Géométrie 6ème : 11 exercices corrigés sur points, segments et cercles

Ces exercices corrigés de géométrie en 6ème consolident les notations de point, droite, demi-droite et segment, la notion de distance, l’appartenance à un cercle et les constructions à la règle et au compas. Le vocabulaire précis est expliqué dans le cours de géométrie 6ème. La page complète le parcours de mathématiques de 6ème.

Utiliser les notations de géométrie

Les parenthèses, crochets et demi-crochets ne désignent pas les mêmes objets.

Exercice 1 : Traduire une notation

Facile

On considère deux points distincts A et B.

  1. Que désigne \((AB)\) ?
  2. Que désigne \([AB]\) ?
  3. Que désigne \([AB)\) ?
Indication

Distinguez l’objet infini des objets qui ont une ou deux extrémités.

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  1. Question 1. La droite passant par A et B.
  2. Question 2. Le segment d’extrémités A et B.
  3. Question 3. La demi-droite d’origine A passant par B.

Exercice 2 : Appartenance et alignement

Facile

Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre, avec \(AC=3\) cm et \(CB=5\) cm.

  1. Quelle donnée faut-il repérer en premier dans « appartenance et alignement » ?
  2. Écrire une relation d’appartenance pour C.
  3. Calculer AB.
  4. Le point C appartient-il à la demi-droite \([BA)\) ?
Indication

Le segment AB contient tous les points situés entre A et B.

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  1. Question 1. Le segment AB contient tous les points situés entre A et B.
  2. Question 2. \(C\in[AB]\).
  3. Question 3. \(AB=AC+CB=8\) cm.
  4. Question 4. Oui, en partant de B vers A, on rencontre C.

Exercice 3 : Milieu d’un segment

Facile

Le point I appartient à \([MN]\), avec \(MN=9,6\) cm et \(MI=4,8\) cm.

  1. Calculer IN.
  2. a. I est-il le milieu de \([MN]\) ? b. Donner les deux conditions de la définition.
Indication

Un milieu appartient au segment et partage sa longueur en deux parts égales.

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  1. Question 1. \(IN=9,6-4,8=4,8\) cm.
  2. Question 2. a. Oui. b. \(I\in[MN]\) et \(MI=IN\).

Cercle, disque, rayon et diamètre

Le cercle est la frontière ; le disque contient aussi tous les points intérieurs.

Exercice 4 : Classer des points par leur distance au centre

Facile

Un cercle a pour centre O et pour rayon \(4\) cm. On a \(OA=4\) cm, \(OB=2,5\) cm et \(OC=5,2\) cm.

  1. Quel point appartient au cercle ?
  2. Quel point appartient au disque sans appartenir au cercle ?
  3. Quel point est extérieur au disque ?
Indication

Comparez chaque distance au rayon.

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  1. Question 1. A appartient au cercle.
  2. Question 2. B est à l’intérieur du disque.
  3. Question 3. C est extérieur au disque.

Exercice 5 : Rayon et diamètre

Facile

Un cercle a un diamètre de \(13\) cm.

  1. Quelle donnée faut-il repérer en premier dans « rayon et diamètre » ?
  2. Calculer son rayon.
  3. Un segment de \(13\) cm joignant deux points du cercle est-il toujours un diamètre ?
  4. Quelle condition supplémentaire faut-il vérifier ?
Indication

Un diamètre est une corde qui passe par le centre.

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  1. Question 1. Un diamètre est une corde qui passe par le centre.
  2. Question 2. Le rayon vaut \(13\div2=6,5\) cm.
  3. Question 3. Non.
  4. Question 4. Le segment doit passer par le centre du cercle.

Résoudre des problèmes de construction

Un cercle représente l’ensemble des points situés à une distance donnée de son centre.

Exercice 6 : Placer un point à deux distances données

Moyen

On cherche les points P tels que \(PA=4\) cm et \(PB=3\) cm, où \(AB=5\) cm.

  1. Quel cercle représente la première condition ?
  2. a. Quel cercle représente la seconde ? b. Où se trouvent les solutions ?
Indication

Chaque condition de distance définit un cercle.

