Proportionnalité 6ème : 12 exercices corrigés et progressifs

Ces exercices corrigés de proportionnalité en 6ème apprennent à reconnaître une situation proportionnelle, compléter un tableau par linéarité ou passage à l’unité et résoudre des problèmes de prix, recette et échelle. Toutes les procédures attendues sont présentées dans le cours de proportionnalité, sans recourir prématurément au produit en croix. La page appartient au parcours de mathématiques de 6ème.

Reconnaître et compléter un tableau de proportionnalité

Avant de calculer une valeur manquante, il faut vérifier que les deux grandeurs varient dans le même rapport.

Exercice 1 : Reconnaître une situation proportionnelle

Facile

Pour chaque situation, décider si elle est proportionnelle.

  1. Quel vocabulaire ou quelle information permet de commencer « reconnaître une situation proportionnelle » ?
  2. \(2\) cahiers coûtent \(5\) € et \(6\) cahiers coûtent \(15\) €.
  3. À \(10\) ans, Noé mesure \(1,42\) m ; à \(20\) ans mesurera-t-il forcément \(2,84\) m ?
  4. Un carré de côté \(3\) cm a un périmètre de \(12\) cm ; un carré de côté \(5\) cm a un périmètre de \(20\) cm.
Indication

Cherchez si un même multiplicateur relie les deux grandeurs dans tous les cas.

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  1. Question 1. Cherchez si un même multiplicateur relie les deux grandeurs dans tous les cas.
  2. Question 2. Oui : le nombre de cahiers et le prix sont tous deux multipliés par \(3\).
  3. Question 3. Non : la taille n’est pas proportionnelle à l’âge.
  4. Question 4. Oui : le périmètre vaut toujours \(4\times\) le côté.

Exercice 2 : Compléter par linéarité

Facile

Trois kilogrammes de pommes coûtent \(7,50\) €.

  1. Calculer le prix de \(6\) kg.
  2. a. Calculer le prix de \(9\) kg. b. Expliquer les multiplicateurs utilisés.
Indication

Six est le double de trois ; neuf est le triple de trois.

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  1. Question 1. \(6\) kg coûtent \(2\times7,50=15\) €.
  2. Question 2. a. \(9\) kg coûtent \(3\times7,50=22,50\) €. b. On multiplie les deux grandeurs par \(2\), puis par \(3\).

Exercice 3 : Passer par l’unité

Facile

Quatre mètres de tissu coûtent \(18\) €.

  1. Calculer le prix d’un mètre.
  2. Calculer le prix de \(7\) m.
  3. Calculer la longueur achetable avec \(31,50\) €.
Indication

Commencez par \(18\div4\).

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  1. Question 1. Un mètre coûte \(18\div4=4,50\) €.
  2. Question 2. Sept mètres coûtent \(7\times4,50=31,50\) €.
  3. Question 3. \(31,50\div4,50=7\) m.

Résoudre des problèmes de proportionnalité

On choisit librement entre coefficient, linéarité et passage à l’unité selon les nombres.

Exercice 4 : Adapter une recette

Moyen

Pour \(4\) personnes, une recette utilise \(300\) g de farine, \(2\) œufs et \(50\) cL de lait.

  1. Quelle propriété faut-il identifier pour résoudre « adapter une recette » ?
  2. Donner les quantités pour \(8\) personnes.
  3. Donner les quantités pour \(2\) personnes.
  4. Donner la quantité de farine pour \(6\) personnes.
Indication

Utilisez successivement le double, la moitié, puis « quatre personnes + deux personnes ».

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  1. Question 1. Utilisez successivement le double, la moitié, puis « quatre personnes + deux personnes ».
  2. Question 2. Pour \(8\) personnes : \(600\) g, \(4\) œufs et \(100\) cL.
  3. Question 3. Pour \(2\) personnes : \(150\) g, \(1\) œuf et \(25\) cL.
  4. Question 4. Pour \(6\) personnes : \(300+150=450\) g de farine.

Exercice 5 : Distance parcourue à vitesse constante

Moyen

Un cycliste parcourt \(18\) km en \(45\) minutes à vitesse constante.

  1. Quelle distance parcourt-il en \(15\) minutes ?
  2. a. Quelle distance parcourt-il en \(1\) h \(30\) min ? b. Combien de temps faut-il pour parcourir \(30\) km ?
Indication

Quinze minutes est le tiers de \(45\) ; \(90\) minutes est le double.

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  1. Question 1. En \(15\) min : \(18\div3=6\) km.
  2. Question 2. a. En \(90\) min : \(18\times2=36\) km. b. \(30=5\times6\), donc il faut \(5\times15=75\) min, soit \(1\) h \(15\) min.

Exercice 6 : Lire une échelle simple

Moyen

Sur un plan, \(1\) cm représente \(250\) m dans la réalité.

  1. Que représentent \(4\) cm ?
  2. Quelle longueur sur le plan représente \(1,5\) km ?
  3. Deux points distants de \(7,2\) cm sur le plan sont séparés de combien en réalité ?
Indication

Convertissez \(1,5\) km en mètres avant le calcul.

