur fréquente : pour obtenir le dénominateur \(12\), il faut multiplier aussi le numérateur. Écrire \(\frac{3}{4}=\frac{3}{12}\) change la valeur.
Placer une fraction sur une droite graduée
Pour placer \(\frac{7}{4}\), on partage chaque unité en quatre intervalles égaux. Comme \(\frac{7}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=1+\frac{3}{4}\), le point se situe entre \(1\) et \(2\), au troisième quart après \(1\).
La décomposition en partie entière et fraction de l’unité est souvent plus parlante qu’une division posée. Elle aide à encadrer : \(1<\frac{7}{4}<2\).
Les bases visuelles et le vocabulaire du numérateur et du dénominateur sont repris du cours de fractions en 6ème, puis élargis ici au quotient et aux nombres supérieurs à l’unité.
Fraction d’une quantité : multiplier par un quotient
Prendre \(\frac{3}{5}\) de \(40\) signifie partager \(40\) en \(5\) parts égales puis en prendre \(3\). On peut diviser d’abord puis multiplier.
On peut aussi multiplier \(40\) par \(3\), puis diviser par \(5\). Le premier chemin est souvent plus simple lorsque le dénominateur divise la quantité. Dans un problème, il faut enfin formuler l’unité du résultat : ici \(24\) élèves, \(24\) euros ou \(24\) kilomètres selon le contexte.
Une fraction entre deux entiers : méthode d’encadrement
Pour encadrer \(\frac{23}{6}\), on cherche les multiples de \(6\) voisins de \(23\). On a \(18<23<24\), donc \(\frac{18}{6}<\frac{23}{6}<\frac{24}{6}\), soit \(3<\frac{23}{6}<4\).
Cette écriture donne simultanément la partie entière, la position sur la droite graduée et un contrôle de la division décimale. Comme \(\frac56<1\), la valeur est bien comprise entre \(3\) et \(4\).
Pour une fraction négative, l’ordre demande plus d’attention. Puisque \(3<\frac{23}{6}<4\), prendre les opposés inverse les inégalités : \(-4<-\frac{23}{6}<-3\).
Comparer sans dénominateurs trop grands
Comparer \(\frac{49}{50}\) et \(\frac{97}{100}\) par un dénominateur commun est simple : \(\frac{49}{50}=\frac{98}{100}\), donc \(\frac{49}{50}>\frac{97}{100}\). Mais on peut aussi comparer les écarts à \(1\).
La première fraction est moins éloignée de \(1\), donc elle est plus grande. Cette stratégie est particulièrement efficace pour des fractions proches de \(1\).
Pour \(\frac{101}{99}\) et \(\frac{52}{51}\), les deux fractions dépassent \(1\). On compare alors leurs excès : \(\frac2{99}\) et \(\frac1{51}\). Le choix d’un repère comme \(0\), \(\frac12\), \(1\) ou un entier voisin peut éviter des produits inutiles.
Fractions 5ème : l’essentiel à retenir
Les fractions en 5ème sont des nombres définis par un quotient. Les fractions égales conservent la même valeur, la simplification utilise un diviseur commun, et la comparaison doit commencer par l’observation avant la mise au même dénominateur.
Ces apprentissages, précisés dans le programme officiel de mathématiques du cycle 4, donnent le sens nécessaire avant d’aborder l’addition et la soustraction de fractions.