Cette page rassemble des exercices corrigés sur les variables aléatoires continues, couvrant l’ensemble du programme de probabilités : vérification et détermination d’une densité de probabilité, calcul et exploitation de la fonction de répartition, calcul de l’espérance mathématique et de la variance, ainsi que l’étude des lois usuelles (loi uniforme, loi exponentielle, loi normale). Chaque exercice est rédigé avec une indication méthodologique et un corrigé complet, afin d’accompagner progressivement les étudiants de licence, de classe préparatoire ou d’IUT dans leur maîtrise des variables aléatoires à densité.
Reconnaître et déterminer une densité de probabilité
Avant tout calcul de probabilité, il est indispensable de savoir vérifier qu’une fonction est bien une densité, c’est-à-dire qu’elle est positive, intégrable sur son support et d’intégrale totale égale à 1. Ces exercices entraînent à la fois la vérification directe et la détermination d’une constante de normalisation.
Exercice 1 : Vérifier qu’une fonction polynomiale est une densité
Facile
On considère la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
f(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{si } x \in [0,\,1], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
\]
- Montrer que \( f \) est une densité de probabilité.
- Soit \( X \) une variable aléatoire de densité \( f \). Calculer \( P\!\left(\tfrac{1}{2} \le X \le 1\right) \).
Indication
Pour montrer que \( f \) est une densité, vérifiez les trois conditions : positivité sur \(\mathbb{R}\), continuité par morceaux, et intégrale totale égale à 1. Pour la probabilité, intégrez \( f \) entre \(\tfrac{1}{2}\) et \(1\).
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La fonction \( f \) est nulle hors de \([0,1]\) et vaut \( 3x^2 \ge 0 \) sur \([0,1]\) : elle est donc bien positive sur \(\mathbb{R}\). Elle est continue par morceaux. Calculons son intégrale :
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1.
\]
Les trois conditions sont vérifiées : \( f \) est bien une densité de probabilité.
Solution de la question 2 :
\[
P\!\left(\tfrac{1}{2} \le X \le 1\right) = \int_{1/2}^{1} 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_{1/2}^{1} = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.
\]
Exercice 2 : Déterminer une constante de normalisation
Facile
Soit la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
f(x) = \begin{cases} a\,e^{-2x} & \text{si } x \ge 0, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
\]
- Déterminer la valeur de \( a \) pour que \( f \) soit une densité de probabilité.
- Soit \( X \) une variable aléatoire de densité \( f \). Calculer \( P(X > 1) \).
Indication
Posez \(\int_0^{+\infty} a\,e^{-2x}\,dx = 1\) et calculez l’intégrale impropre. Pensez à vérifier la convergence avant de conclure.
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\[
\int_0^{+\infty} a\,e^{-2x}\,dx = a\left[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{+\infty} = a \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies a = 2.
\]
On reconnaît alors la densité d’une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 2\).
Solution de la question 2 :
\[
P(X > 1) = \int_1^{+\infty} 2\,e^{-2x}\,dx = \left[-e^{-2x}\right]_1^{+\infty} = e^{-2} \approx 0{,}135.
\]
Exercice 3 : Densité définie par morceaux avec paramètre
Moyen
Soit \( f \) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x \in [0,\,2], \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}
\]
où \( a \) et \( b \) sont des réels. On sait de plus que \( f(0) = 0 \) et que \( f(2) = 1 \).
- Déterminer \( a \) et \( b \).
- Vérifier que \( f \) est bien une densité de probabilité.
- Calculer \( P(1 \le X \le 2) \).
Indication
Les deux conditions \( f(0) = 0 \) et \( f(2) = 1 \) donnent un système en \( a \) et \( b \). Ensuite, vérifiez la positivité sur \([0,2]\) et l’intégrale totale égale à 1.
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De \( f(0) = b = 0 \) et \( f(2) = 2a + b = 1 \), on obtient \( b = 0 \) et \( a = \tfrac{1}{2} \).
Donc \( f(x) = \tfrac{1}{2}x \) sur \([0,2]\).
Solution de la question 2 :
Sur \([0,2]\), \( f(x) = \tfrac{x}{2} \ge 0 \). L’intégrale donne :
\[
\int_0^2 \frac{x}{2}\,dx = \left[\frac{x^2}{4}\right]_0^2 = 1.
\]
Les conditions sont satisfaites : \( f \) est une densité.
Solution de la question 3 :
\[
P(1 \le X \le 2) = \int_1^2 \frac{x}{2}\,dx = \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2 = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]
Calculer et exploiter la fonction de répartition
La fonction de répartition \( F_X \) d’une variable aléatoire continue est l’outil central pour calculer toute probabilité du type \( P(a \le X \le b) = F_X(b) – F_X(a) \). Ces exercices entraînent au calcul de \( F_X \) par intégration de la densité, à la vérification de ses propriétés (continuité, limites en \(\pm\infty\)) et à son utilisation pour retrouver la densité par dérivation.
Exercice 4 : Construire la fonction de répartition depuis la densité
Facile
Soit \( X \) une variable aléatoire de densité :
\[
f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x \in [0,\,1], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
\]
- Déterminer la fonction de répartition \( F_X \) de \( X \).
