Ces exercices corrigés sur les périmètres et les aires en 6ème apprennent à distinguer longueur du contour et surface, utiliser les formules du carré, du rectangle et du triangle, convertir les unités puis traiter des figures composées. Les méthodes figurent dans le cours sur les périmètres et les aires. La progression fait partie des mathématiques de 6ème.
Calculer le périmètre de figures usuelles
Le périmètre est une longueur : le résultat s’exprime en mm, cm, m ou km.
Exercice 1 : Périmètre d’un carré et d’un rectangle
Facile
Un carré a un côté de \(6,5\) cm. Un rectangle mesure \(8,2\) cm sur \(3,7\) cm.
- Calculer le périmètre du carré.
- Calculer celui du rectangle.
- Quelle figure a le plus grand périmètre ?
Indication
Utilisez \(P=4c\) et \(P=2(L+l)\).
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- Question 1. \(4\times6,5=26\) cm.
- Question 2. \(2\times(8,2+3,7)=23,8\) cm.
- Question 3. Le carré a le plus grand périmètre, de \(2,2\) cm.
Exercice 2 : Longueur manquante d’un rectangle
Moyen
Un rectangle a un périmètre de \(34\) cm et une longueur de \(10,5\) cm.
- Avant de calculer, quelle stratégie convient pour l’exercice « longueur manquante d’un rectangle » ?
- Calculer son demi-périmètre.
- En déduire sa largeur.
- Vérifier avec la formule.
Indication
Le demi-périmètre est égal à longueur + largeur.
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- Question 1. Le demi-périmètre est égal à longueur + largeur.
- Question 2. \(34\div2=17\) cm.
- Question 3. \(17-10,5=6,5\) cm.
- Question 4. \(2\times(10,5+6,5)=34\) cm.
Exercice 3 : Périmètre d’un polygone
Facile
Un pentagone a des côtés de \(3,4\) cm, \(5\) cm, \(2,8\) cm, \(4,6\) cm et \(6,2\) cm.
- Calculer son périmètre.
- a. Convertir le résultat en millimètres. b. Combien manque-t-il pour atteindre \(25\) cm ?
Indication
Additionnez toutes les longueurs du contour une seule fois.
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- Question 1. Le périmètre vaut \(3,4+5+2,8+4,6+6,2=22\) cm.
- Question 2. a. \(22\) cm \(=220\) mm. b. \(25-22=3\) cm.
Calculer et convertir des aires
Une aire s’exprime avec une unité carrée ; chaque changement d’unité multiplie ou divise par \(100\).
Exercice 4 : Aire du carré et du rectangle
Facile
Un carré a un côté de \(9\) cm et un rectangle mesure \(12\) cm sur \(5,5\) cm.
- Calculer l’aire du carré.
- Calculer l’aire du rectangle.
- Calculer la différence des deux aires.
Indication
Utilisez \(A=c\times c\) et \(A=L\times l\).
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- Question 1. \(9\times9=81\) cm².
- Question 2. \(12\times5,5=66\) cm².
- Question 3. \(81-66=15\) cm².
Exercice 5 : Aire d’un triangle
Moyen
Un triangle a une base de \(11\) cm et une hauteur correspondante de \(6\) cm.
- Quelle relation ou représentation organise la résolution de « aire d’un triangle » ?
- Calculer l’aire du rectangle de mêmes base et hauteur.
- En déduire l’aire du triangle.
- Que devient l’aire si la hauteur double ?
Indication
Un triangle occupe la moitié du rectangle associé.
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- Question 1. Un triangle occupe la moitié du rectangle associé.
- Question 2. \(11\times6=66\) cm².
- Question 3. \(66\div2=33\) cm².
- Question 4. Si la hauteur double, l’aire double : \(66\) cm².
Exercice 6 : Conversions d’aires
Moyen
Convertir sans confondre unités de longueur et unités d’aire.
- Convertir \(4,2\) m² en dm².
- a. Convertir \(750\) cm² en dm². b. Convertir \(0,36\) m² en cm².
Indication
Entre deux unités d’aire consécutives, le facteur est \(100\).
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- Question 1. \(4,2\times100=420\) dm².
- Question 2. a. \(750\div100=7,5\) dm². b. \(0,36\times10\,000=3\,600\) cm².
Figures composées et problèmes d’aire
Il faut décomposer la figure en formes simples et conserver des unités cohérentes.
Exercice 7 : Rectangle auquel on retire un carré
Moyen
Une plaque rectangulaire de \(12\) cm sur \(8\) cm est découpée : on retire un carré de côté \(3\) cm dans un coin.
- Calculer l’aire initiale.
