Ces exercices corrigés sur les triangles en 6ème font identifier sommets et côtés, reconnaître les triangles isocèles, équilatéraux et rectangles, vérifier si une construction est possible et rédiger des programmes au compas. Les propriétés et méthodes sont rassemblées dans le cours sur les triangles. La série s’inscrit dans les mathématiques de 6ème.
Vocabulaire et triangles particuliers
Les codages de longueurs et d’angles permettent de reconnaître une figure sans se fier à son apparence.
Exercice 1 : Nommer côtés et sommets
Facile
On considère le triangle RST.
- Quel vocabulaire ou quelle information permet de commencer « nommer côtés et sommets » ?
- Quel côté est opposé au sommet R ?
- Quels côtés ont le sommet S en commun ?
- Donner trois noms possibles du triangle.
Indication
Un côté opposé à un sommet ne contient pas ce sommet.
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- Question 1. Un côté opposé à un sommet ne contient pas ce sommet.
- Question 2. Le côté opposé à R est \([ST]\).
- Question 3. Les côtés sont \([SR]\) et \([ST]\).
- Question 4. RST, STR et TRS, par exemple.
Exercice 2 : Reconnaître un triangle à partir des codages
Facile
Dans le triangle ABC, on sait que \(AB=AC\) et \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
- Quelle propriété donne \(AB=AC\) ?
- a. Quelle propriété donne l’angle de \(90^\circ\) ? b. Nommer complètement le triangle.
Indication
Deux qualificatifs peuvent s’appliquer simultanément.
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- Question 1. Le triangle est isocèle en A.
- Question 2. a. Il est rectangle en A. b. ABC est rectangle isocèle en A.
Exercice 3 : Propriétés du triangle équilatéral
Facile
Le triangle MNP est équilatéral et \(MN=5,4\) cm.
- Donner les longueurs MP et NP.
- Donner la mesure de chacun de ses angles.
- Calculer son périmètre.
Indication
Dans un triangle équilatéral, les trois côtés et les trois angles sont égaux.
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- Question 1. \(MP=NP=5,4\) cm.
- Question 2. Chaque angle mesure \(60^\circ\).
- Question 3. \(3\times5,4=16,2\) cm.
Vérifier et réaliser une construction de triangle
La somme de deux longueurs doit être strictement supérieure à la troisième pour former un triangle non aplati.
Exercice 4 : Tester l’existence d’un triangle
Moyen
On propose trois séries de longueurs.
- Quel point de méthode faut-il vérifier avant de traiter « tester l’existence d’un triangle » ?
- Peut-on construire \(3\) cm, \(4\) cm, \(6\) cm ?
- Peut-on construire \(2\) cm, \(5\) cm, \(8\) cm ?
- Peut-on construire \(3\) cm, \(4\) cm, \(7\) cm comme triangle non aplati ?
Indication
Comparez la plus grande longueur à la somme des deux autres.
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- Question 1. Comparez la plus grande longueur à la somme des deux autres.
- Question 2. Oui, car \(3+4>6\).
- Question 3. Non, car \(2+5<8\).
- Question 4. Non comme triangle non aplati, car \(3+4=7\).
Exercice 5 : Construction avec trois longueurs
Moyen
Construire ABC avec \(AB=7\) cm, \(AC=5\) cm et \(BC=4\) cm.
- Quel segment tracer d’abord ?
- a. Quels cercles ou arcs tracer ? b. Pourquoi leur intersection donne-t-elle C ?
Indication
Le point C doit être à la fois à \(5\) cm de A et à \(4\) cm de B.
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- Question 1. Tracer \([AB]\) de \(7\) cm.
- Question 2. a. Tracer un arc de centre A, rayon \(5\) cm, et un arc de centre B, rayon \(4\) cm. b. Leur intersection vérifie simultanément \(AC=5\) cm et \(BC=4\) cm.
Exercice 6 : Construction d’un triangle isocèle
Moyen
Construire DEF isocèle en D avec \(EF=6\) cm et \(DE=5\) cm.
- Quelle autre longueur connaît-on ?
- Décrire les deux arcs à tracer.
- Combien de positions de D sont possibles si aucun demi-plan n’est imposé ?
Indication
Isocèle en D signifie que les deux côtés issus de D sont égaux.
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- Question 1. \(DF=DE=5\) cm.
- Question 2. Tracer des arcs de centres E et F, tous deux de rayon \(5\) cm.
- Question 3. Deux positions, symétriques par rapport à la droite \((EF)\).
Programmes de construction et problèmes
Les exercices de synthèse combinent longueurs, angles et justification de l’unicité de la figure.
