Cette page rassemble des exercices corrigés sur les variables aléatoires discrètes, conçus pour accompagner les étudiants de licence, de classes préparatoires (MPSI, ECE, BCPST) et de terminale dans leur progression. Vous y trouverez des exercices couvrant les notions fondamentales : loi de probabilité, fonction de répartition, espérance mathématique, variance et écart-type, ainsi que les grandes lois discrètes usuelles — loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique et loi de Poisson. Chaque exercice est accompagné d’une indication pour guider la réflexion et d’un corrigé complet et détaillé, pour que vous puissiez vérifier votre démarche à chaque étape.
Définir et exploiter la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
Cette section propose des exercices fondamentaux pour construire et analyser la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète finie. Il s’agit d’identifier les valeurs prises par la variable, de calculer les probabilités associées et de vérifier les conditions d’une loi valide. Ces exercices constituent le socle indispensable avant d’aborder l’espérance et la variance.
Exercice 1 : Loi d’une variable aléatoire lors d’un tirage de dé
Facile
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On définit la variable aléatoire \( X \) comme le reste de la division euclidienne du résultat obtenu par 3.
- Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \( X \) et calculer les probabilités \( P(X = k) \) pour chaque valeur \( k \).
- Vérifier que le tableau ainsi obtenu définit bien une loi de probabilité.
- Calculer \( P(X \geq 1) \).
Indication
Calculez le reste de la division par 3 pour chacun des six résultats possibles du dé : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Regroupez ensuite les résultats donnant le même reste. Pour vérifier la loi, assurez-vous que la somme des probabilités est bien égale à 1.
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Les résultats du dé sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. On calcule les restes modulo 3 :
- \(1 \div 3\) : reste 1 \(4 \div 3\) : reste 1
- \(2 \div 3\) : reste 2 \(5 \div 3\) : reste 2
- \(3 \div 3\) : reste 0 \(6 \div 3\) : reste 0
Donc \( X(\Omega) = \{0, 1, 2\} \) et :
\[ P(X = 0) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad P(X = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad P(X = 2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Solution de la question 2 :
\[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \]
La somme vaut 1 et toutes les probabilités sont positives : il s’agit bien d’une loi de probabilité.
Solution de la question 3 :
\[ P(X \geq 1) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
Exercice 2 : Construction d’une loi à partir d’un tableau paramétré
Facile
Soit \( X \) une variable aléatoire discrète prenant les valeurs \( -1, 0, 1, 2 \). Son tableau de probabilités est le suivant, où \( a \) est un réel :
| \( x_i \) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|
| \( P(X = x_i) \) | \( 2a \) | \( a \) | \( 3a \) | \( 1 – 6a \) |
- Déterminer la valeur de \( a \) pour que ce tableau définisse une loi de probabilité.
- Calculer \( P(X > 0) \) et \( P(X^2 = 1) \).
Indication
La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1, et chaque probabilité doit être positive ou nulle. Utilisez ces deux conditions pour trouver les contraintes sur \( a \).
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La somme des probabilités vaut 1 :
\[ 2a + a + 3a + (1 – 6a) = 1 \implies 6a – 6a + 1 = 1 \]
Cette équation est satisfaite pour tout \( a \). Il faut donc imposer que chaque probabilité soit positive :
\[ 2a \geq 0 \implies a \geq 0 \quad \text{et} \quad 1 – 6a \geq 0 \implies a \leq \frac{1}{6} \]
Ainsi \( a \in \left[0,\, \frac{1}{6}\right] \). Pour que toutes les valeurs soient strictement positives (loi non dégénérée) : \( a \in \left]0,\, \frac{1}{6}\right[ \).
Solution de la question 2 :
\[ P(X > 0) = P(X=1) + P(X=2) = 3a + (1-6a) = 1 – 3a \]
Pour \( X^2 = 1 \), on a \( X = 1 \) ou \( X = -1 \) :
\[ P(X^2 = 1) = P(X=-1) + P(X=1) = 2a + 3a = 5a \]
Exercice 3 : Variable aléatoire définie sur un tirage sans remise
Moyen
Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement et sans remise deux boules. On note \( X \) le nombre de boules rouges obtenues.
