Les séries de Fourier permettent de décomposer toute fonction périodique en une somme de sinus et de cosinus. Ce cours couvre les définitions, les coefficients, le théorème de Dirichlet et l’égalité de Parseval — avec des preuves claires pour les étudiants de licence (L2/L3) et de classes préparatoires. Pour aller plus loin, retrouvez nos exercices corrigés sur les séries de Fourier.
Contexte historique et motivation
L’histoire des séries de Fourier commence avec un problème de physique : comment se propage la chaleur dans un solide ? C’est Joseph Fourier qui, dans sa Théorie analytique de la chaleur publiée en 1822, propose de décomposer toute fonction périodique en une série trigonométrique infinie. Son intuition, révolutionnaire pour l’époque, déclencha une controverse profonde : peut-on vraiment représenter une fonction arbitraire comme une somme de sinusoïdes ? Cette question allait mobiliser les plus grands mathématiciens du XIXe siècle — Dirichlet, Riemann, Cantor, Lebesgue — et donner naissance à l’analyse harmonique moderne.
Au-delà de l’équation de la chaleur, les séries de Fourier trouvent aujourd’hui des applications dans le traitement du signal, la compression audio et vidéo (le format MP3 repose sur des idées voisines), l’optique, la mécanique quantique et même l’économétrie. Comprendre les séries de Fourier, c’est donc acquérir un langage universel pour l’étude des phénomènes périodiques.
Définition des séries de Fourier
Fonctions périodiques et espace de travail
Tout au long de ce cours, on travaille avec des fonctions périodiques continues par morceaux. Rappelons les définitions essentielles.
Définition : Fonction continue par morceaux et périodique.
Soit \( T > 0 \). Une fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) est dite T-périodique si pour tout \( x \in \mathbb{R} \),
f(x + T) = f(x).
\]
Elle est dite continue par morceaux sur \( \mathbb{R} \) s’il existe une subdivision finie de tout intervalle \([a, b]\) en sous-intervalles sur chacun desquels \( f \) est continue et admet des limites à gauche et à droite finies en chaque point.
On note \( \mathcal{E}_T \) l’espace vectoriel des fonctions \( T \)-périodiques et continues par morceaux sur \( \mathbb{R} \).
Par un changement de variable \( t \mapsto \frac{2\pi t}{T} \), on se ramène souvent au cas \( T = 2\pi \), ce qui simplifie l’écriture. On posera \( \omega = \frac{2\pi}{T} \) la pulsation fondamentale.
Coefficients de Fourier
L’idée clé est que les fonctions \( \bigl(\cos(n\omega t)\bigr)_{n \geq 0} \) et \( \bigl(\sin(n\omega t)\bigr)_{n \geq 1} \) forment un système orthogonal pour le produit scalaire naturel sur \( \mathcal{E}_T \). On peut donc « projeter » \( f \) sur chacune de ces fonctions de base, exactement comme on projette un vecteur sur les axes d’un repère orthogonal.
Définition : Coefficients de Fourier (forme réelle).
Soit \( f \in \mathcal{E}_T \). On appelle coefficients de Fourier de \( f \) les nombres réels :
a_0(f) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\, dt,
\]
a_n(f) = \frac{2}{T} \int_0^T f(t)\cos(n\omega t)\, dt, \quad n \geq 1,
\]
b_n(f) = \frac{2}{T} \int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\, dt, \quad n \geq 1.
\]
La série de Fourier de \( f \) est alors la série trigonométrique formelle :
S(f)(t) = a_0(f) + \sum_{n=1}^{+\infty} \bigl( a_n(f)\cos(n\omega t) + b_n(f)\sin(n\omega t) \bigr).
\]
Remarque importante. Le terme \( a_0(f) \) est simplement la valeur moyenne de \( f \) sur une période. Les termes \( a_n \) et \( b_n \) mesurent respectivement l’amplitude des composantes cosinus et sinus de fréquence \( n\omega \). On parle de la n-ième harmonique de \( f \).
Forme complexe des séries de Fourier
On peut regrouper les deux sommes réelles en une seule somme à l’aide des exponentielles complexes. Cette présentation, dite forme complexe des séries de Fourier, est souvent plus élégante et plus commode pour les calculs.
Définition : Coefficients de Fourier complexes.
Soit \( f \in \mathcal{E}_T \). On appelle coefficients de Fourier exponentiels de \( f \) les nombres complexes :
c_n(f) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\, e^{-in\omega t}\, dt, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
La série de Fourier s’écrit alors :
S(f)(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f)\, e^{in\omega t}.