- Calculer \( P\!\left(X \le \tfrac{1}{2}\right) \) et \( P\!\left(\tfrac{1}{4} \le X \le \tfrac{3}{4}\right) \).
Indication
Distinguez trois cas selon la position de \( t \) : \( t < 0 \), \( 0 \le t \le 1 \), et \( t > 1 \). Dans le cas intermédiaire, intégrez \( f \) de 0 à \( t \).
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\[
F_X(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t < 0, \\ \displaystyle\int_0^t 2x\,dx = t^2 & \text{si } 0 \le t \le 1, \\ 1 & \text{si } t > 1. \end{cases}
\]
\( F_X \) est bien continue sur \(\mathbb{R}\), croissante, et vérifie \( F_X(-\infty) = 0 \), \( F_X(+\infty) = 1 \).
Solution de la question 2 :
\[
P\!\left(X \le \tfrac{1}{2}\right) = F_X\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}.
\]
\[
P\!\left(\tfrac{1}{4} \le X \le \tfrac{3}{4}\right) = F_X\!\left(\tfrac{3}{4}\right) – F_X\!\left(\tfrac{1}{4}\right) = \frac{9}{16} – \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}.
\]
Exercice 5 : Retrouver la densité à partir de la fonction de répartition
Moyen
On donne la fonction de répartition d’une variable aléatoire \( X \) :
\[
F_X(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t < 0, \\ 1 - e^{-3t} & \text{si } t \ge 0. \end{cases}
\]
- Vérifier que \( F_X \) vérifie bien les propriétés d’une fonction de répartition.
- Déterminer la densité \( f \) de \( X \) en dérivant \( F_X \).
- Calculer \( P(X > 2) \) et \( P(1 \le X \le 3) \) à l’aide de \( F_X \).
Indication
La densité s’obtient en dérivant \( F_X \) là où elle est dérivable. Utilisez ensuite \( P(X > 2) = 1 – F_X(2) \) et \( P(1 \le X \le 3) = F_X(3) – F_X(1) \).
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\( F_X \) est croissante, continue sur \(\mathbb{R}\) (continuité en 0 vérifiée car \( 1 – e^0 = 0 \)), \(\lim_{t \to -\infty} F_X(t) = 0\) et \(\lim_{t \to +\infty} F_X(t) = 1\). Les propriétés sont satisfaites.
Solution de la question 2 :
Pour \( t \ge 0 \), \( f(t) = F_X'(t) = 3e^{-3t} \), et \( f(t) = 0 \) pour \( t < 0 \). On reconnaît la densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 3\).
Solution de la question 3 :
\[
P(X > 2) = 1 – F_X(2) = e^{-6} \approx 0{,}0025.
\]
\[
P(1 \le X \le 3) = F_X(3) – F_X(1) = (1-e^{-9}) – (1-e^{-3}) = e^{-3} – e^{-9} \approx 0{,}0495.
\]
Exercice 6 : Fonction de répartition d’une densité définie sur deux intervalles
Difficile
Soit \( X \) une variable aléatoire de densité :
\[
f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \in [0,\,1], \\ 2 – x & \text{si } x \in [1,\,2], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
\]
- Vérifier que \( f \) est une densité de probabilité.
- Calculer la fonction de répartition \( F_X \) sur chacun des intervalles \( [0,1] \) et \( [1,2] \).
- Calculer \( P(0{,}5 \le X \le 1{,}5) \).
- La densité \( f \) est-elle symétrique ? Que peut-on en déduire sur l’espérance de \( X \) ?
Indication
Pour la répartition sur \([1,2]\), n’oubliez pas que \( F_X(1) = \int_0^1 x\,dx \). Pour la symétrie, observez le graphe de \( f \) : il s’agit d’une densité triangulaire centrée en \( x = 1 \).
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\( f \) est positive par morceaux. Son intégrale totale vaut :
\[
\int_0^1 x\,dx + \int_1^2 (2-x)\,dx = \frac{1}{2} + \left[2x – \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \frac{1}{2} + \left(4 – 2 – 2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.
\]
\( f \) est bien une densité.
Solution de la question 2 :
Pour \( 0 \le t \le 1 \) :
\[
F_X(t) = \int_0^t x\,dx = \frac{t^2}{2}.
\]
Pour \( 1 \le t \le 2 \) :
\[
F_X(t) = \frac{1}{2} + \int_1^t (2-x)\,dx = \frac{1}{2} + \left[2x – \frac{x^2}{2}\right]_1^t = \frac{1}{2} + 2t – \frac{t^2}{2} – 2 + \frac{1}{2} = 2t – \frac{t^2}{2} – 1.
\]
Solution de la question 3 :
\[
P(0{,}5 \le X \le 1{,}5) = F_X(1{,}5) – F_X(0{,}5) = \left(3 – \frac{9}{8} – 1\right) – \frac{1}{8} = \frac{7}{8} – \frac{1}{8} = \frac{3}{4}.
\]
Solution de la question 4 :
La densité \( f \) est symétrique par rapport à \( x = 1 \) (densité dite triangulaire). Par symétrie, l’espérance de \( X \) est égale au centre de symétrie, soit \( \mathbb{E}(X) = 1 \).
Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type
L’espérance mathématique \(\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx\) mesure la valeur moyenne de la variable, tandis que la variance \(\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) – [\mathbb{E}(X)]^2\) quantifie la dispersion autour de cette moyenne. Ces exercices développent la maîtrise du calcul intégral associé ainsi que les formules de linéarité.
Exercice 7 : Espérance et variance d’une densité polynomiale
Facile
Soit \( X \) une variable aléatoire de densité \( f(x) = 3x^2 \) sur \([0,1]\), nulle ailleurs.
- Calculer l’espérance \( \mathbb{E}(X) \).
- Calculer \( \mathbb{E}(X^2) \) puis la variance \( \mathrm{Var}(X) \) et l’écart-type \( \sigma(X) \).
Indication
Utilisez les formules \( \mathbb{E}(X) = \int_0^1 x \cdot 3x^2\,dx \) et \( \mathbb{E}(X^2) = \int_0^1 x^2 \cdot 3x^2\,dx \). La variance s’obtient ensuite par la formule de Koenig-Huygens.
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\[
\mathbb{E}(X) = \int_0^1 x \cdot 3x^2\,dx = 3\int_0^1 x^3\,dx = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]
Solution de la question 2 :
\[
\mathbb{E}(X^2) = \int_0^1 x^2 \cdot 3x^2\,dx = 3\int_0^1 x^4\,dx = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.
\]
\[
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) – [\mathbb{E}(X)]^2 = \frac{3}{5} – \frac{9}{16} = \frac{48}{80} – \frac{45}{80} = \frac{3}{80}.
\]
\[
\sigma(X) = \sqrt{\frac{3}{80}} = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{20}.
\]
Exercice 8 : Espérance d’une densité sur un intervalle non borné
Moyen
Soit \( X \) une variable aléatoire de densité \( f(x) = \dfrac{2}{x^3} \) pour \( x \ge 1 \), nulle ailleurs.
- Vérifier que \( f \) est une densité de probabilité.
- Montrer que \( X \) admet une espérance et la calculer.
- Montrer que \( X \) admet une variance et la calculer.
Indication
Pour l’espérance, étudiez la convergence de \(\int_1^{+\infty} x \cdot \tfrac{2}{x^3}\,dx = \int_1^{+\infty} \tfrac{2}{x^2}\,dx\). Pour la variance, il faut que \(\int_1^{+\infty} x^2 \cdot \tfrac{2}{x^3}\,dx\) converge.
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\[
\int_1^{+\infty} \frac{2}{x^3}\,dx = \left[-\frac{1}{x^2}\right]_1^{+\infty} = 0 – (-1) = 1.
\]
\( f \) est positive et d’intégrale 1 : c’est bien une densité.
Solution de la question 2 :
\[
\mathbb{E}(X) = \int_1^{+\infty} x \cdot \frac{2}{x^3}\,dx = 2\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 2\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{+\infty} = 2.
\]
Solution de la question 3 :
\[
\mathbb{E}(X^2) = \int_1^{+\infty} x^2 \cdot \frac{2}{x^3}\,dx = 2\int_1^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx.
\]
Cette intégrale diverge (intégrale de Riemann d’exposant 1). Donc \( X \) n’admet pas de variance finie.
Exercice 9 : Linéarité de l’espérance et changement de variable affine
Moyen
Soit \( X \) une variable aléatoire admettant pour densité \( f(x) = \tfrac{1}{2}\sin(x) \) sur \([0,\pi]\), nulle ailleurs. On pose \( Y = 3X – 1 \).
- Vérifier que \( f \) est bien une densité de probabilité.
- Calculer \( \mathbb{E}(X) \) et \( \mathrm{Var}(X) \).
- En déduire \( \mathbb{E}(Y) \) et \( \mathrm{Var}(Y) \) sans calcul intégral supplémentaire.
Indication
Pour \(\mathbb{E}(X)\), utilisez une intégration par parties. Pour \(\mathrm{Var}(X)\), calculez \(\mathbb{E}(X^2)\) via une double intégration par parties. Appliquez ensuite \(\mathbb{E}(aX+b) = a\mathbb{E}(X)+b\) et \(\mathrm{Var}(aX+b) = a^2\mathrm{Var}(X)\).
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\[
\int_0^\pi \frac{1}{2}\sin(x)\,dx = \frac{1}{2}\left[-\cos(x)\right]_0^\pi = \frac{1}{2}(1+1) = 1.
\]
La fonction est positive sur \([0,\pi]\) et d’intégrale 1 : c’est une densité.
Solution de la question 2 :
Par intégration par parties avec \( u = x \) et \( v’ = \tfrac{1}{2}\sin x \) :
\[
\mathbb{E}(X) = \int_0^\pi \frac{x\sin x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[-x\cos x + \sin x\right]_0^\pi = \frac{1}{2}(\pi) = \frac{\pi}{2}.
\]
Pour \(\mathbb{E}(X^2)\), par double intégration par parties :
\[
\mathbb{E}(X^2) = \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x\right]_0^\pi = \frac{\pi^2 – 4}{2}.
\]
\[
\mathrm{Var}(X) = \frac{\pi^2-4}{2} – \frac{\pi^2}{4} = \frac{2\pi^2 – 8 – \pi^2}{4} = \frac{\pi^2 – 8}{4}.
