La dérivabilité est l’une des notions les plus fondamentales de l’analyse mathématique. Elle conditionne l’existence de la fonction dérivée, permet de tracer des tangentes à une courbe et d’étudier rigoureusement les variations d’une fonction. Maîtriser la dérivabilité, c’est comprendre ce que signifie qu’une courbe est « lisse » en un point — et savoir reconnaître précisément quand elle ne l’est pas. Ce cours, destiné aux élèves de lycée (Première, Terminale) et aux étudiants de classes préparatoires ou de licence, couvre la définition, les conditions, les théorèmes fondamentaux et propose des exercices résolus pas à pas.
1. Qu’est-ce que la dérivabilité ? Définition rigoureuse
Avant d’énoncer la définition, partons d’une intuition géométrique simple. Imaginez la courbe représentative d’une fonction tracée sur du papier. Si vous pouvez placer une règle contre la courbe en un point donné de façon à ce que la règle « épouse » localement la direction de la courbe, alors la fonction est dérivable en ce point. Cette droite s’appelle la tangente à la courbe. Si la courbe présente un « coin » ou une « cassure » (comme le sommet d’un V), aucune tangente unique n’est possible : la fonction n’est pas dérivable en ce point.
Formellement, on mesure la « pente locale » par le taux d’accroissement, c’est-à-dire le rapport entre la variation de la fonction et la variation de l’abscisse. Quand ce rapport tend vers une limite finie lorsque l’on rapproche le second point du premier, cette limite est précisément le nombre dérivé.
Définition : Dérivabilité en un point
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) et soit \( a \in I \).
On dit que \( f \) est dérivable en \( a \) si le taux d’accroissement
\frac{f(a+h) – f(a)}{h}
\]
admet une limite finie lorsque \( h \to 0 \). Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de \( f \) en \( a \) et est notée \( f'(a) \) :
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}
\]
Une formulation équivalente : \( f \) est dérivable en \( a \) si et seulement si
\lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a}
\]
existe et est finie. Dans ce cas, les deux limites coïncident et valent \( f'(a) \).
La condition « finie » est essentielle : si le taux d’accroissement tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \), la courbe admet une tangente verticale en ce point, mais la fonction n’est pas considérée comme dérivable (le nombre dérivé n’est pas un réel).
2. Dérivées à gauche et à droite
Dans certaines situations, la limite du taux d’accroissement existe d’un côté mais pas de l’autre, ou bien les deux limites existent mais sont différentes. C’est pourquoi on introduit les notions de dérivée à droite et de dérivée à gauche.
Définition : Dérivées unilatérales
On appelle dérivée à droite de \( f \) en \( a \) la limite :
f’_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}
\]
On appelle dérivée à gauche de \( f \) en \( a \) la limite :
f’_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}
\]
Théorème : Caractérisation de la dérivabilité
La fonction \( f \) est dérivable en \( a \) si et seulement si \( f \) admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en \( a \), et ces deux valeurs sont égales :
f \text{ dérivable en } a \iff f’_g(a) = f’_d(a)
\]
Dans ce cas, \( f'(a) = f’_g(a) = f’_d(a) \).
Ce théorème est l’outil principal pour démontrer qu’une fonction n’est pas dérivable en un point de raccordement ou de définition par morceaux : il suffit de montrer que les deux dérivées unilatérales existent mais diffèrent.
3. Dérivabilité et continuité : un lien fondamental
La relation entre dérivabilité et continuité est au cœur de nombreuses confusions. Il est indispensable de la comprendre dans le bon sens.
Théorème : La dérivabilité implique la continuité
Si \( f \) est dérivable en \( a \), alors \( f \) est continue en \( a \).
Preuve
On écrit, pour \( h \neq 0 \) :
f(a+h) – f(a) = \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \cdot h
\]
Lorsque \( h \to 0 \), le premier facteur tend vers \( f'(a) \) (par hypothèse de dérivabilité) et le second facteur \( h \) tend vers \( 0 \). Par produit de limites :
\lim_{h \to 0} \bigl(f(a+h) – f(a)\bigr) = f'(a) \cdot 0 = 0
\]
Donc \( \lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a) \), ce qui signifie précisément que \( f \) est continue en \( a \). \( \square \)
⚠ Attention : La réciproque est fausse !
La continuité n’implique pas la dérivabilité. Une fonction peut être parfaitement continue en un point sans y être dérivable. L’exemple classique est la valeur absolue \( f(x) = |x| \) en \( x = 0 \) : elle est continue en 0, mais présente un point anguleux qui empêche toute dérivabilité. On résume : dérivabilité ⟹ continuité, mais continuité ⟹̸ dérivabilité.
Une conséquence immédiate et très utile : si \( f \) est discontinue en \( a \), alors \( f \) n’est pas dérivable en \( a \). La discontinuité est donc une condition suffisante de non-dérivabilité, que l’on peut vérifier avant même de calculer un taux d’accroissement.
4. Le point anguleux : comprendre la non-dérivabilité géométriquement
Un point anguleux est un point d’une courbe où la fonction est continue, mais où les demi-tangentes à gauche et à droite ont des pentes différentes. Visuellement, la courbe présente un « coin » ou une forme en V en ce point. La fonction n’est pas dérivable en ce point car aucune tangente unique ne peut y être tracée.
