Travailler les matrices en exercices corrigés est la meilleure façon de consolider le calcul matriciel avant un devoir ou un oral de concours. Cette page propose une progression complète, du simple repérage d’un coefficient dans une matrice jusqu’au calcul du déterminant, de la matrice inverse et de la puissance d’une matrice. Chaque exercice est accompagné d’une indication qui guide la réflexion sans donner la réponse, puis d’un corrigé rédigé pas à pas, conforme aux attentes en Terminale, en BTS et en première année de licence ou de prépa. Pour vérifier un calcul numérique, la calculatrice matrice en ligne permet de contrôler une somme, un produit, un déterminant ou un rang.
Définition, format et lecture d’une matrice
Avant de manipuler les opérations matricielles, il faut savoir lire une matrice : identifier son format \( m \times n \), repérer un coefficient \( a_{ij} \) et construire sa transposée. Les deux exercices suivants reviennent sur ces bases souvent mal maîtrisées.
Exercice 1 : Format et coefficients d’une matrice
Facile
On considère la matrice à coefficients réels :
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 & 1 \\ 0 & 8 & -3 & 12 \\ 9 & 4 & 0 & -6 \end{pmatrix} \]
- Donner le format de la matrice \( A \).
- Préciser la valeur des coefficients \( a_{13} \), \( a_{24} \) et \( a_{31} \).
- Écrire la matrice transposée \( {}^{t}A \) et donner son format.
Indication
Le format \( m \times n \) s’obtient en comptant d’abord les lignes, puis les colonnes. Le coefficient \( a_{ij} \) se trouve à l’intersection de la ligne \( i \) et de la colonne \( j \). Pour la transposée, la première ligne de \( A \) devient la première colonne de \( {}^{t}A \).
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Solution de la question 2 : \( a_{13} = 7 \) (ligne 1, colonne 3), \( a_{24} = 12 \) (ligne 2, colonne 4), \( a_{31} = 9 \) (ligne 3, colonne 1).
Solution de la question 3 : \[ {}^{t}A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 9 \\ -2 & 8 & 4 \\ 7 & -3 & 0 \\ 1 & 12 & -6 \end{pmatrix} \] La matrice \( {}^{t}A \) est de format \( 4 \times 3 \), ce qui est cohérent : la transposition échange toujours le nombre de lignes et de colonnes.
Exercice 2 : Construire une matrice à partir d’une règle de calcul
Facile
On définit la matrice carrée \( B \) de format \( 3 \times 3 \) dont le coefficient \( b_{ij} \) vaut \( 2i – j \).
- Calculer tous les coefficients de \( B \) et écrire la matrice.
- La matrice \( B \) est-elle symétrique ? Justifier en comparant \( B \) et \( {}^{t}B \).
Indication
Calculez ligne par ligne : pour \( i = 1 \), faites varier \( j \) de 1 à 3, puis recommencez pour \( i = 2 \) et \( i = 3 \). Une matrice est symétrique lorsque \( a_{ij} = a_{ji} \) pour tout \( i, j \).
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Solution de la question 2 : On a \( b_{12} = 0 \) alors que \( b_{21} = 3 \) : les coefficients symétriques par rapport à la diagonale ne sont pas égaux. La matrice \( B \) n’est donc pas symétrique, bien qu’elle soit carrée.
Opérations sur les matrices : somme, produit et transposée
Le calcul matriciel repose sur des règles précises de compatibilité des formats. Les quatre exercices suivants traitent de l’addition, de la condition d’existence d’un produit matriciel, de la non-commutativité du produit, puis d’une application concrète sous forme de tableau de données.
Exercice 3 : Somme et combinaison linéaire de matrices
Facile
On considère les deux matrices de même format :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 & 1 \\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix} \]
- Calculer \( A + B \).
- Calculer \( A – 2B \).
Indication
L’addition et la soustraction de matrices se font coefficient par coefficient, uniquement lorsque les deux matrices ont le même format. Multipliez d’abord tous les coefficients de \( B \) par 2 avant de soustraire.
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Solution de la question 2 : \( 2B = \begin{pmatrix} -6 & 10 & 2 \\ 4 & -8 & 12 \end{pmatrix} \), donc \[ A – 2B = \begin{pmatrix} 8 & -11 & 2 \\ -4 & 11 & -17 \end{pmatrix} \]
Exercice 4 : Quels produits matriciels sont définis ?