- Calculer l’aire retirée.
- Calculer l’aire restante.
Indication
Aire restante = aire du rectangle − aire du carré.
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- Question 1. \(12\times8=96\) cm².
- Question 2. \(3\times3=9\) cm².
- Question 3. \(96-9=87\) cm².
Exercice 8 : Périmètre ou aire d’un jardin
Moyen
Un jardin rectangulaire mesure \(18\) m sur \(12\) m. On veut poser une clôture et semer du gazon.
- Avant de calculer, quelle stratégie convient pour l’exercice « périmètre ou aire d’un jardin » ?
- Quelle longueur de clôture faut-il ?
- Quelle surface doit être semée ?
- Le jardinier dispose de sacs couvrant \(30\) m² : combien en faut-il au minimum ?
Indication
La clôture concerne le contour ; le gazon concerne la surface.
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- Question 1. La clôture concerne le contour ; le gazon concerne la surface.
- Question 2. \(2\times(18+12)=60\) m.
- Question 3. \(18\times12=216\) m².
- Question 4. \(216=30\times7+6\), donc \(8\) sacs.
Exercice 9 : Comparer deux figures de même aire
Difficile
Le rectangle A mesure \(10\) cm sur \(6\) cm. Le rectangle B a une aire identique et une longueur de \(12\) cm.
- Calculer l’aire de A.
- a. Trouver la largeur de B. b. Comparer leurs périmètres.
Indication
Retrouvez la largeur de B par une division, puis calculez les deux contours.
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- Question 1. L’aire de A vaut \(60\) cm².
- Question 2. a. La largeur de B vaut \(60\div12=5\) cm. b. \(P_A=32\) cm et \(P_B=34\) cm : mêmes aires, périmètres différents.
Exercice 10 : Programme de calcul d’une figure en L
Difficile
Une figure en L s’obtient à partir d’un rectangle de \(15\) m sur \(9\) m auquel on retire un rectangle de \(6\) m sur \(4\) m.
- Écrire un calcul unique donnant son aire.
- Calculer cette aire.
- Expliquer pourquoi on ne peut pas soustraire directement les périmètres des deux rectangles.
Indication
Les aires se soustraient, mais certains côtés du rectangle retiré deviennent des côtés du nouveau contour.
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- Question 1. Le calcul est \(15\times9-6\times4\).
- Question 2. \(135-24=111\) m².
- Question 3. Le contour change : les bords de l’encoche doivent être ajoutés, donc une simple différence de périmètres est fausse.
Unités, pavages et comparaison de figures
Ces exercices de synthèse vérifient que périmètre et aire sont bien distingués et que les unités sont rendues compatibles.
Exercice 11 : Calculer avec des unités différentes
Moyen
Un rectangle mesure \(1,8\) m de longueur et \(75\) cm de largeur.
- Quelle relation ou représentation organise la résolution de « calculer avec des unités différentes » ?
- Convertir la longueur en centimètres.
- Calculer le périmètre en centimètres.
- Calculer l’aire en cm² puis en m².
Indication
Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant le calcul.
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- Question 1. Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant le calcul.
- Question 2. \(1,8\) m \(=180\) cm.
- Question 3. \(P=2\times(180+75)=510\) cm.
- Question 4. \(A=180\times75=13\,500\) cm² \(=1,35\) m².
Exercice 12 : Paver le sol d’une pièce
Moyen
Une pièce rectangulaire mesure \(4,8\) m sur \(3,6\) m. On utilise des dalles carrées de \(40\) cm de côté, sans découpe.
- Combien de dalles faut-il sur la longueur ?
- a. Combien en faut-il sur la largeur ? b. Calculer le nombre total de dalles.
Indication
Convertissez les dimensions de la pièce en centimètres.
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- Question 1. \(480\div40=12\) dalles.
- Question 2. a. \(360\div40=9\) dalles. b. \(12\times9=108\) dalles.
Exercice 13 : Même périmètre, aires différentes
Difficile
Deux rectangles ont un périmètre de \(24\) cm. Le premier mesure \(8\) cm sur \(4\) cm ; le second mesure \(7\) cm sur \(5\) cm.
- Vérifier le périmètre de chaque rectangle.
- Calculer leurs aires.
- Que montre cet exemple sur le lien entre périmètre et aire ?
Indication
Deux figures de même périmètre ne recouvrent pas nécessairement la même surface.
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- Question 1. \(2\times(8+4)=24\) cm et \(2\times(7+5)=24\) cm.
- Question 2. Les aires valent \(32\) cm² et \(35\) cm².
- Question 3. Un même périmètre peut correspondre à des aires différentes.