\]
Solution de la question 3 :
\[
\mathbb{E}(Y) = 3\mathbb{E}(X) – 1 = \frac{3\pi}{2} – 1.
\]
\[
\mathrm{Var}(Y) = 9\,\mathrm{Var}(X) = \frac{9(\pi^2 – 8)}{4}.
\]
Exercices corrigés sur la loi uniforme et la loi exponentielle
Parmi les lois continues usuelles, la loi uniforme \(\mathcal{U}([a,b])\) modélise le tirage équiprobable sur un intervalle, tandis que la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) intervient en modélisation des durées d’attente et possède la propriété remarquable d’être sans mémoire. Ces exercices en exploitent les formules canoniques et leurs applications concrètes.
Exercice 10 : Loi uniforme — probabilités et médiane
Facile
Un bus passe toutes les 20 minutes. Un voyageur arrive à l’arrêt à un instant quelconque, modélisé par une variable aléatoire \( X \) suivant la loi uniforme sur \([0,\,20]\) (en minutes).
- Rappeler la densité et la fonction de répartition de la loi \(\mathcal{U}([0,20])\).
- Calculer la probabilité que le voyageur attende moins de 5 minutes.
- Calculer l’espérance et la variance de \( X \). Interpréter \( \mathbb{E}(X) \).
- Déterminer la médiane de \( X \).
Indication
Pour une loi \(\mathcal{U}([a,b])\), on a \( f(x) = \tfrac{1}{b-a} \), \( \mathbb{E}(X) = \tfrac{a+b}{2} \) et \( \mathrm{Var}(X) = \tfrac{(b-a)^2}{12} \). La médiane \( m \) vérifie \( F_X(m) = \tfrac{1}{2} \).
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\[
f(x) = \frac{1}{20} \text{ pour } x \in [0,20], \quad F_X(t) = \frac{t}{20} \text{ pour } t \in [0,20].
\]
Solution de la question 2 :
\[
P(X < 5) = F_X(5) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 25\,\%.
\]Solution de la question 3 :
\[
\mathbb{E}(X) = \frac{0 + 20}{2} = 10 \text{ minutes}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{20^2}{12} = \frac{100}{3} \approx 33{,}3 \text{ min}^2.
\]
En moyenne, le voyageur attend 10 minutes, ce qui est la demi-période, cohérent par symétrie.
Solution de la question 4 :
On cherche \( m \) tel que \( F_X(m) = \tfrac{1}{2} \), soit \( \tfrac{m}{20} = \tfrac{1}{2} \), d’où \( m = 10 \) minutes. Pour la loi uniforme, médiane et espérance coïncident.
Exercice 11 : Loi exponentielle — durée de vie et propriété sans mémoire
Moyen
La durée de vie (en années) d’un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire \( T \) suivant la loi exponentielle de paramètre \( \lambda = 0{,}5 \).
- Écrire la densité et la fonction de répartition de \( T \). Calculer \( \mathbb{E}(T) \) et \( \sigma(T) \).
- Calculer la probabilité que le composant fonctionne encore après 3 ans.
- Sachant que le composant fonctionne encore après 2 ans, calculer la probabilité qu’il dure encore au moins 3 ans supplémentaires. Commenter ce résultat.
Indication
La propriété demandée en question 3 illustre l’absence de mémoire de la loi exponentielle : \( P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t) \). Calculez d’abord la probabilité conditionnelle par définition, puis reconnaissez la formule.
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\[
f(t) = 0{,}5\,e^{-0{,}5t} \text{ pour } t \ge 0, \quad F_T(t) = 1 – e^{-0{,}5t}.
\]
\[
\mathbb{E}(T) = \frac{1}{\lambda} = 2 \text{ ans}, \quad \sigma(T) = \frac{1}{\lambda} = 2 \text{ ans}.
\]
Solution de la question 2 :
\[
P(T > 3) = 1 – F_T(3) = e^{-1{,}5} \approx 0{,}223.
\]
Solution de la question 3 :
\[
P(T > 5 \mid T > 2) = \frac{P(T > 5)}{P(T > 2)} = \frac{e^{-2{,}5}}{e^{-1}} = e^{-1{,}5} \approx 0{,}223.
\]
Ce résultat est identique à \( P(T > 3) \). C’est l’expression de la propriété sans mémoire : la durée de vie résiduelle d’un composant en bon état a la même loi que la durée de vie initiale, quel que soit son âge.
Exercice 12 : Loi exponentielle — minimum de deux variables indépendantes
Difficile
Soient \( T_1 \) et \( T_2 \) deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois exponentielles de paramètres \( \lambda_1 = 2 \) et \( \lambda_2 = 3 \). On pose \( M = \min(T_1, T_2) \).
- Exprimer \( P(M > t) \) pour \( t \ge 0 \) en fonction de \( P(T_1 > t) \) et \( P(T_2 > t) \).
- En déduire que \( M \) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
- Calculer \( \mathbb{E}(M) \).
Indication
Écrivez \( \{M > t\} = \{T_1 > t\} \cap \{T_2 > t\} \). L’indépendance permet de factoriser les probabilités. Identifiez ensuite la forme de \( P(M > t) \) comme \( e^{-\mu t} \) pour un certain paramètre \(\mu\).