Moyen
On considère quatre matrices \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) de formats respectifs \( 2 \times 3 \), \( 3 \times 2 \), \( 2 \times 2 \) et \( 3 \times 3 \).
- Parmi les produits \( AB \), \( BA \), \( AC \), \( CA \), \( AD \), \( DA \), \( BC \), \( CB \), \( CD \), \( DC \), \( BD \), \( DB \), indiquer lesquels sont définis et donner leur format.
- Parmi les produits définis, lesquels sont des matrices carrées ? Peut-on avoir \( AB = BA \) ? Justifier sans calcul.
Indication
Un produit \( XY \) n’existe que si le nombre de colonnes de \( X \) est égal au nombre de lignes de \( Y \). Dressez un tableau des formats avant de tester chaque produit.
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Solution de la question 2 : Seuls \( AB \) et \( BA \) sont carrés, mais \( AB \) est de format \( 2 \times 2 \) tandis que \( BA \) est de format \( 3 \times 3 \) : ces deux matrices n’ont même pas le même format, donc \( AB \neq BA \) de façon évidente, sans qu’aucun calcul ne soit nécessaire. Cela illustre que le produit matriciel n’est pas commutatif en général.
Exercice 5 : Coût de production d’une coopérative (lecture de tableau)
Moyen
Une coopérative agricole compose deux paniers, le panier A et le panier B, à partir de trois produits. La composition de chaque panier est donnée par le tableau suivant :
| Produit | Panier A | Panier B |
|---|---|---|
| Légumes (kg) | 3 | 5 |
| Fruits (kg) | 2 | 1 |
| Œufs (douzaines) | 1 | 0 |
Le prix unitaire de chaque produit est de \( 2 \) € par kg de légumes, \( 3 \) € par kg de fruits et \( 4 \) € par douzaine d’œufs.
- Écrire la matrice de composition \( M \) (format \( 3 \times 2 \)) et la matrice ligne des prix \( L \) (format \( 1 \times 3 \)), puis calculer le produit \( L \times M \).
- En déduire le coût de fabrication de chaque panier, puis calculer la recette totale si la coopérative vend 50 paniers A et 30 paniers B.
Indication
La matrice \( L \times M \) donne directement le coût de chaque panier sous forme d’une matrice ligne. Pour la recette totale, multipliez chaque coût par la quantité vendue correspondante, comme un nouveau produit matriciel.
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Solution de la question 2 : Le panier A coûte \( 16 \) € et le panier B coûte \( 13 \) €. La recette totale s’obtient par \[ \begin{pmatrix} 16 & 13 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} = 16\times50 + 13\times30 = 800 + 390 = 1190 \text{ €} \]
Matrices carrées, identité et matrices inversibles
Certaines matrices carrées possèdent des propriétés remarquables : matrice identité, matrice symétrique, matrice inversible. Ces trois exercices permettent d’identifier ces propriétés et de manipuler la notion d’inverse dans une équation matricielle.
Exercice 6 : Reconnaître les matrices particulières
Facile
On considère les matrices carrées :
\[ M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]
- Pour chaque matrice, indiquer si elle est diagonale, symétrique ou antisymétrique.
- Reconnaître parmi elles la matrice identité \( I_2 \) et justifier son rôle dans le produit matriciel.
Indication
Une matrice est diagonale si tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls. Elle est symétrique si \( {}^{t}M = M \), et antisymétrique si \( {}^{t}M = -M \). Comparez chaque matrice à sa transposée.
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Solution de la question 2 : \( M_1 = I_2 \) est la matrice identité : pour toute matrice carrée \( N \) de même format, \( I_2 \times N = N \times I_2 = N \). Elle joue le rôle de l’élément neutre du produit matriciel, comme le nombre 1 pour la multiplication.
Exercice 7 : Vérifier que deux matrices sont inverses l’une de l’autre
Moyen
On considère les matrices :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]
- Calculer le produit \( AB \).
- Calculer le produit \( BA \) et conclure sur la relation entre \( A \) et \( B \).
Indication
Une matrice carrée \( A \) est inversible s’il existe une matrice \( B \) telle que \( AB = BA = I \). Effectuez les deux produits et comparez le résultat à la matrice identité.