- Déterminer la loi de probabilité de \( X \) (tableau complet).
- Calculer \( P(X \geq 1) \) en utilisant l’événement complémentaire.
- Calculer \( E(X) \) et \( V(X) \).
Indication
\( X \) peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2. Utilisez les probabilités de tirages sans remise : \( P(\text{rouge puis rouge}) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \). Pour \( X = 1 \), pensez aux deux ordres possibles. Utilisez ensuite les formules \( E(X) = \sum x_i p_i \) et \( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \).
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\[ P(X=0) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7} \]
\[ P(X=1) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{12}{42} + \frac{12}{42} = \frac{24}{42} = \frac{4}{7} \]
\[ P(X=2) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \]
Vérification : \( \frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = 1 \). ✓
Solution de la question 2 :
\[ P(X \geq 1) = 1 – P(X=0) = 1 – \frac{1}{7} = \frac{6}{7} \]
Solution de la question 3 :
\[ E(X) = 0 \times \frac{1}{7} + 1 \times \frac{4}{7} + 2 \times \frac{2}{7} = 0 + \frac{4}{7} + \frac{4}{7} = \frac{8}{7} \]
\[ E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{7} + 1^2 \times \frac{4}{7} + 2^2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7} + \frac{8}{7} = \frac{12}{7} \]
\[ V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = \frac{12}{7} – \left(\frac{8}{7}\right)^2 = \frac{12}{7} – \frac{64}{49} = \frac{84}{49} – \frac{64}{49} = \frac{20}{49} \]
Espérance mathématique et variance d’une variable aléatoire discrète
Ces exercices portent sur le calcul et l’interprétation de l’espérance mathématique \( E(X) \) et de la variance \( V(X) \). On s’intéresse également à la linéarité de l’espérance, à la formule \( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \) et aux propriétés de la variance par transformation affine.
Exercice 4 : Jeu de gain et espérance (décider si un jeu est favorable)
Facile
Un joueur mise 2 euros et lance un dé équilibré à 6 faces. Il gagne 5 euros si le résultat est un multiple de 3, il récupère sa mise (gain net nul) si le résultat est pair sans être multiple de 3, et il perd sa mise dans tous les autres cas. Soit \( G \) la variable aléatoire représentant le gain net du joueur.
- Déterminer la loi de probabilité de \( G \).
- Calculer \( E(G) \). Le jeu est-il favorable au joueur ?
Indication
Listez les résultats du dé (1 à 6) et classez-les selon les trois cas. Les multiples de 3 inférieurs à 6 sont 3 et 6. Les pairs non multiples de 3 sont 2 et 4. Le gain net est la somme reçue moins la mise initiale de 2 euros.
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Multiples de 3 parmi {1,…,6} : {3, 6} → gain net \(= +5\) euros, probabilité \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Pairs non multiples de 3 : {2, 4} → gain net \(= 0\) euro, probabilité \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Autres : {1, 5} → gain net \(= -2\) euros, probabilité \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Solution de la question 2 :
\[ E(G) = 5 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{3} + (-2) \times \frac{1}{3} = \frac{5 + 0 – 2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
L’espérance de gain est de 1 euro positif : le jeu est favorable au joueur.
Exercice 5 : Variance et transformation affine d’une variable aléatoire
Moyen
Soit \( X \) une variable aléatoire discrète d’espérance \( E(X) = 3 \) et de variance \( V(X) = 4 \). On pose \( Y = 2X – 1 \).
- Calculer \( E(Y) \) et \( V(Y) \).
- Calculer l’écart-type \( \sigma(Y) \) de \( Y \).
- On pose maintenant \( Z = X^2 \). Peut-on calculer \( E(Z) \) uniquement à partir de \( E(X) \) et \( V(X) \) ? Calculer \( E(Z) \).
Indication
Utilisez la linéarité de l’espérance : \( E(aX+b) = aE(X)+b \), et la propriété \( V(aX+b) = a^2 V(X) \). Pour \( E(X^2) \), pensez à la relation \( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \).