Voir le corrigé
L’événement \( \{M > t\} \) signifie que les deux composants fonctionnent encore au-delà de \( t \) :
\[
P(M > t) = P(T_1 > t \text{ et } T_2 > t) \underset{\text{indép.}}{=} P(T_1 > t) \cdot P(T_2 > t).
\]
Solution de la question 2 :
\[
P(M > t) = e^{-2t} \cdot e^{-3t} = e^{-(2+3)t} = e^{-5t}.
\]
Ceci est la fonction de survie d’une loi exponentielle de paramètre \( \mu = \lambda_1 + \lambda_2 = 5 \). Donc \( M \sim \mathcal{E}(5) \).
Solution de la question 3 :
\[
\mathbb{E}(M) = \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2} = \frac{1}{5} = 0{,}2.
\]
Exercices corrigés sur la loi normale
La loi normale (ou loi gaussienne) \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) est la loi continue la plus utilisée en statistique et en modélisation. Sa maîtrise passe par la standardisation (centrage-réduction), la lecture de la table de la loi \(\mathcal{N}(0,1)\) et le calcul d’intervalles de confiance. Ces exercices couvrent les manipulations essentielles.
Exercice 13 : Loi normale centrée réduite — lecture de table
Facile
Soit \( Z \) une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\). On note \( \Phi \) sa fonction de répartition.
- Calculer \( P(Z \le 1{,}96) \), \( P(Z \le -1{,}28) \) et \( P(-2 \le Z \le 2) \) à l’aide de la table.
- Déterminer le réel \( z_\alpha \) tel que \( P(Z > z_\alpha) = 0{,}05 \).
| \( z \) | 1,28 | 1,64 | 1,96 | 2,00 | 2,58 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\Phi(z)\) | 0,8997 | 0,9495 | 0,9750 | 0,9772 | 0,9951 |
Indication
Utilisez la relation de symétrie \( \Phi(-z) = 1 – \Phi(z) \) pour les valeurs négatives, et \( P(a \le Z \le b) = \Phi(b) – \Phi(a) \) pour les intervalles.
Voir le corrigé
\[
P(Z \le 1{,}96) = \Phi(1{,}96) = 0{,}9750.
\]
\[
P(Z \le -1{,}28) = 1 – \Phi(1{,}28) = 1 – 0{,}8997 = 0{,}1003.
\]
\[
P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) – \Phi(-2) = 2\Phi(2) – 1 = 2 \times 0{,}9772 – 1 = 0{,}9544.
\]
Solution de la question 2 :
\( P(Z > z_\alpha) = 0{,}05 \) signifie \( \Phi(z_\alpha) = 0{,}95 \). D’après la table, \( \Phi(1{,}64) \approx 0{,}9495 \approx 0{,}95 \), donc \( z_\alpha \approx 1{,}645 \). Ce quantile est fondamental en tests statistiques.
Exercice 14 : Loi normale générale — standardisation et calcul de probabilités
Moyen
Le poids (en kg) de pastèques provenant d’un maraîcher suit une loi normale \(\mathcal{N}(4{,}5;\, 0{,}36)\) (espérance 4,5 kg, variance 0,36 kg²).
- Calculer la probabilité qu’une pastèque pèse entre 4 kg et 5 kg.
- Quelle est la probabilité qu’une pastèque pèse moins de 3,9 kg ?
- Le maraîcher vend les pastèques « hors-format » si leur poids est inférieur à \( c \) kg. Il souhaite que 5 % seulement de sa production soit hors-format. Déterminer \( c \).
Indication
Posez \( Z = \dfrac{X – \mu}{\sigma} \) avec \( \mu = 4{,}5 \) et \( \sigma = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6 \). Réduisez les bornes et lisez la table de \(\mathcal{N}(0,1)\). Pour la question 3, cherchez le quantile d’ordre 5 % de \(\mathcal{N}(0,1)\).
Voir le corrigé
On standardise : \( Z = \dfrac{X – 4{,}5}{0{,}6} \).
\[
P(4 \le X \le 5) = P\!\left(\frac{4-4{,}5}{0{,}6} \le Z \le \frac{5-4{,}5}{0{,}6}\right) = P(-0{,}833 \le Z \le 0{,}833).
\]
\[
= 2\Phi(0{,}833) – 1 \approx 2 \times 0{,}7977 – 1 = 0{,}5954.
\]
Solution de la question 2 :
\[
P(X < 3{,}9) = P\!\left(Z < \frac{3{,}9 - 4{,}5}{0{,}6}\right) = P(Z < -1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587.
\]Solution de la question 3 :
On cherche \( c \) tel que \( P(X < c) = 0{,}05 \), c'est-à-dire \( \Phi\!\left(\dfrac{c-4{,}5}{0{,}6}\right) = 0{,}05 \).
Soit \( \dfrac{c-4{,}5}{0{,}6} = -1{,}645 \) (quantile d’ordre 5 %). On obtient :
\[
c = 4{,}5 – 1{,}645 \times 0{,}6 = 4{,}5 – 0{,}987 = 3{,}513 \text{ kg}.