Exercice 7 : Triangle défini par deux côtés et un angle
Difficile
Construire GHI tel que \(GH=6\) cm, \(GI=4\) cm et \(\widehat{HGI}=70^\circ\).
- Quelle propriété faut-il identifier pour résoudre « triangle défini par deux côtés et un angle » ?
- Rédiger les trois étapes principales.
- Quel instrument fixe l’angle ?
- Quel instrument fixe la longueur GI ?
Indication
Tracez d’abord le côté GH, puis une demi-droite d’origine G.
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- Question 1. Tracez d’abord le côté GH, puis une demi-droite d’origine G.
- Question 2. Tracer GH, construire en G un angle de \(70^\circ\), puis placer I à \(4\) cm de G sur la demi-droite.
- Question 3. Le rapporteur fixe l’angle.
- Question 4. Le compas ou la règle graduée fixe GI.
Exercice 8 : Corriger un programme incomplet
Difficile
Programme proposé : « Tracer \([JK]\) de \(8\) cm. Tracer un cercle de centre J et rayon \(5\) cm. Choisir L sur ce cercle. » On souhaite \(JL=5\) cm et \(KL=6\) cm.
- Quelle condition est déjà garantie ?
- a. Quelle étape manque ? b. Donner le programme corrigé.
Indication
Le point L doit vérifier deux distances en même temps.
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- Question 1. Le cercle de centre J garantit \(JL=5\) cm.
- Question 2. a. Il manque le cercle de centre K et de rayon \(6\) cm. b. Tracer JK, les deux cercles, puis choisir L à l’une de leurs intersections.
Propriétés, longueurs manquantes et constructions possibles
Cette dernière partie demande de justifier les propriétés utilisées avant de réaliser ou d’écarter une construction.
Exercice 9 : Retrouver un côté avec le périmètre
Facile
Un triangle a un périmètre de \(23,5\) cm. Deux côtés mesurent \(8,2\) cm et \(6,7\) cm.
- Écrire le calcul donnant le troisième côté.
- Calculer sa longueur.
- Vérifier que cette longueur permet de construire le triangle.
Indication
Le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.
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- Question 1. \(23,5-8,2-6,7\).
- Question 2. Le troisième côté mesure \(8,6\) cm.
- Question 3. \(8,6<8,2+6,7=14,9\), donc la construction est possible.
Exercice 10 : Déduire des longueurs dans un triangle particulier
Moyen
Le triangle \(MNP\) est isocèle en \(M\), avec \(MN=5,4\) cm et \(NP=7\) cm.
- Quel point de méthode faut-il vérifier avant de traiter « déduire des longueurs dans un triangle particulier » ?
- Quelle autre longueur connaît-on immédiatement ?
- Calculer le périmètre.
- Le triangle est-il équilatéral ?
Indication
Dans un triangle isocèle en \(M\), les côtés issus de \(M\) sont égaux.
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- Question 1. Dans un triangle isocèle en \(M\), les côtés issus de \(M\) sont égaux.
- Question 2. \(MP=MN=5,4\) cm.
- Question 3. \(5,4+5,4+7=17,8\) cm.
- Question 4. Non, car \(NP=7\) cm est différent de \(5,4\) cm.
Exercice 11 : Construire à partir de trois longueurs
Moyen
Construire un triangle \(RST\) tel que \(RS=6\) cm, \(RT=4,5\) cm et \(ST=7\) cm.
- Quel segment tracer en premier ?
- a. Quels cercles ou arcs tracer ensuite ? b. Pourquoi obtient-on deux positions possibles pour \(T\) ?
Indication
Le point recherché doit être à deux distances fixées de \(R\) et de \(S\).
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- Question 1. On peut commencer par \([RS]\) de \(6\) cm.
- Question 2. a. Tracer un arc de centre \(R\) et de rayon \(4,5\) cm, puis un arc de centre \(S\) et de rayon \(7\) cm. b. Les arcs ont deux intersections symétriques par rapport à \((RS)\).
Exercice 12 : Refuser une construction impossible
Difficile
On demande un triangle dont les côtés mesurent \(3\) cm, \(4\) cm et \(7,5\) cm.
- Comparer le plus grand côté à la somme des deux autres.
- Conclure sur la construction.
- Quelle valeur maximale strictement inférieure pourrait remplacer \(7,5\) cm ?
Indication
Pour former un triangle non aplati, le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
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- Question 1. \(7,5>3+4=7\).
- Question 2. La construction est impossible.
- Question 3. Il faut choisir une longueur strictement inférieure à \(7\) cm.