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\[ E(Y) = E(2X-1) = 2E(X) – 1 = 2 \times 3 – 1 = 5 \]
\[ V(Y) = V(2X-1) = 4 \cdot V(X) = 4 \times 4 = 16 \]
Solution de la question 2 :
\[ \sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{16} = 4 \]
Solution de la question 3 :
On utilise \( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \), soit :
\[ E(X^2) = V(X) + [E(X)]^2 = 4 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \]
Ainsi \( E(Z) = E(X^2) = 13 \). Oui, on peut le calculer à partir de \( E(X) \) et \( V(X) \).
Exercice 6 : Espérance et inégalité de Markov
Difficile
Soit \( X \) une variable aléatoire discrète à valeurs dans \( \mathbb{N} \), d’espérance \( E(X) = 2 \). On rappelle l’inégalité de Markov : pour tout \( a > 0 \),
\[ P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}. \]
- Démontrer l’inégalité de Markov pour une variable aléatoire discrète finie à valeurs positives.
- En déduire une majoration de \( P(X \geq 6) \).
- Soit \( Y = (X – E(X))^2 \). En appliquant Markov à \( Y \), retrouver l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout \( \varepsilon > 0 \), \( P(|X – E(X)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2} \).
Indication
Pour la question 1, partitionnez la somme définissant \( E(X) \) selon les valeurs où \( X \geq a \) et celles où \( X < a \). Supprimez les termes positifs pour obtenir une minoration de \( E(X) \). Pour la question 3, remarquez que \( P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) = P(Y \geq \varepsilon^2) \).
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Soit \( X(\Omega) = \{x_1, \ldots, x_n\} \) avec \( x_i \geq 0 \). On note \( I = \{i : x_i \geq a\} \).
\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) \geq \sum_{i \in I} x_i P(X=x_i) \geq \sum_{i \in I} a \cdot P(X=x_i) = a \cdot P(X \geq a) \]
En divisant par \( a > 0 \) : \( P(X \geq a) \leq \dfrac{E(X)}{a} \). \(\square\)
Solution de la question 2 :
\[ P(X \geq 6) \leq \frac{E(X)}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Solution de la question 3 :
On pose \( Y = (X – E(X))^2 \geq 0 \) et on note que \( E(Y) = V(X) \). On applique Markov à \( Y \) avec \( a = \varepsilon^2 \) :
\[ P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} \]
Or \( \{Y \geq \varepsilon^2\} = \{(X-E(X))^2 \geq \varepsilon^2\} = \{|X – E(X)| \geq \varepsilon\} \), d’où :
\[ P(|X – E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2} \quad \square \]
Loi de Bernoulli et loi binomiale : exercices corrigés progressifs
La loi de Bernoulli et la loi binomiale sont les lois discrètes les plus rencontrées dans les problèmes d’examens. Cette section propose des exercices allant de la reconnaissance et application directe jusqu’à des modélisations plus élaborées, notamment dans des contextes de contrôle qualité, de QCM et de jeux.
Exercice 7 : Reconnaître et appliquer la loi binomiale
Facile
Un QCM comporte 10 questions indépendantes, chacune proposant 4 réponses dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard à chaque question. Soit \( X \) le nombre de bonnes réponses.
- Quelle est la loi de \( X \) ? Préciser les paramètres.
- Calculer la probabilité d’obtenir exactement 3 bonnes réponses.
- Calculer \( E(X) \) et \( V(X) \).
Indication
Chaque question est une épreuve de Bernoulli indépendante avec probabilité de succès \( p = \frac{1}{4} \). La répétition de \( n \) épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques donne une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \). Rappelez-vous les formules \( E(X) = np \) et \( V(X) = np(1-p) \).
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Chaque réponse est un succès avec probabilité \( p = \frac{1}{4} \), les 10 questions sont indépendantes. Donc \( X \sim \mathcal{B}\!\left(10,\, \frac{1}{4}\right) \).