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  1. Question 1. \(4\times250=1\,000\) m, soit \(1\) km.
  2. Question 2. \(1\,500\div250=6\) cm.
  3. Question 3. \(7,2\times250=1\,800\) m, soit \(1,8\) km.

Justifier une méthode et détecter les pièges

Ces problèmes demandent d’expliquer pourquoi une procédure fonctionne ou non.

Exercice 7 : Comparer deux offres

Difficile

Le magasin A vend \(6\) feutres \(7,20\) €. Le magasin B vend \(10\) feutres \(11,50\) €.

  1. Quel point de méthode faut-il vérifier avant de traiter « comparer deux offres » ?
  2. Calculer le prix d’un feutre dans chaque magasin.
  3. Quel magasin est le moins cher à l’unité ?
  4. Calculer l’économie pour l’achat de \(30\) feutres au tarif unitaire.
Indication

Le nombre de feutres par paquet diffère : comparez d’abord les prix unitaires.

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  1. Question 1. Le nombre de feutres par paquet diffère : comparez d’abord les prix unitaires.
  2. Question 2. A : \(7,20\div6=1,20\) € ; B : \(11,50\div10=1,15\) €.
  3. Question 3. Le magasin B est moins cher de \(0,05\) € par feutre.
  4. Question 4. Pour \(30\) feutres, l’économie est \(30\times0,05=1,50\) €.

Exercice 8 : Tableau presque proportionnel

Difficile

Un tableau associe \(2\), \(5\), \(8\) objets aux prix \(3\), \(7,50\), \(11,80\) euros.

  1. Calculer le prix unitaire donné par les deux premières colonnes.
  2. a. Le tableau est-il proportionnel ? b. Quel prix devrait remplacer \(11,80\) € ?
Indication

Une seule colonne incompatible suffit à rendre le tableau non proportionnel.

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  1. Question 1. \(3\div2=1,50\) € et \(7,50\div5=1,50\) €.
  2. Question 2. a. \(11,80\div8=1,475\) €, donc le coefficient n’est pas constant. b. Le prix correct serait \(8\times1,50=12\) €.

Stratégies de calcul et situations non proportionnelles

Les problèmes suivants demandent de choisir entre passage à l’unité, coefficient, propriétés additives et rejet d’un faux modèle.

Exercice 9 : Utiliser l’addition des colonnes

Moyen

Trois bouteilles coûtent \(4,50\) € et cinq bouteilles coûtent \(7,50\) € au même tarif.

  1. Quel nombre de bouteilles obtient-on en réunissant les deux achats ?
  2. Calculer le prix correspondant par addition.
  3. Expliquer pourquoi cette méthode est valable.
Indication

Dans une situation proportionnelle, on peut additionner deux colonnes.

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  1. Question 1. On obtient \(3+5=8\) bouteilles.
  2. Question 2. Le prix est \(4,50+7,50=12\) €.
  3. Question 3. Les deux grandeurs sont proportionnelles et les achats sont réunis au même tarif.

Exercice 10 : Déterminer un coefficient de proportionnalité

Moyen

Une longueur de \(4\) cm sur un plan représente \(10\) m en réalité.

  1. Quelle propriété faut-il identifier pour résoudre « déterminer un coefficient de proportionnalité » ?
  2. Par quel nombre faut-il multiplier la longueur du plan pour obtenir la longueur réelle en mètres ?
  3. Quelle distance réelle représentent \(7,2\) cm ?
  4. Quelle longueur sur le plan représente \(25\) m ?
Indication

Calculez d’abord \(10\div4\).

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  1. Question 1. Calculez d’abord \(10\div4\).
  2. Question 2. Le coefficient est \(2,5\) m par centimètre.
  3. Question 3. \(7,2\times2,5=18\) m.
  4. Question 4. \(25\div2,5=10\) cm.

Exercice 11 : Détecter un tarif non proportionnel

Moyen

Un service de location facture \(5\) € de prise en charge puis \(2\) € par heure.

  1. Calculer le prix pour \(1\) h puis pour \(2\) h.
  2. a. Le prix pour \(2\) h est-il le double du prix pour \(1\) h ? b. Conclure sur la proportionnalité entre durée et prix.
Indication

Une situation proportionnelle doit conserver le même quotient prix/durée.

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  1. Question 1. Pour \(1\) h : \(5+2=7\) € ; pour \(2\) h : \(5+4=9\) €.
  2. Question 2. a. Non, le double de \(7\) € est \(14\) €. b. La prise en charge fixe empêche la proportionnalité.

Exercice 12 : Adapter une recette puis revenir à l’unité

Difficile

Pour \(6\) personnes, une recette utilise \(450\) g de riz et \(0,9\) L de bouillon.

  1. Calculer les quantités pour une personne.
  2. En déduire les quantités pour \(14\) personnes.
  3. Avec \(1,8\) kg de riz, combien de personnes peut-on servir ?
Indication

Le passage à l’unité convient aux trois questions.

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  1. Question 1. Par personne : \(450\div6=75\) g et \(0,9\div6=0,15\) L.
  2. Question 2. Pour \(14\) personnes : \(1\,050\) g et \(2,1\) L.
  3. Question 3. \(1,8\) kg \(=1\,800\) g, puis \(1\,800\div75=24\) personnes.
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