Le cas prototype est la fonction valeur absolue. Pour tout \( x \neq 0 \), la courbe est parfaitement lisse. Mais en \( x = 0 \), la courbe « change brutalement de direction ».
À l’inverse, une tangente verticale constitue un autre type de non-dérivabilité : le taux d’accroissement tend vers l’infini (et non vers deux valeurs finies différentes). La courbe est « lisse » mais la pente est infinie — le nombre dérivé n’est pas un réel.
Résumé des cas de non-dérivabilité
Une fonction \( f \) continue en \( a \) n’est pas dérivable en \( a \) dans deux situations :
- Point anguleux : \( f’_g(a) \) et \( f’_d(a) \) existent toutes les deux (finies) mais sont distinctes.
- Tangente verticale : le taux d’accroissement tend vers \( \pm\infty \) (la courbe admet une tangente verticale, mais \( f'(a) \notin \mathbb{R} \)).
5. Dérivabilité sur un intervalle et fonction dérivée
Définition : Dérivabilité sur un intervalle
On dit que \( f \) est dérivable sur l’intervalle \( I \) si \( f \) est dérivable en chaque point \( a \in I \).
Lorsque \( f \) est dérivable sur \( I \), l’application \( x \mapsto f'(x) \) est bien définie sur \( I \) et s’appelle la fonction dérivée de \( f \), notée \( f’ \) (notation de Lagrange) ou \( \dfrac{df}{dx} \) (notation de Leibniz).
Propriété : Opérations sur les fonctions dérivables
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions dérivables sur \( I \) et \( \lambda \in \mathbb{R} \). Alors :
- \( \lambda f + g \) est dérivable sur \( I \) et \( (\lambda f + g)’ = \lambda f’ + g’ \).
- \( f \cdot g \) est dérivable sur \( I \) et \( (fg)’ = f’g + fg’ \).
- Si \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), alors \( \dfrac{f}{g} \) est dérivable et \( \left(\dfrac{f}{g}\right)’ = \dfrac{f’g – fg’}{g^2} \).
- Si \( g \) est dérivable sur \( I \) et \( f \) dérivable sur \( g(I) \), alors \( f \circ g \) est dérivable et \( (f \circ g)’ = (f’ \circ g) \cdot g’ \) (règle de la chaîne).
Propriété : Dérivabilité et sens de variation
Soit \( f \) dérivable sur \( I \). Alors :
- \( f \) est croissante sur \( I \) si et seulement si \( f'(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in I \).
- \( f \) est décroissante sur \( I \) si et seulement si \( f'(x) \leq 0 \) pour tout \( x \in I \).
- \( f \) est constante sur \( I \) si et seulement si \( f'(x) = 0 \) pour tout \( x \in I \).
6. Équation de la tangente
L’interprétation géométrique centrale de la dérivabilité est l’existence d’une tangente. Si \( f \) est dérivable en \( a \), la courbe \( \mathcal{C}_f \) admet en son point \( A = (a, f(a)) \) une tangente dont le coefficient directeur est précisément \( f'(a) \).
Théorème : Équation de la tangente en \(a \)
Si \( f \) est dérivable en \( a \), l’équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) au point d’abscisse \( a \) est :
y = f'(a)(x – a) + f(a)
\]
Cette droite est la meilleure approximation affine de \( f \) au voisinage de \( a \) : en zoomant suffisamment autour du point \( A \), la courbe et sa tangente deviennent indiscernables.
Conclusion : Ce qu’il faut retenir sur la dérivabilité
La dérivabilité d’une fonction en un point est une propriété locale qui traduit l’existence d’une tangente non verticale à la courbe en ce point. Elle se caractérise par la convergence du taux d’accroissement vers une limite finie — le nombre dérivé. La dérivabilité est plus exigeante que la continuité : toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse. Les deux obstacles typiques sont le point anguleux (dérivées unilatérales distinctes) et la tangente verticale (limite infinie). Sur un intervalle, la dérivabilité donne naissance à la fonction dérivée, outil central pour l’étude des variations, des extrema et l’approximation affine.
Pour approfondir ces notions dans le cadre officiel du programme français, consultez la page
Dérivée sur Wikipédia (fr).
Questions fréquentes sur la dérivabilité
Quelle est la différence entre dérivabilité et continuité ?
La continuité en un point \( a \) signifie que la limite de \( f(x) \) quand \( x \to a \) vaut \( f(a) \). La dérivabilité est une condition plus forte : elle exige que le taux d’accroissement \( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) tende vers une limite finie. Toute fonction dérivable en \( a \) est continue en \( a \), mais l’inverse est faux (exemple : \( f(x) = |x| \) en 0).
Comment montrer qu’une fonction n’est pas dérivable en un point ?
On calcule les dérivées à gauche et à droite. Si elles sont différentes ou infinies, alors la fonction n’est pas dérivable en ce point.
Qu’est-ce qu’un point anguleux ?
C’est un point où la fonction est continue mais non dérivable, avec deux pentes différentes à gauche et à droite (exemple : \( |x| \) en 0).
Qu’est-ce que le taux d’accroissement ?
C’est le quotient \( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \), qui tend vers la dérivée lorsque \( h \to 0 \).
Une fonction dérivable est-elle toujours de classe C¹ ?
Non. Une fonction est de classe C¹ si elle est dérivable et que sa dérivée est continue.