Solution de la question 2 :
\[ P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^7 = 120 \times \frac{1}{64} \times \frac{2187}{16384} \approx 0{,}2503 \]
Solution de la question 3 :
\[ E(X) = np = 10 \times \frac{1}{4} = 2{,}5 \]
\[ V(X) = np(1-p) = 10 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1{,}875 \]
Exercice 8 : Contrôle qualité et loi binomiale
Moyen
Une usine produit des composants électroniques. On sait que la probabilité qu’un composant soit défectueux est \( p = 0{,}05 \). On prélève un échantillon de \( n = 20 \) composants de façon indépendante. Soit \( X \) le nombre de composants défectueux dans l’échantillon.
- Donner la loi de \( X \), son espérance et sa variance.
- Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun composant défectueux dans l’échantillon.
- Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 2 composants défectueux. On donnera le résultat arrondi au millième.
Indication
\( X \sim \mathcal{B}(20, 0{,}05) \). Pour « au plus 2 », décomposez : \( P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \). Utilisez la formule générale \( P(X=k) = \binom{20}{k}(0{,}05)^k(0{,}95)^{20-k} \).
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\( X \sim \mathcal{B}(20,\, 0{,}05) \)
\[ E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1 \quad \text{et} \quad V(X) = 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}95 \]
Solution de la question 2 :
\[ P(X=0) = (0{,}95)^{20} \approx 0{,}3585 \]
Solution de la question 3 :
\[ P(X=1) = \binom{20}{1}(0{,}05)^1(0{,}95)^{19} = 20 \times 0{,}05 \times (0{,}95)^{19} \approx 0{,}3774 \]
\[ P(X=2) = \binom{20}{2}(0{,}05)^2(0{,}95)^{18} = 190 \times 0{,}0025 \times (0{,}95)^{18} \approx 0{,}1887 \]
\[ P(X \leq 2) \approx 0{,}3585 + 0{,}3774 + 0{,}1887 = 0{,}925 \]
Exercice 9 : Somme de variables de Bernoulli et loi du maximum
Difficile
Soient \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Bernoulli de paramètre \( p \in ]0,1[ \). On pose \( S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) et \( M_n = \max(X_1, \ldots, X_n) \).
- Rappeler la loi de \( S_n \) et calculer \( E(S_n) \) par linéarité.
- Déterminer la loi de \( M_n \) (les valeurs prises et leurs probabilités).
- Calculer \( E(M_n) \) et montrer que \( E(M_n) \to 1 \) quand \( n \to +\infty \).
Indication
\( M_n \) ne prend que les valeurs 0 et 1. Calculez \( P(M_n = 0) \) en remarquant que le maximum vaut 0 si et seulement si toutes les variables valent 0. Utilisez l’indépendance. Pour la limite, étudiez le comportement de \( (1-p)^n \) quand \( n \to +\infty \).
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Par stabilité de la loi binomiale par somme : \( S_n \sim \mathcal{B}(n, p) \). Par linéarité :
\[ E(S_n) = \sum_{k=1}^{n} E(X_k) = n \cdot p \]
Solution de la question 2 :
Chaque \( X_k \in \{0,1\} \), donc \( M_n \in \{0,1\} \).
\[ P(M_n = 0) = P(X_1=0, \ldots, X_n=0) = \prod_{k=1}^n P(X_k=0) = (1-p)^n \]
\[ P(M_n = 1) = 1 – (1-p)^n \]
Solution de la question 3 :
\[ E(M_n) = 0 \cdot (1-p)^n + 1 \cdot \left(1-(1-p)^n\right) = 1 – (1-p)^n \]
Comme \( 0 < 1-p < 1 \), on a \( (1-p)^n \to 0 \) quand \( n \to +\infty \), donc :
\[ \lim_{n \to +\infty} E(M_n) = 1 \]
Cela s’interprète naturellement : en répétant suffisamment d’épreuves, on finit presque sûrement par obtenir au moins un succès.
Loi géométrique et loi de Poisson : modélisation et calculs
La loi géométrique modélise le rang du premier succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de Poisson intervient pour dénombrer des événements rares se produisant en moyenne \( \lambda \) fois sur un intervalle de temps ou d’espace. Ces deux lois sont incontournables dans les études de fiabilité, de files d’attente et d’approximation de la loi binomiale.
