Ces exercices corrigés sur la médiatrice d’un segment en 6ème font utiliser sa définition, la propriété d’équidistance et sa construction à la règle et au compas. Le cours sur la médiatrice distingue soigneusement définition, propriété directe et réciproque. Cette série complète la géométrie du parcours de mathématiques de 6ème.
Reconnaître et utiliser la médiatrice
La médiatrice est la droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu.
Exercice 1 : Vérifier une définition
Facile
La droite d passe par le milieu I de \([AB]\), mais elle n’est pas perpendiculaire à \((AB)\).
- d est-elle la médiatrice de \([AB]\) ?
- a. Quelle condition est vérifiée ? b. Quelle condition manque ?
Indication
Deux conditions sont nécessaires simultanément.
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- Question 1. Non.
- Question 2. a. La droite passe par le milieu du segment. b. Elle doit aussi être perpendiculaire à \((AB)\).
Exercice 2 : Appliquer la propriété d’équidistance
Facile
Le point M appartient à la médiatrice de \([CD]\) et \(MC=7,2\) cm.
- Calculer MD.
- Nommer la propriété utilisée.
- Que peut-on dire du triangle MCD ?
Indication
Tout point de la médiatrice est à égale distance des extrémités.
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- Question 1. \(MD=MC=7,2\) cm.
- Question 2. La propriété d’équidistance de la médiatrice.
- Question 3. Le triangle MCD est isocèle en M.
Exercice 3 : Utiliser la réciproque
Moyen
On sait que \(PA=PB=5\) cm.
- Quelle information de l’énoncé faut-il exploiter en premier dans « utiliser la réciproque » ?
- Que peut-on conclure sur P ?
- Quelle propriété utilise-t-on ?
- Cette conclusion impose-t-elle que P soit le milieu de \([AB]\) ?
Indication
Un point équidistant des extrémités appartient à la médiatrice.
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- Question 1. Un point équidistant des extrémités appartient à la médiatrice.
- Question 2. P appartient à la médiatrice de \([AB]\).
- Question 3. La réciproque de la propriété d’équidistance.
- Question 4. Non, P peut être n’importe où sur la médiatrice.
Construire une médiatrice au compas
Deux arcs de même rayon, centrés aux extrémités, donnent deux points équidistants.
Exercice 4 : Rédiger les étapes de construction
Facile
On veut construire la médiatrice de \([EF]\) sans mesurer son milieu.
- Où placer la pointe du compas ?
- a. Quelle condition choisir pour le rayon ? b. Que tracer après les deux intersections ?
Indication
Le rayon doit être identique depuis E et F et assez grand pour que les arcs se coupent.
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- Question 1. Successivement en E puis en F.
- Question 2. a. Un même rayon strictement supérieur à la moitié de EF. b. La droite passant par les deux intersections des arcs.
Exercice 5 : Expliquer pourquoi la construction fonctionne
Moyen
Les arcs de centres A et B se coupent en R et S.
- Pourquoi \(RA=RB\) ?
- Pourquoi \(SA=SB\) ?
- Pourquoi la droite \((RS)\) est-elle la médiatrice de \([AB]\) ?
Indication
Les rayons des arcs ont été conservés identiques.
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- Question 1. R appartient aux deux cercles de même rayon.
- Question 2. Même raisonnement pour S.
- Question 3. R et S sont deux points de la médiatrice ; la droite qui les joint est cette médiatrice.
Résoudre des lieux géométriques et problèmes
La médiatrice décrit tous les emplacements équidistants de deux points.
Exercice 6 : Placer un lampadaire à égale distance
Moyen
Deux entrées A et B doivent être éclairées par un lampadaire situé à la même distance des deux.
- Quelle première étape permet d’aborder « placer un lampadaire à égale distance » sans tâtonner ?
- Sur quelle ligne doit se trouver le lampadaire ?
- Combien d’emplacements sont possibles sans autre contrainte ?
- Que faut-il ajouter pour obtenir un emplacement unique ?
Indication
Une égalité de distances définit un ensemble de points, pas un point unique.
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- Question 1. Une égalité de distances définit un ensemble de points, pas un point unique.
- Question 2. Sur la médiatrice de \([AB]\).
- Question 3. Une infinité d’emplacements.
- Question 4. Une autre contrainte, par exemple appartenir à une allée donnée.
Exercice 7 : Intersection de deux médiatrices
Difficile
Dans un triangle ABC, le point O est à l’intersection des médiatrices de \([AB]\) et \([AC]\).
- Comparer OA et OB.
- a. Comparer OA et OC. b. En déduire une relation entre OB et OC.
Indication
Appliquez deux fois la propriété d’équidistance.
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- Question 1. \(OA=OB\).
- Question 2. a. \(OA=OC\). b. Donc \(OB=OC\) ; O est équidistant des trois sommets.
Exercice 8 : Détecter une conclusion insuffisante
Difficile
Léo affirme : « La droite d est perpendiculaire à \((MN)\), donc d est la médiatrice de \([MN]\). »
- Pourquoi le raisonnement est-il incomplet ?
- Quelle information faut-il vérifier ?
- Donner une formulation correcte.
Indication
De nombreuses droites sont perpendiculaires à une même droite.
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- Question 1. La perpendicularité seule ne fixe pas la position de d.
- Question 2. Il faut vérifier que d passe par le milieu de \([MN]\).
- Question 3. Si d est perpendiculaire à \((MN)\) et passe par le milieu de \([MN]\), alors d en est la médiatrice.
Exercice 9 : Classer des points grâce aux distances
Difficile
Pour un segment \([AB]\), on mesure : \(MA=4,2\) cm et \(MB=4,2\) cm ; \(NA=3,8\) cm et \(NB=4,1\) cm.
- Quelle information de l’énoncé faut-il exploiter en premier dans « classer des points grâce aux distances » ?
- Que peut-on affirmer sur le point \(M\) ?
- Le point \(N\) appartient-il à la médiatrice de \([AB]\) ?
- La seule observation d’un dessin suffit-elle pour conclure ?
Indication
Un point appartient à la médiatrice si et seulement s’il est à égale distance de \(A\) et de \(B\).
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- Question 1. Un point appartient à la médiatrice si et seulement s’il est à égale distance de \(A\) et de \(B\).
- Question 2. Comme \(MA=MB\), \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
- Question 3. Non, car \(NA\ne NB\).
- Question 4. Non, il faut utiliser une mesure ou une propriété démontrée.