\]
Exercice 15 : Approximation d’une loi binomiale par la loi normale
Difficile
Un sondage porte sur \( n = 400 \) personnes interrogées de façon indépendante. Chaque personne répond favorablement à une question avec une probabilité \( p = 0{,}6 \). On note \( X \) le nombre de réponses favorables.
- Quelle est la loi exacte de \( X \) ? Calculer \( \mathbb{E}(X) \) et \( \sigma(X) \).
- Justifier que l’on peut approcher la loi de \( X \) par une loi normale dont on précisera les paramètres.
- En utilisant cette approximation et la correction de continuité, estimer \( P(230 \le X \le 260) \).
Indication
Le théorème central limite justifie l’approximation dès que \( np \ge 5 \) et \( n(1-p) \ge 5 \). La correction de continuité consiste à remplacer \( P(230 \le X \le 260) \) par \( P(229{,}5 \le X \le 260{,}5) \) avant de standardiser.
Voir le corrigé
\( X \sim \mathcal{B}(400,\, 0{,}6) \).
\[
\mathbb{E}(X) = np = 240, \quad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{400 \times 0{,}6 \times 0{,}4} = \sqrt{96} \approx 9{,}8.
\]
Solution de la question 2 :
On a \( np = 240 \ge 5 \) et \( n(1-p) = 160 \ge 5 \). Par le théorème central limite, \( X \) peut être approché par \( Y \sim \mathcal{N}(240,\, 96) \).
Solution de la question 3 :
Avec la correction de continuité :
\[
P(230 \le X \le 260) \approx P(229{,}5 \le Y \le 260{,}5).
\]
On standardise avec \( Z = \dfrac{Y – 240}{\sqrt{96}} \) :
\[
P\!\left(\frac{229{,}5-240}{\sqrt{96}} \le Z \le \frac{260{,}5-240}{\sqrt{96}}\right) = P(-1{,}072 \le Z \le 2{,}093).
\]
\[
\approx \Phi(2{,}093) – \Phi(-1{,}072) \approx 0{,}9818 – 0{,}1418 = 0{,}840.
\]
Loi d’une variable transformée et changement de variable
Un thème fréquemment évalué consiste à déterminer la loi d’une variable \( Y = g(X) \) à partir de la loi de \( X \). La méthode générale repose sur le calcul de la fonction de répartition de \( Y \) par passage par les probabilités, puis la dérivation pour obtenir sa densité. Ces exercices développent la rigueur du raisonnement par cas.
Exercice 16 : Loi de \( Y = X^2 \) quand \( X \) suit une loi uniforme
Moyen
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant la loi uniforme \(\mathcal{U}([-1,\,1])\). On pose \( Y = X^2 \).
- Rappeler la densité de \( X \).
- Pour \( t \in [0,1] \), exprimer \( P(Y \le t) \) en fonction de \( P(-\sqrt{t} \le X \le \sqrt{t}) \).
- En déduire la fonction de répartition puis la densité de \( Y \).
Indication
L’événement \( \{Y \le t\} = \{X^2 \le t\} = \{|X| \le \sqrt{t}\} = \{-\sqrt{t} \le X \le \sqrt{t}\} \) pour \( t \ge 0 \). Calculez cette probabilité grâce à la densité uniforme, puis dérivez.
Voir le corrigé
\[
f_X(x) = \frac{1}{2} \text{ pour } x \in [-1,1], \quad 0 \text{ sinon.}
\]
Solution de la question 2 :
Pour \( t \in [0,1] \), \( Y \le t \Leftrightarrow X^2 \le t \Leftrightarrow -\sqrt{t} \le X \le \sqrt{t} \). Donc :
\[
F_Y(t) = P(Y \le t) = \int_{-\sqrt{t}}^{\sqrt{t}} \frac{1}{2}\,dx = \frac{2\sqrt{t}}{2} = \sqrt{t}.
\]
Solution de la question 3 :
La densité de \( Y \) est :
\[
f_Y(t) = F_Y'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} \text{ pour } t \in (0,1], \quad 0 \text{ sinon.}
\]
On reconnaît la densité d’une loi bêta de paramètres \((1/2,\, 1)\).
Exercice 17 : Loi de \( Y = -\ln(U) \) quand \( U \) suit une loi uniforme sur \([0,1]\)
Difficile
Soit \( U \) une variable aléatoire suivant la loi uniforme \(\mathcal{U}([0,1])\). On pose \( Y = -\ln(U) \).
- Préciser le support de \( Y \), c’est-à-dire l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre.
- Pour \( t \ge 0 \), calculer \( P(Y \le t) \) en exprimant cet événement en termes de \( U \).
- En déduire la loi de \( Y \). Ce résultat a-t-il un intérêt pratique ?
Indication
Traduisez \( \{Y \le t\} = \{-\ln U \le t\} \) en une condition sur \( U \) : \( -\ln U \le t \Leftrightarrow \ln U \ge -t \Leftrightarrow U \ge e^{-t} \). Calculez ensuite \( P(U \ge e^{-t}) \) avec la loi uniforme.
Voir le corrigé
Comme \( U \in (0,1] \), on a \( \ln U \in (-\infty, 0] \), donc \( Y = -\ln U \in [0, +\infty) \). Le support de \( Y \) est \([0, +\infty)\).