Exercice 10 : Loi géométrique — rang du premier succès
Facile
On lance répétitivement un dé équilibré à 6 faces jusqu’à obtenir un 6 pour la première fois. Soit \( X \) le rang du premier lancer donnant un 6.
- Déterminer la loi de \( X \). Préciser les paramètres.
- Calculer \( P(X = 3) \) et \( P(X > 4) \).
- Calculer \( E(X) \) et \( V(X) \).
Indication
Pour obtenir le premier 6 au rang \( k \), il faut que les \( k-1 \) premiers lancers ne donnent pas 6, puis que le \( k \)-ième donne 6. Les lancers sont indépendants. Pensez aux formules \( E(X) = \frac{1}{p} \) et \( V(X) = \frac{1-p}{p^2} \).
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Chaque lancer est un succès (obtenir un 6) avec probabilité \( p = \frac{1}{6} \). Donc \( X \sim \mathcal{G}\!\left(\frac{1}{6}\right) \) et pour tout \( k \geq 1 \) :
\[ P(X = k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \times \frac{1}{6} \]
Solution de la question 2 :
\[ P(X=3) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0{,}116 \]
\[ P(X > 4) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0{,}482 \]
Solution de la question 3 :
\[ E(X) = \frac{1}{p} = 6 \quad \text{et} \quad V(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{5/6}{1/36} = 30 \]
Exercice 11 : Loi de Poisson (arrivées dans une file d’attente)
Moyen
Un guichet de banque reçoit en moyenne \( \lambda = 3 \) clients par tranche de 10 minutes. On modélise le nombre de clients arrivant en 10 minutes par une variable aléatoire \( X \) suivant une loi de Poisson de paramètre \( \lambda = 3 \).
- Rappeler la loi de \( X \) et calculer \( E(X) \) et \( V(X) \).
- Calculer \( P(X = 0) \), \( P(X = 2) \) et \( P(X \geq 4) \). On donnera les résultats arrondis au millième.
- Le guichetier peut traiter au maximum 5 clients par tranche de 10 minutes. Calculer la probabilité que le guichetier soit débordé, c’est-à-dire \( P(X > 5) \).
Indication
Pour une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \) : \( P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \) pour \( k \in \mathbb{N} \). Pour \( P(X \geq 4) \), utilisez le complémentaire : \( P(X \geq 4) = 1 – P(X \leq 3) \).
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Pour \( X \sim \mathcal{P}(3) \) : \( E(X) = \lambda = 3 \) et \( V(X) = \lambda = 3 \).
Solution de la question 2 :
\[ P(X=0) = e^{-3} \approx 0{,}050 \]
\[ P(X=2) = e^{-3} \frac{3^2}{2!} = e^{-3} \times \frac{9}{2} \approx 0{,}224 \]
\[ P(X \leq 3) = e^{-3}\left(1 + 3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{6}\right) = e^{-3} \times \frac{13}{1} \approx 0{,}647 \]
\[ P(X \geq 4) = 1 – P(X \leq 3) \approx 1 – 0{,}647 = 0{,}353 \]
Solution de la question 3 :
\[ P(X \leq 5) = P(X \leq 3) + P(X=4) + P(X=5) \]
\[ P(X=4) = e^{-3}\frac{3^4}{4!} = e^{-3} \times \frac{81}{24} \approx 0{,}168 \]
\[ P(X=5) = e^{-3}\frac{3^5}{5!} = e^{-3} \times \frac{243}{120} \approx 0{,}101 \]
\[ P(X \leq 5) \approx 0{,}647 + 0{,}168 + 0{,}101 = 0{,}916 \]
\[ P(X > 5) = 1 – 0{,}916 = 0{,}084 \]
Il y a environ 8,4 % de chances que le guichetier soit débordé.
Exercice 12 : Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
Difficile
Une assurance modélise le nombre de sinistres déclarés dans une année. On sait que la probabilité qu’un assuré déclare un sinistre dans l’année est \( p = 0{,}002 \), et le portefeuille compte \( n = 2000 \) assurés. Soit \( X \) le nombre de sinistres dans l’année.
