Séries Entières Exercices Corrigés

Solution de la question 1 :

On pose $a_n = \frac{n^2}{3^n}$. Alors :

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{1}{3}.$$

La règle de d'Alembert donne $R = 3$.

Solution de la question 2 :

On pose $a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$. Alors :

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \frac{2(2n+1)}{n+1} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 4.$$

Donc $R = \dfrac{1}{4}$.

Solution de la question 1 :

On a $|a_n|^{1/n} = n^{1/\sqrt{n}} = e^{\frac{\ln n}{\sqrt{n}}}$. Or $\frac{\ln n}{\sqrt{n}} \to 0$ quand $n \to +\infty$, donc $|a_n|^{1/n} \to e^0 = 1$. Ainsi $\frac{1}{R} = 1$, soit $R = 1$.

Solution de la question 2 :

On a $|a_n|^{1/n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$ quand $n\to+\infty$. Donc $\frac{1}{R} = e$, soit

$$R = \frac{1}{e}.$$

Solution de la question 1 :

Pour $n = 2k$ (pair) : $|a_{2k}|^{1/(2k)} = \left(\frac{1}{2^{2k}}\right)^{1/(2k)} = \frac{1}{2}$.

Pour $n = 2k+1$ (impair) : $|a_{2k+1}|^{1/(2k+1)} = \left(\frac{1}{3^{2k+1}}\right)^{1/(2k+1)} = \frac{1}{3}$.

Les deux sous-suites convergent respectivement vers $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$. La limsup est le maximum :

$$\limsup_{n\to+\infty} |a_n|^{1/n} = \frac{1}{2}.$$ Solution de la question 2 :

Par la formule de Cauchy-Hadamard, $\frac{1}{R} = \frac{1}{2}$, donc $R = 2$.

Solution de la question 1 :

La série $g(x) = \sum a_n (x^2)^n$ converge absolument si et seulement si $|x^2| < 3$, c'est-à-dire $|x| < \sqrt{3}$. Le rayon de convergence de $g$ est $R_g = \sqrt{3}$.

Solution de la question 2 :

La série $h(x) = \sum a_n (x-1)^n$ est une série entière en la variable $u = x-1$, de même suite de coefficients $(a_n)$, donc de même rayon $R_h = 3$. Elle converge absolument pour $|x-1| < 3$, c'est-à-dire $x \in (-2, 4)$.

Solution de la question 3 :

Par le théorème de dérivation terme à terme des séries entières, la série dérivée $\sum n\, a_n x^{n-1}$ a le même rayon de convergence que $\sum a_n x^n$. Donc $R = 3$.

Solution de la question 1 : $$f(x) = \frac{1}{1-(-4x^2)} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-4x^2)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n 4^n x^{2n}, \quad |x| < \frac{1}{2}.$$ Solution de la question 2 :

On utilise $\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} u^n$ avec $u = -3x$ :

$$g(x) = \ln(1-3x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}(-3x)^n = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^n}{n} x^n, \quad |x| < \frac{1}{3}.$$ Solution de la question 3 : $$h(x) = e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Solution de la question 1 :

On a $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. La décomposition donne :

$$f(x) = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}.$$

En multipliant par $(x-2)$ et en posant $x=2$ : $A = \frac{5}{3}$. En multipliant par $(x+1)$ et en posant $x=-1$ : $B = \frac{1}{3}$. Donc :

$$f(x) = \frac{5/3}{x-2} + \frac{1/3}{x+1}.$$ Solution de la question 2 :

On écrit :

$$\frac{5/3}{x-2} = \frac{5/3}{-2(1-x/2)} = -\frac{5}{6}\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n \quad \text{pour } |x|<2,$$ $$\frac{1/3}{x+1} = \frac{1/3}{1+x} = \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{+\infty}(-x)^n \quad \text{pour } |x|<1.$$

La singularité la plus proche de 0 est en $x = -1$, donc $R = 1$. On obtient :

$$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\frac{5}{6 \cdot 2^n} + \frac{(-1)^n}{3}\right)x^n, \quad |x|<1.$$

Solution de la question 1 : $$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n x^{2n}, \quad |x|<1.$$ Solution de la question 2 :

Par intégration terme à terme entre 0 et $x$ (avec $\arctan(0)=0$) :

$$\arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \quad |x| \leq 1.$$

Le rayon est $R=1$, et on peut montrer que la convergence a lieu aussi en $x = \pm 1$ (critère de Leibniz).

Solution de la question 3 :

En posant $x = 1$ :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.$$

Solution de la question 1 :

La règle de d'Alembert donne $\frac{(n+1)|x|^{n+1}}{n|x|^n} = \frac{n+1}{n}|x| \to |x|$. Donc $R = 1$.

Solution de la question 2 :

On sait que $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$. En dérivant terme à terme :

$$\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}.$$

En multipliant par $x$ :

$$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad x \in (-1,1).$$

Solution de la question 1 :

Par la règle de d'Alembert sur $a_n = \frac{1}{2n+1}$, on obtient $R = 1$.