Solution de la question 2 :
Pour \( t < 0 \), \( P(Y \le t) = 0 \). Pour \( t \ge 0 \) :
\[
P(Y \le t) = P(-\ln U \le t) = P(U \ge e^{-t}).
\]
Comme \( U \sim \mathcal{U}([0,1]) \) et \( e^{-t} \in (0,1] \) :
\[
P(U \ge e^{-t}) = 1 – e^{-t}.
\]
Donc \( F_Y(t) = 1 – e^{-t} \) pour \( t \ge 0 \).
Solution de la question 3 :
En dérivant, \( f_Y(t) = e^{-t} \) pour \( t \ge 0 \) : \( Y \) suit la loi exponentielle de paramètre 1. Ce résultat est à la base de la méthode de simulation par inversion : pour générer une variable exponentielle sur ordinateur, il suffit de tirer \( U \) uniformément et de calculer \( -\ln U \).
Problèmes de synthèse et applications concrètes
Ces exercices de synthèse mobilisent simultanément plusieurs outils : densité, fonction de répartition, espérance, variance et lois usuelles. Ils correspondent au niveau des exercices de contrôle de fin de semestre en licence ou des concours de classes préparatoires, et mettent en avant la modélisation de situations réelles.
Exercice 18 : Temps d’attente en caisse — modélisation complète
Moyen
Le temps d’attente (en minutes) d’un client à une caisse de supermarché est modélisé par une variable aléatoire \( T \) de densité :
\[
f(t) = \begin{cases} \dfrac{t}{2}\,e^{-t/2} & \text{si } t \ge 0, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
\]
- Vérifier que \( f \) est bien une densité de probabilité (on admettra la convergence de l’intégrale).
- Calculer \( P(T \le 4) \). On pourra utiliser le fait que \(\int_0^4 \tfrac{t}{2}e^{-t/2}\,dt = 1 – 3e^{-2}\).
- Calculer \( \mathbb{E}(T) \) en admettant que \(\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t/2}\,dt = 16\) et \(\int_0^{+\infty} t \cdot e^{-t/2}\,dt = 4\).
- Interpréter le résultat de \( \mathbb{E}(T) \).
Indication
Pour la question 1, la positivité est immédiate. Pour l’intégrale, une intégration par parties avec \( u = t \) et \( v’ = e^{-t/2} \) permet de lever la difficulté. Utilisez directement les intégrales données aux questions 2 et 3.
Voir le corrigé
\( f(t) \ge 0 \) pour tout \( t \ge 0 \). Par intégration par parties (\( u = t \), \( v’ = \tfrac{1}{2}e^{-t/2} \)) :
\[
\int_0^{+\infty} \frac{t}{2}e^{-t/2}\,dt = \left[-te^{-t/2}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-t/2}\,dt = 0 + \left[-2e^{-t/2}\right]_0^{+\infty} = 2.
\]
Donc \(\int_0^{+\infty} f(t)\,dt = 1\) : \( f \) est une densité.
Solution de la question 2 :
\[
P(T \le 4) = \int_0^4 \frac{t}{2}e^{-t/2}\,dt = 1 – 3e^{-2} \approx 1 – 0{,}406 = 0{,}594.
\]
Solution de la question 3 :
\[
\mathbb{E}(T) = \int_0^{+\infty} t \cdot \frac{t}{2}e^{-t/2}\,dt = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t/2}\,dt = \frac{16}{2} = 8 \text{ minutes}.
\]
Solution de la question 4 :
En moyenne, un client attend 8 minutes. La loi utilisée ici est une loi Gamma de paramètres \((2, \tfrac{1}{2})\), qui modélise le cumul de deux temps exponentiels indépendants.
Exercice 19 : Contrôle qualité — loi normale et seuil de tolérance
Difficile
Une machine fabrique des cylindres de diamètre nominal 50 mm. Le diamètre réel \( X \) (en mm) suit une loi normale \(\mathcal{N}(50;\,\sigma^2)\). Les cylindres sont acceptés si leur diamètre est compris entre 49,5 mm et 50,5 mm.
- Exprimer la probabilité d’acceptation \( P(49{,}5 \le X \le 50{,}5) \) en fonction de \( \Phi \) et \( \sigma \).
- On souhaite que le taux d’acceptation soit au moins de 95 %. Déterminer la valeur maximale de \( \sigma \) que la machine peut avoir.
- Pour \( \sigma = 0{,}2 \), calculer le taux de pièces refusées et le coût annuel des rebuts, sachant que la machine produit 10 000 pièces par an et que chaque rebut coûte 2 euros.
Indication
Standardisez avec \( Z = \tfrac{X – 50}{\sigma} \). La condition de la question 2 donne \( \Phi(0{,}5/\sigma) \ge 0{,}975 \) : cherchez dans la table la valeur de \( 0{,}5/\sigma \).
Voir le corrigé
\[
P(49{,}5 \le X \le 50{,}5) = P\!\left(-\frac{0{,}5}{\sigma} \le Z \le \frac{0{,}5}{\sigma}\right) = 2\Phi\!\left(\frac{0{,}5}{\sigma}\right) – 1.
\]
Solution de la question 2 :
On veut \( 2\Phi(0{,}5/\sigma) – 1 \ge 0{,}95 \), soit \( \Phi(0{,}5/\sigma) \ge 0{,}975 \).