- Donner la loi exacte de \( X \), son espérance et sa variance.
- Justifier que l’on peut approximer la loi de \( X \) par une loi de Poisson. Préciser le paramètre \( \lambda \).
- En utilisant l’approximation de Poisson, calculer \( P(X \leq 2) \) et \( P(X = 5) \). Comparer avec les valeurs exactes (on admettra \( \binom{2000}{5}(0{,}002)^5(0{,}998)^{1995} \approx 0{,}1563 \)).
Indication
L’approximation de Poisson est valide lorsque \( n \) est grand et \( p \) est petit, avec \( \lambda = np \) fini. Ici, \( n = 2000 \) et \( p = 0{,}002 \), donc \( \lambda = np = 4 \). Calculez ensuite les probabilités avec la formule de Poisson.
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\( X \sim \mathcal{B}(2000,\, 0{,}002) \) avec \( E(X) = 4 \) et \( V(X) = 2000 \times 0{,}002 \times 0{,}998 = 3{,}992 \).
Solution de la question 2 :
On a \( n = 2000 \gg 1 \) et \( p = 0{,}002 \ll 1 \) avec \( \lambda = np = 4 \) d’ordre fini. Les conditions de l’approximation de Poisson sont remplies (loi des événements rares) : on peut approcher \( X \) par une variable \( Y \sim \mathcal{P}(4) \).
Solution de la question 3 :
\[ P(Y=0) = e^{-4} \approx 0{,}0183 \]
\[ P(Y=1) = 4e^{-4} \approx 0{,}0733 \]
\[ P(Y=2) = \frac{16}{2}e^{-4} = 8e^{-4} \approx 0{,}1465 \]
\[ P(Y \leq 2) \approx 0{,}0183 + 0{,}0733 + 0{,}1465 = 0{,}2381 \]
\[ P(Y=5) = \frac{4^5}{5!}e^{-4} = \frac{1024}{120}e^{-4} \approx 0{,}1563 \]
La valeur exacte pour \( P(X=5) \) est également environ \( 0{,}1563 \) : l’approximation est excellente dans ce cas.
Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète
La fonction de répartition \( F_X(t) = P(X \leq t) \) est un outil essentiel pour résoudre des inégalités probabilistes et comprendre la structure d’une loi. Cette section propose des exercices sur la construction, la lecture et l’exploitation de la fonction de répartition dans des contextes variés.
Exercice 13 : Construire et lire une fonction de répartition
Facile
Soit \( X \) une variable aléatoire discrète dont la loi est donnée par le tableau suivant :
| \( x_i \) | 1 | 2 | 4 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| \( P(X = x_i) \) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{3}{10}\) |
- Calculer \( F_X(t) \) pour \( t \in \{0{,}5 ;\ 1 ;\ 3 ;\ 5 ;\ 7 ;\ 8\} \).
- Calculer \( P(2 \leq X \leq 5) \) à l’aide de \( F_X \).
- Calculer \( P(X > 2) \).
Indication
La fonction de répartition est définie par \( F_X(t) = P(X \leq t) = \sum_{x_i \leq t} P(X = x_i) \). Elle est constante entre deux valeurs consécutives et saute à chaque valeur prise par \( X \). Pour \( P(2 \leq X \leq 5) \), utilisez \( F_X(5) – F_X(1) \) en faisant attention aux inégalités strictes ou larges.