Solution de la question 2 :

En dérivant terme à terme :

$$F'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}, \quad |x|<1.$$

Comme $F(0) = 0$, on intègre :

$$F(x) = \int_0^x \frac{dt}{1-t^2} = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$ Solution de la question 3 :

On en déduit directement :

$$\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{2n+1} x^{2n+1}, \quad |x|<1.$$

Solution de la question 1 :

On a $a_n = \dfrac{(-1)^n}{n!\,(n+1)!}$. La règle de d'Alembert donne $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \to 0$. Donc $R = +\infty$.

Solution de la question 2 :

Écrivons $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{2n+1}$, avec $a_n=\dfrac{(-1)^n}{n!(n+1)!}$. Alors :

$$S'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)a_nx^{2n}, \qquad S''(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}2n(2n+1)a_nx^{2n-1}.$$

Le coefficient de $x^{2n+1}$, pour $n\geq 0$, dans $x^2S''+xS'+(4x^2-1)S$ vaut :

$$\bigl((2n+1)^2-1\bigr)a_n+4a_{n-1}=4n(n+1)a_n+4a_{n-1},$$

avec la convention $a_{-1}=0$ pour le premier terme. Pour $n\geq 1$, comme $a_n=-\dfrac{a_{n-1}}{n(n+1)}$, ce coefficient est nul. Le coefficient de $x$ est également nul. Donc :

$$x^2 S''(x)+xS'(x)+(4x^2-1)S(x)=0.$$ Solution de la question 3 :

La définition standard donne :

$$J_1(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n+1)!}\left(\frac{t}{2}\right)^{2n+1}.$$

En prenant $t=2x$, on obtient exactement $S(x)=J_1(2x)$. Enfin, le premier terme de $S$ est $x$, donc $S'(0)=1$.

Solution de la question 1 : $$c_n = \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot 1 = n+1.$$

Donc $h(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n$.

Solution de la question 2 :

Par le théorème sur les produits de Cauchy, sur $|x|<1$ :

$$h(x) = f(x) \cdot g(x) = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2}.$$

On obtient ainsi le DSE :

$$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n, \quad |x|<1.$$

On retrouve ce résultat en dérivant terme à terme $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$, ce qui donne bien $\sum (n+1)x^n$.

Solution de la question 1 :

On pose $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ et $g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$, toutes deux de rayon $R=1$. Le coefficient de rang $n$ ($n \geq 1$) du produit de Cauchy $f \cdot g$ est :

$$c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} = \sum_{k=1}^{n} 1 \cdot \frac{1}{k} = H_n.$$

On en conclut, sur $|x|<1$ :

$$\sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n = \frac{-\ln(1-x)}{1-x}.$$ Solution de la question 2 :

En posant $x = \frac{1}{2}$ :

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{H_n}{2^n} = \frac{-\ln(1/2)}{1 - 1/2} = \frac{\ln 2}{1/2} = 2\ln 2.$$

Solution de la question 1 :

On a $y'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}x^n$ et $2xy(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} 2a_n x^{n+1} = \sum_{n=1}^{+\infty} 2a_{n-1}x^n$. En identifiant les coefficients de $x^n$ pour $n \geq 1$ :

$$(n+1)a_{n+1} = 2a_{n-1}, \quad \text{soit} \quad a_{n+1} = \frac{2}{n+1}a_{n-1}.$$

Pour $n=0$ : $a_1 = 0$.

Solution de la question 2 :

Puisque $a_1 = 0$, tous les coefficients impairs sont nuls. Pour les pairs, avec $n = 2k$ :

$$a_{2k} = \frac{2^k}{(2k)(2k-2)\cdots 2} a_0 = \frac{1}{k!}a_0.$$

Donc : $y(x) = a_0 \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2k}}{k!}$.

Solution de la question 3 :

On reconnaît le DSE de l'exponentielle :

$$y(x) = a_0\, e^{x^2},$$

ce qui coïncide bien avec la solution générale obtenue par séparation des variables : $y = C\,e^{x^2}$.

Solution de la question 1 :

On calcule :

$$y''= \sum_{n=0}^{+\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n, \quad x^2y''= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^n, \quad 2xy'= \sum_{n=1}^{+\infty}2na_n x^n.$$

En substituant dans l'équation et en identifiant le coefficient de $x^n$ pour $n \geq 2$ :

$$(n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_n - 2na_n + 6a_n = 0,$$ $$(n+2)(n+1)a_{n+2} = \bigl[n(n+1) - 6\bigr]a_n = (n-2)(n+3)a_n.$$

D'où la relation de récurrence :

$$a_{n+2} = \frac{(n-2)(n+3)}{(n+1)(n+2)} a_n.$$ Solution de la question 2 :

Avec $a_1 = 0$, tous les coefficients impairs sont nuls. Avec $a_0 = 1$ :

$$a_2 = \frac{(0-2)(0+3)}{1 \cdot 2}a_0 = \frac{-6}{2} = -3, \quad a_4 = \frac{(2-2)(2+3)}{3 \cdot 4}a_2 = 0.$$

Puisque $a_4 = 0$, tous les coefficients $a_{2k}$ pour $k \geq 2$ sont également nuls. La solution est donc le polynôme :

$$y(x) = 1 - 3x^2.$$ Solution de la question 3 :

Cette équation est l'équation de Legendre avec paramètre $\ell(\ell+1) = 6$, soit $\ell = 2$. Le théorème de Legendre garantit l'existence d'une solution polynomiale (le polynôme de Legendre $P_2$) pour chaque entier $\ell \in \mathbb{N}$.