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Solution de la question 2 : \[ BA = \begin{pmatrix} 3\times2+(-5)\times1 & 3\times5+(-5)\times3 \\ (-1)\times2+2\times1 & (-1)\times5+2\times3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \] Puisque \( AB = BA = I_2 \), les matrices \( A \) et \( B \) sont inverses l’une de l’autre : on note \( B = A^{-1} \).
Exercice 8 : Résoudre une équation matricielle à l’aide de l’inverse
Moyen
On donne la matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \), dont l’inverse est \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \).
On cherche une matrice colonne \( X \) vérifiant l’équation \( AX = C \), où \( C = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \).
- Exprimer \( X \) en fonction de \( A^{-1} \) et de \( C \).
- Calculer \( X \).
Indication
Multipliez les deux membres de l’égalité \( AX = C \) à gauche par \( A^{-1} \), puis utilisez le fait que \( A^{-1}A = I_2 \) pour isoler \( X \).
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Solution de la question 2 : \[ X = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\times4+(-5)\times7 \\ -1\times4+2\times7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -23 \\ 10 \end{pmatrix} \]
Déterminant, matrice inverse et puissance d’une matrice
Le déterminant permet de savoir si une matrice carrée est inversible, et la formule directe pour l’inverse d’une matrice \( 2 \times 2 \) facilite la résolution de systèmes linéaires. Les trois derniers exercices abordent aussi le calcul de la puissance d’une matrice, une compétence clé en spécialité mathématiques et en prépa.
Exercice 9 : Calculer un déterminant et conclure sur l’inversibilité
Moyen
On considère les matrices :
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
- Calculer \( \det(A) \) et indiquer si \( A \) est inversible.
- Calculer \( \det(B) \) en développant selon la première ligne, et conclure.
Indication
Pour une matrice \( 2 \times 2 \), \( \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad – bc \). Pour une matrice \( 3 \times 3 \), développez selon une ligne en alternant les signes \( +, -, + \) et en calculant les déterminants \( 2 \times 2 \) restants.
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Solution de la question 2 : \[ \det(B) = 1 \times (1\times0 – 4\times6) – 2 \times (0\times0 – 4\times5) + 3 \times (0\times6 – 1\times5) \] \[ = 1\times(-24) – 2\times(-20) + 3\times(-5) = -24 + 40 – 15 = 1 \] Comme \( \det(B) = 1 \neq 0 \), la matrice \( B \) est également inversible.
Exercice 10 : Inverse d’une matrice 2×2 et résolution d’un système
Difficile
On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \) et le système :
\[ \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \]
- Calculer \( \det(A) \), puis en déduire \( A^{-1} \) à l’aide de la formule \( A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).
- Écrire le système sous forme matricielle \( AX = C \), puis résoudre le système en calculant \( X = A^{-1}C \).
Indication
Identifiez \( a, b, c, d \) dans \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), puis appliquez la formule de l’inverse. Le vecteur \( X \) contient les inconnues \( x \) et \( y \), et \( C \) contient les seconds membres du système.
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Solution de la question 2 : Le système s’écrit \( AX = C \) avec \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( C = \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix} \). On calcule \[ X = A^{-1}C = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30-28 \\ -20+21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \] Donc \( x = 2 \) et \( y = 1 \), ce que l’on peut vérifier directement dans les deux équations du système.
Exercice 11 : Puissance d’une matrice par récurrence
Difficile
On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \).
- Calculer \( A^2 \) et \( A^3 \).
- Conjecturer une expression de \( A^n \) en fonction de \( n \), pour tout entier \( n \geqslant 1 \), puis démontrer cette conjecture par récurrence.
Indication
Observez la position des coefficients qui changent et ceux qui restent fixes d’une puissance à l’autre. Pour la récurrence, supposez la formule vraie au rang \( n \), puis calculez \( A^{n+1} = A^n \times A \) en utilisant l’hypothèse de récurrence.
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Solution de la question 2 : Les résultats suggèrent la conjecture \[ A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n – 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \] Initialisation : pour \( n = 1 \), \( 2^1 – 1 = 1 \) et \( 2^1 = 2 \), ce qui correspond bien à \( A \). Hérédité : supposons la formule vraie au rang \( n \). Alors \[ A^{n+1} = A^n \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2^n – 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 + 2(2^n – 1) \\ 0 & 2\times2^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2^{n+1} – 1 \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix} \] La formule est donc vraie au rang \( n+1 \). Par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier \( n \geqslant 1 \).