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\[ F_X(0{,}5) = 0, \quad F_X(1) = \frac{1}{5}, \quad F_X(3) = \frac{1}{5}+\frac{2}{5} = \frac{3}{5} \]
\[ F_X(5) = \frac{3}{5}+\frac{1}{10} = \frac{7}{10}, \quad F_X(7) = \frac{7}{10}+\frac{3}{10} = 1, \quad F_X(8) = 1 \]
Solution de la question 2 :
\[ P(2 \leq X \leq 5) = P(X=2) + P(X=4) = \frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{1}{2} \]
En termes de \( F_X \) : \( P(2 \leq X \leq 5) = F_X(5) – F_X(1) = \frac{7}{10} – \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \). ✓
Solution de la question 3 :
\[ P(X > 2) = 1 – P(X \leq 2) = 1 – F_X(2) = 1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \]
Exercice 14 : Retrouver la loi à partir de la fonction de répartition
Moyen
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète \( X \) à valeurs entières est définie par :
\[ F_X(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t < 0 \\ \frac{1}{4} & \text{si } 0 \leq t < 2 \\ \frac{7}{12} & \text{si } 2 \leq t < 3 \\ \frac{11}{12} & \text{si } 3 \leq t < 5 \\ 1 & \text{si } t \geq 5 \end{cases} \]
- Identifier les valeurs prises par \( X \) et calculer les probabilités associées.
- Calculer \( E(X) \) et \( V(X) \).
Indication
La variable \( X \) prend la valeur \( x_i \) si et seulement si \( F_X \) présente un saut en \( x_i \). La hauteur du saut vaut \( P(X = x_i) = F_X(x_i) – F_X(x_i^-) \), où \( F_X(x_i^-) \) désigne la limite à gauche.
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Les sauts de \( F_X \) se situent en \( 0, 2, 3, 5 \).
\[ P(X=0) = F_X(0) – F_X(0^-) = \frac{1}{4} – 0 = \frac{1}{4} \]
\[ P(X=2) = \frac{7}{12} – \frac{1}{4} = \frac{7}{12} – \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
\[ P(X=3) = \frac{11}{12} – \frac{7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
\[ P(X=5) = 1 – \frac{11}{12} = \frac{1}{12} \]
Vérification : \( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{3+4+4+1}{12} = 1 \). ✓
Solution de la question 2 :
\[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3} + 1 + \frac{5}{12} = \frac{8+12+5}{12} = \frac{25}{12} \]
\[ E(X^2) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{3} + 25 \cdot \frac{1}{12} = \frac{4}{3} + 3 + \frac{25}{12} = \frac{16+36+25}{12} = \frac{77}{12} \]
\[ V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = \frac{77}{12} – \left(\frac{25}{12}\right)^2 = \frac{77}{12} – \frac{625}{144} = \frac{924 – 625}{144} = \frac{299}{144} \]
Exercices de synthèse et de modélisation avancée
Cette dernière section regroupe des exercices de niveau élevé qui combinent plusieurs notions vues précédemment : définition d’une variable aléatoire adaptée à un problème complexe, calcul d’espérance par des méthodes avancées, indépendance de variables aléatoires et problèmes de modélisation issus de concours et d’examens.
Exercice 15 : Modélisation d’un jeu avec stratégie
Moyen
Un joueur dispose d’une pièce équilibrée. Il joue selon la règle suivante : il lance la pièce jusqu’à obtenir pile ou jusqu’à avoir effectué 4 lancers au maximum. Il gagne \( 2^k \) euros si pile apparaît pour la première fois au \( k \)-ième lancer, et il perd 5 euros si pile n’est pas apparu en 4 lancers. Soit \( G \) son gain net (en euros).
- Déterminer la loi de probabilité de \( G \).
- Calculer \( E(G) \). Le jeu est-il favorable au joueur ?
- Calculer \( V(G) \).
Indication
Listez les quatre scénarios possibles : pile au 1er, 2ème, 3ème, 4ème lancer, et aucun pile en 4 lancers. Calculez les probabilités de chacun, en utilisant l’indépendance des lancers. Attention : si pile apparaît au 4ème lancer, le joueur gagne \( 2^4 = 16 \) euros, pas \( -5 \).