\]
La relation entre les deux formes est donnée par :
c_0 = a_0, \quad c_n = \frac{a_n – ib_n}{2} \;(n \geq 1), \quad c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} \;(n \geq 1).
\]
Hypothèses et conditions sur la fonction
Avant de pouvoir affirmer que la série de Fourier converge et représente fidèlement \( f \), il faut imposer des conditions sur \( f \). La classe la plus couramment utilisée en analyse et en physique est celle des fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \) par morceaux.
Définition : Fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) par morceaux.
Une fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) est dite de classe \( \mathcal{C}^1 \) par morceaux sur \( \mathbb{R} \) si elle est continue par morceaux, et si sa dérivée \( f’ \) existe et est continue par morceaux sur chaque sous-intervalle d’une subdivision finie de tout compact. En particulier, \( f \) peut admettre un nombre fini de points de discontinuité par période, mais en chaque point \( t_0 \), les limites à gauche \( f(t_0^-) \) et à droite \( f(t_0^+) \) doivent exister et être finies.
Ces conditions sont souvent appelées conditions de Dirichlet. Elles sont satisfaites par la quasi-totalité des fonctions rencontrées en physique et en ingénierie. La régularité de la fonction a une conséquence directe sur la vitesse de décroissance des coefficients de Fourier : plus \( f \) est régulière, plus les \( |c_n(f)| \) décroissent rapidement vers 0. C’est le contenu informel du lemme de Riemann-Lebesgue.
Propriété : Lemme de Riemann-Lebesgue.
Si \( f \in \mathcal{E}_T \), alors ses coefficients de Fourier tendent vers zéro :
a_n(f) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0, \quad b_n(f) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0, \quad c_n(f) \underset{|n| \to +\infty}{\longrightarrow} 0.
\]
Ce résultat dit intuitivement que les harmoniques de haute fréquence contribuent de moins en moins au signal.
Parité et simplification des coefficients
La parité de \( f \) permet de simplifier considérablement les calculs. C’est l’un des premiers réflexes à acquérir avant de se lancer dans le calcul d’une série de Fourier.
Propriété : Fonctions paires et impaires.
- Si \( f \) est paire (i.e. \( f(-t) = f(t) \)), alors tous les \( b_n(f) = 0 \). La série de Fourier ne contient que des cosinus (et la valeur moyenne).
- Si \( f \) est impaire (i.e. \( f(-t) = -f(t) \)), alors tous les \( a_n(f) = 0 \). La série de Fourier ne contient que des sinus.
Dans le cas pair, on peut de plus calculer les intégrales sur la demi-période \([0, T/2]\) et multiplier par 2, car l’intégrande est alors une fonction paire.
Théorème de Dirichlet (convergence ponctuelle)
La question centrale de la théorie est la suivante : la série de Fourier de \( f \) converge-t-elle vers \( f \) ? Le théorème de Dirichlet — parfois appelé théorème de Jordan-Dirichlet dans sa formulation la plus précise — y répond pour les fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \) par morceaux.
Théorème de Dirichlet (convergence ponctuelle des séries de Fourier).
Soit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) une fonction \( T \)-périodique, de classe \( \mathcal{C}^1 \) par morceaux sur \( \mathbb{R} \). Pour tout \( t_0 \in \mathbb{R} \), la série de Fourier de \( f \) converge, et sa somme vaut :
S(f)(t_0) = \frac{f(t_0^-) + f(t_0^+)}{2},
\]
où \( f(t_0^-) = \lim_{t \to t_0^-} f(t) \) et \( f(t_0^+) = \lim_{t \to t_0^+} f(t) \).
En particulier, en tout point \( t_0 \) de continuité de \( f \), la série de Fourier converge vers \( f(t_0) \) :
S(f)(t_0) = f(t_0).
\]
Interprétation pédagogique. En un point de continuité, la série reconstruit exactement la valeur de \( f \). En un point de discontinuité, la série se « place » automatiquement au milieu du saut : elle converge vers la moyenne des deux valeurs limites. C’est une propriété naturelle et élégante de la théorie.
Convergence normale sur un compact sans discontinuité
Propriété — Convergence normale.
Si \( f \) est \( T \)-périodique, de classe \( \mathcal{C}^1 \) par morceaux, et continue sur \( \mathbb{R} \) (sans discontinuité), alors la série de Fourier de \( f \) converge normalement — et donc uniformément — vers \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
Égalité de Parseval
L’égalité de Parseval est le pendant « énergétique » du théorème de Dirichlet. Elle établit que toute l’énergie de la fonction est contenue dans l’ensemble de ses harmoniques.
Théorème — Égalité de Parseval.