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  1. Question 1. Le cercle de centre A et rayon \(4\) cm.
  2. Question 2. a. Le cercle de centre B et rayon \(3\) cm. b. Les solutions sont les points d’intersection des deux cercles.

Exercice 7 : Construire un point sous contrainte de demi-plan

Moyen

Construire C tel que \(AC=5\) cm, \(BC=4\) cm et C soit au-dessus de la droite \((AB)\), avec \(AB=6\) cm.

  1. Décrire les arcs à tracer.
  2. Pourquoi obtient-on généralement deux intersections ?
  3. Comment choisir C ?
Indication

La dernière indication sélectionne l’une des deux solutions symétriques.

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  1. Question 1. Arc de centre A rayon \(5\) cm et arc de centre B rayon \(4\) cm.
  2. Question 2. Les cercles se coupent de part et d’autre de \((AB)\).
  3. Question 3. On choisit l’intersection située au-dessus de \((AB)\).

Exercice 8 : Corriger une confusion entre cercle et disque

Difficile

Sam écrit : « Tous les points situés à moins de \(3\) cm de O appartiennent au cercle de centre O et de rayon \(3\) cm. »

  1. Quelle relation ou représentation organise la résolution de « corriger une confusion entre cercle et disque » ?
  2. Cette phrase est-elle vraie ?
  3. Quel objet contient ces points ?
  4. Réécrire la définition correcte du cercle.
Indication

Sur le cercle, la distance au centre est exactement égale au rayon.

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  1. Question 1. Sur le cercle, la distance au centre est exactement égale au rayon.
  2. Question 2. Non.
  3. Question 3. Ces points appartiennent à l’intérieur du disque de centre O et de rayon \(3\) cm.
  4. Question 4. Le cercle est l’ensemble des points situés exactement à \(3\) cm de O.

Distances, lieux de points et précision des notations

Ces exercices combinent propriétés métriques, intersections de cercles et lecture rigoureuse du vocabulaire géométrique.

Exercice 9 : Utiliser l’addition des longueurs

Moyen

Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés dans cet ordre. On sait que \(AC=12,8\) cm et \(AB=4,9\) cm.

  1. Écrire la relation entre les trois longueurs.
  2. a. Calculer \(BC\). b. Le point \(B\) est-il le milieu de \([AC]\) ?
Indication

Comme \(B\in[AC]\), on a \(AB+BC=AC\).

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  1. Question 1. \(AB+BC=AC\).
  2. Question 2. a. \(BC=12,8-4,9=7,9\) cm. b. Non, car \(AB\ne BC\).

Exercice 10 : Trouver un point à deux distances fixées

Moyen

Deux points \(A\) et \(B\) sont distants de \(6\) cm. On cherche les points situés à \(4\) cm de \(A\) et à \(5\) cm de \(B\).

  1. Quel cercle représente la première condition ?
  2. Quel cercle représente la seconde ?
  3. Où se trouvent les solutions ?
Indication

Une distance fixée à un point décrit un cercle.

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  1. Question 1. Le cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\) cm.
  2. Question 2. Le cercle de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm.
  3. Question 3. Les solutions sont les points d’intersection des deux cercles.

Exercice 11 : Corriger des notations géométriques

Difficile

Un élève écrit : « la droite \([AB]\) mesure \(5\) cm et \(C\in AB\) ».

  1. Avant de calculer, quelle stratégie convient pour l’exercice « corriger des notations géométriques » ?
  2. Pourquoi \([AB]\) n’est-il pas une droite ?
  3. Quelle notation permet de parler de sa longueur ?
  4. Comment écrire correctement que \(C\) appartient à la droite passant par \(A\) et \(B\) ?
Indication

Distinguez la droite, le segment et la longueur du segment.

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  1. Question 1. Distinguez la droite, le segment et la longueur du segment.
  2. Question 2. \([AB]\) désigne le segment ; la droite se note \((AB)\).
  3. Question 3. La longueur s’écrit \(AB=5\) cm.
  4. Question 4. On écrit \(C\in(AB)\).
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