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Les valeurs de \( G \) et leurs probabilités :
\[ P(G = 2) = P(\text{pile au 1er}) = \frac{1}{2} \]
\[ P(G = 4) = P(\text{pile au 2ème}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
\[ P(G = 8) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]
\[ P(G = 16) = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \]
\[ P(G = -5) = P(\text{aucun pile en 4 lancers}) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \]
Vérification : \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16} = \frac{8+4+2+1+1}{16} = 1 \). ✓
Solution de la question 2 :
\[ E(G) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{8} + 16 \cdot \frac{1}{16} + (-5) \cdot \frac{1}{16} \]
\[ = 1 + 1 + 1 + 1 – \frac{5}{16} = 4 – \frac{5}{16} = \frac{64-5}{16} = \frac{59}{16} \approx 3{,}69 \text{ euros} \]
L’espérance est positive : le jeu est favorable au joueur.
Solution de la question 3 :
\[ E(G^2) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 16 \cdot \frac{1}{4} + 64 \cdot \frac{1}{8} + 256 \cdot \frac{1}{16} + 25 \cdot \frac{1}{16} \]
\[ = 2 + 4 + 8 + 16 + \frac{25}{16} = 30 + \frac{25}{16} = \frac{480+25}{16} = \frac{505}{16} \]
\[ V(G) = E(G^2) – [E(G)]^2 = \frac{505}{16} – \left(\frac{59}{16}\right)^2 = \frac{505}{16} – \frac{3481}{256} = \frac{8080 – 3481}{256} = \frac{4599}{256} \approx 17{,}97 \]
Exercice 16 : Indépendance de deux variables aléatoires discrètes
Difficile
On lance deux dés équilibrés à 6 faces de façon indépendante. On note \( X \) le résultat du premier dé et \( Y \) le résultat du second. On définit les variables aléatoires \( S = X + Y \) et \( D = |X – Y| \).
- Rappeler la loi de \( X \) et calculer \( E(X) \) et \( V(X) \).
- En utilisant la linéarité de l’espérance et les propriétés de la variance, calculer \( E(S) \) et \( V(S) \).
- Déterminer la loi de \( D \) (tableau complet avec les probabilités de chaque valeur). Calculer \( E(D) \).
- \( S \) et \( D \) sont-elles indépendantes ? Justifier en calculant \( P(S=2 \text{ et } D=0) \) et en comparant à \( P(S=2) \times P(D=0) \).
Indication
Pour \( V(S) \), utilisez l’indépendance de \( X \) et \( Y \) : \( V(X+Y) = V(X) + V(Y) \). Pour la loi de \( D \), comptez le nombre de couples \( (x,y) \in \{1,\ldots,6\}^2 \) donnant chaque valeur de \( |x-y| \). Pour l’indépendance, comparez \( P(S=2, D=0) \) au produit \( P(S=2) \cdot P(D=0) \).
Voir le corrigé
\( X \sim \mathcal{U}(\{1,\ldots,6\}) \) (loi uniforme discrète).
\[ E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \]
\[ E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \]
\[ V(X) = \frac{91}{6} – \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12} \]
Solution de la question 2 :
\[ E(S) = E(X) + E(Y) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7 \]
Par indépendance : \( V(S) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \).
Solution de la question 3 :
L’espace est \( \{1,\ldots,6\}^2 \), soit 36 couples équiprobables. \( D \) prend les valeurs 0 à 5. En comptant les couples \( (x,y) \) tels que \( |x-y| = k \) :
| \( d \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nb. cas | 6 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| \( P(D=d) \) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{10}{36}\) | \(\frac{8}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) |
\[ E(D) = \frac{1}{36}\left(0\cdot6 + 1\cdot10 + 2\cdot8 + 3\cdot6 + 4\cdot4 + 5\cdot2\right) = \frac{10+16+18+16+10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18} \]
Solution de la question 4 :
\( S = 2 \) si et seulement si \( X = Y = 1 \), donc \( P(S=2) = \frac{1}{36} \). De même, \( D = 0 \) si et seulement si \( X = Y \), donc \( P(D=0) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).
L’événement \(\{S=2\} \cap \{D=0\}\) correspond à \( X = Y = 1 \), donc \( P(S=2 \text{ et } D=0) = \frac{1}{36} \).
\[ P(S=2) \times P(D=0) = \frac{1}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{216} \neq \frac{1}{36} \]
\( S \) et \( D \) ne sont pas indépendantes, car la coïncidence entre les dés affecte simultanément la somme et la différence.