Soit \( f \in \mathcal{E}_T \). Alors :
\frac{1}{T} \int_0^T |f(t)|^2\, dt = |a_0(f)|^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} \bigl(|a_n(f)|^2 + |b_n(f)|^2\bigr),
\]
ou, en notation complexe :
\frac{1}{T} \int_0^T |f(t)|^2\, dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2.
\]
Utilité pratique. L’égalité de Parseval est l’outil privilégié pour calculer des sommes de séries numériques remarquables. En choisissant une bonne fonction \( f \) et en appliquant la formule, on obtient par exemple :
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \qquad \text{(problème de Bâle, démontré par Euler)},
\]
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.
\]
Ces résultats, non triviaux en analyse directe, deviennent presque immédiats une fois qu’on dispose du développement en série de Fourier de la fonction appropriée.
Preuve du théorème de Dirichlet
Nous présentons ici la preuve du théorème de Dirichlet en ses étapes essentielles. L’argument repose sur une expression intégrale des sommes partielles via le noyau de Dirichlet, puis sur un lemme de décroissance des oscillations rapides.
Somme partielle et noyau de Dirichlet
Notons \( S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\, e^{in\omega t} \) la \( N \)-ième somme partielle de la série de Fourier de \( f \). En substituant les formules des coefficients \( c_n \), on obtient :
S_N(f)(t) = \frac{1}{T}\int_0^T f(s)\, D_N(t-s)\, ds = (f * D_N)(t),
\]
où \( D_N \) est le noyau de Dirichlet d’ordre \( N \) :
D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} e^{in\omega u} = \frac{\sin\!\bigl((N+\tfrac{1}{2})\omega u\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{\omega u}{2}\bigr)}.
\]
La seconde égalité s’obtient en sommant la série géométrique. Le noyau de Dirichlet joue un rôle analogue à celui d’une « approximation de l’identité » : pour de grandes valeurs de \( N \), il concentre sa masse autour de 0, ce qui fait que la convolution \( f * D_N \) approche \( f \).
Lemme de Riemann-Lebesgue
L’ingrédient clé de la preuve est le lemme suivant, qui traduit l’annulation des oscillations rapides lors de l’intégration.
Lemme de Riemann-Lebesgue.
Soit \( h : [a,b] \to \mathbb{C} \) une fonction intégrable. Alors :
\int_a^b h(u)\sin(\lambda u)\, du \underset{\lambda \to +\infty}{\longrightarrow} 0.
\]
Idée de la preuve. Pour \( \lambda \) grand, la fonction \( \sin(\lambda u) \) oscille très rapidement. Les contributions positives et négatives de l’intégrale se compensent de plus en plus précisément. Si \( h \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \), une intégration par parties donne immédiatement la décroissance en \( O(1/\lambda) \). Le cas général s’obtient par un argument d’approximation.
Conclusion de la preuve
Fixons \( t_0 \in \mathbb{R} \). L’étude de \( S_N(f)(t_0) – \frac{f(t_0^-)+f(t_0^+)}{2} \) se ramène, après manipulation de la convolution avec \( D_N \) et normalisation, à étudier l’intégrale :
\int_0^{T/2} \frac{f(t_0+u)+f(t_0-u)-f(t_0^+)-f(t_0^-)}{2\sin(\omega u/2)}\,\sin\!\bigl((N+\tfrac{1}{2})\omega u\bigr)\, du.
\]
Sous l’hypothèse \( \mathcal{C}^1 \) par morceaux, la fonction \( u \mapsto \frac{f(t_0+u)+f(t_0-u)-f(t_0^+)-f(t_0^-)}{2\sin(\omega u/2)} \) est intégrable sur \( (0, T/2] \) (les singularités apparentes en 0 sont levables). Le lemme de Riemann-Lebesgue s’applique alors et donne la convergence vers 0, ce qui conclut la preuve.
Phénomène de Gibbs : quand la série « dépasse »
Au voisinage d’un point de discontinuité, la série de Fourier présente un comportement surprenant : même lorsque le nombre de termes \( N \) tend vers l’infini, la somme partielle \( S_N(f) \) dépasse toujours la valeur de la fonction d’environ 9 % de la hauteur du saut. Ce phénomène, découvert par Henry Wilbraham en 1848 et popularisé par Josiah Willard Gibbs en 1899, est le phénomène de Gibbs.
Il ne contredit pas le théorème de Dirichlet — qui parle de convergence ponctuelle — mais montre que la convergence n’est pas uniforme au voisinage des discontinuités. En pratique, ce phénomène est à prendre en compte dans les applications numériques (traitement du signal, résolution d’équations aux dérivées partielles).