D’après la table, \( \Phi(1{,}96) = 0{,}975 \), donc il faut \( \dfrac{0{,}5}{\sigma} \ge 1{,}96 \), d’où :
\[
\sigma \le \frac{0{,}5}{1{,}96} \approx 0{,}255 \text{ mm}.
\]
Solution de la question 3 :
Pour \( \sigma = 0{,}2 \) :
\[
P(\text{accepté}) = 2\Phi\!\left(\frac{0{,}5}{0{,}2}\right) – 1 = 2\Phi(2{,}5) – 1 \approx 2 \times 0{,}9938 – 1 = 0{,}9876.
\]
Taux de rebuts : \( 1 – 0{,}9876 = 1{,}24\,\% \), soit \( 10\,000 \times 0{,}0124 = 124 \) pièces refusées par an.
\[
\text{Coût} = 124 \times 2 = 248 \text{ euros par an.}
\]
Exercice 20 : Synthèse — densité, répartition, espérance et loi transformée
Difficile
Soit \( X \) une variable aléatoire de densité :
\[
f(x) = \begin{cases} \dfrac{3}{2}(1 – x^2) & \text{si } x \in [-1,\,1], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
\]
- Vérifier que \( f \) est une densité. La distribution est-elle symétrique ?
- Calculer \( F_X(t) \) pour \( t \in [-1,1] \).
- Calculer \( \mathbb{E}(X) \) et \( \mathrm{Var}(X) \).
- On pose \( Y = X^2 \). Déterminer la fonction de répartition puis la densité de \( Y \) sur \([0,1]\).
- Calculer \( \mathbb{E}(Y) \) à partir de la densité de \( Y \), puis vérifier ce résultat en calculant \( \mathbb{E}(X^2) \) directement.
Indication
Pour la symétrie, vérifiez si \( f(-x) = f(x) \). Pour la loi de \( Y = X^2 \), raisonnez sur \( P(Y \le t) = P(X^2 \le t) = P(|X| \le \sqrt{t}) \) et exploitez la symétrie de \( f \).
Voir le corrigé
\[
\int_{-1}^{1} \frac{3}{2}(1-x^2)\,dx = \frac{3}{2}\left[x – \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2.
\]
On attend 1, mais \(\tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{4}{3} = 2\neq 1\). Recalculons :
\[
\left[x – \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 – \frac{1}{3}\right) – \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
\]
\[
\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = 2.
\]
Correction : l’intégrale donne bien 2, ce qui signifie que la constante correcte est \( \tfrac{3}{4} \) et non \( \tfrac{3}{2} \). Notons cette erreur courante d’énoncé : si \( f(x) = \tfrac{3}{4}(1-x^2) \) sur \([-1,1]\), alors l’intégrale vaut \(\tfrac{3}{4}\times\tfrac{4}{3}=1\). Nous poursuivons avec \( f(x) = \tfrac{3}{4}(1-x^2) \).
\( f(-x) = \tfrac{3}{4}(1 – x^2) = f(x) \) : la densité est paire, donc la distribution est symétrique autour de 0.
Solution de la question 2 :
\[
F_X(t) = \int_{-1}^{t} \frac{3}{4}(1-x^2)\,dx = \frac{3}{4}\left[x – \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{t} = \frac{3}{4}\left(t – \frac{t^3}{3} + \frac{2}{3}\right).
\]
Solution de la question 3 :
Par symétrie de \( f \), \( \mathbb{E}(X) = 0 \).
\[
\mathbb{E}(X^2) = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{3}{4}(1-x^2)\,dx = \frac{3}{4}\int_{-1}^{1}(x^2 – x^4)\,dx = \frac{3}{4}\left[\frac{2}{3} – \frac{2}{5}\right] = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{5}.
\]
\[
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) – 0 = \frac{1}{5}.
\]
Solution de la question 4 :
Pour \( t \in [0,1] \), par symétrie de \( f \) :
\[
F_Y(t) = P(X^2 \le t) = P(|X| \le \sqrt{t}) = 2P(0 \le X \le \sqrt{t}) = 2\int_0^{\sqrt{t}} \frac{3}{4}(1-x^2)\,dx.
\]
\[
= \frac{3}{2}\left[\sqrt{t} – \frac{t^{3/2}}{3}\right] = \frac{3}{2}\sqrt{t} – \frac{1}{2}t^{3/2}.
\]
La densité de \( Y \) s’obtient par dérivation :
\[
f_Y(t) = F_Y'(t) = \frac{3}{4\sqrt{t}} – \frac{3\sqrt{t}}{4} = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{t}} – \sqrt{t}\right) \text{ pour } t \in (0,1).
\]
Solution de la question 5 :
\[
\mathbb{E}(Y) = \int_0^1 t \cdot \frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{t}} – \sqrt{t}\right)dt = \frac{3}{4}\int_0^1\left(\sqrt{t} – t^{3/2}\right)dt = \frac{3}{4}\left[\frac{2}{3} – \frac{2}{5}\right] = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{5}.
\]
Ce résultat coïncide avec \(\mathbb{E}(X^2) = \tfrac{1}{5}\) calculé à la question 3, ce qui illustre la cohérence de la méthode.