Propriétés opératoires des coefficients de Fourier
Les coefficients de Fourier se comportent très bien vis-à-vis des opérations classiques sur les fonctions. Ces propriétés sont indispensables pour calculer rapidement des séries de Fourier sans intégrer à chaque fois.
Propriété — Linéarité.
Pour tous \( f, g \in \mathcal{E}_T \) et \( \alpha, \beta \in \mathbb{C} \) :
c_n(\alpha f + \beta g) = \alpha\, c_n(f) + \beta\, c_n(g).
\]
Propriété — Dérivation.
Si \( f \) est \( T \)-périodique et de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbb{R} \), alors \( f’ \in \mathcal{E}_T \) et :
c_n(f’) = in\omega\, c_n(f).
\]
Dériver revient donc à multiplier les coefficients par \( in\omega \). Cela explique pourquoi les fonctions très régulières ont des coefficients qui décroissent très vite (chaque dérivation multiplie par \( n \)).
Propriété — Translation et modulation.
- Translation : Si \( g(t) = f(t – t_0) \), alors \( c_n(g) = e^{-in\omega t_0} c_n(f) \).
- Conjugaison : Si \( f \) est à valeurs réelles, alors \( c_{-n}(f) = \overline{c_n(f)} \).
Produit scalaire et orthogonalité
La justification profonde de la définition des coefficients de Fourier est l’orthogonalité des exponentielles complexes. On munit l’espace \( \mathcal{E}_T \) du produit scalaire hermitien :
\langle f, g \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\overline{g(t)}\, dt.
\]
La famille \( \bigl(e_n\bigr)_{n \in \mathbb{Z}} \) avec \( e_n(t) = e^{in\omega t} \) est alors orthonormée :
\langle e_n, e_m \rangle = \delta_{n,m} = \begin{cases} 1 & \text{si } n = m, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
\]
Les coefficients de Fourier sont donc les coordonnées de \( f \) dans cette base orthonormée : \( c_n(f) = \langle f, e_n \rangle \). C’est exactement l’analogue, en dimension infinie, de la projection d’un vecteur sur les axes d’un repère orthonormal.
Ce qu’il faut retenir sur les séries de Fourier
Les séries de Fourier reposent sur une idée simple et profonde : décomposer une fonction périodique en une somme (potentiellement infinie) de sinusoïdes. Les coefficients de Fourier quantifient la contribution de chaque harmonique, et le théorème de Dirichlet garantit que cette décomposition reconstitue fidèlement la fonction en tout point de continuité, et prend la valeur moyenne du saut en tout point de discontinuité. L’égalité de Parseval complète ce tableau en assurant la conservation de l’énergie lors du passage au domaine fréquentiel.
Ces résultats, issus de la théorie des fonctions périodiques, constituent le socle de l’analyse harmonique et ouvrent la voie à la transformée de Fourier (pour les fonctions non périodiques), à la transformée de Fourier discrète (pour le traitement numérique du signal) et aux ondelettes. Maîtriser les séries de Fourier, c’est se donner les outils pour aborder une grande partie de l’analyse moderne et de ses applications.
Questions fréquentes sur les séries de Fourier
Qu’est-ce qu’une série de Fourier en mathématiques ?
Une série de Fourier est une représentation d’une fonction périodique sous forme d’une somme infinie de sinus et de cosinus (ou d’exponentielles complexes). Elle permet de décomposer n’importe quel signal périodique en ses composantes fréquentielles élémentaires, appelées harmoniques. Formellement, si \( f \) est une fonction \( T \)-périodique, sa série de Fourier est \( S(f)(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)) \), où les \( a_n \) et \( b_n \) sont les coefficients de Fourier calculés par intégration de \( f \).
Comment calculer les coefficients de Fourier d’une fonction ?
Les coefficients de Fourier se calculent par des formules intégrales. Pour une fonction \( T \)-périodique, on a \( a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt \), \( a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t)\,dt \) et \( b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,dt \). En pratique, on commence toujours par tester la parité de \( f \) : si \( f \) est paire, tous les \( b_n \) sont nuls ; si \( f \) est impaire, tous les \( a_n \) sont nuls. Cela réduit parfois de moitié le travail de calcul.
Quelle est la différence entre série de Fourier et transformée de Fourier ?
La série de Fourier s’applique aux fonctions périodiques et produit un spectre discret (une suite de coefficients indexés par les entiers \( n \in \mathbb{Z} \)). La transformée de Fourier, en revanche, s’applique aux fonctions non nécessairement périodiques et produit un spectre continu (une fonction de la fréquence). La transformée de Fourier est en quelque sorte la généralisation de la série de Fourier au cas apériodique, obtenue en faisant tendre la période \( T \) vers l’infini.