Imaginez deux explorateurs qui progressent vers le même sommet : l’un monte sans jamais redescendre, l’autre descend sans jamais remonter, et leur écart se réduit à néant. C’est exactement l’image qui résume les suites monotones et suites adjacentes. Ces deux notions sont au cœur de l’analyse réelle et permettent de démontrer la convergence de suites sans calculer explicitement leur limite. Maîtriser les suites monotones et les suites adjacentes est indispensable à tout étudiant de terminale ou de première année de classe préparatoire ou de licence de mathématiques.
Dans ce cours, vous trouverez les définitions rigoureuses, les théorèmes fondamentaux avec leurs démonstrations détaillées, une interprétation graphique, des erreurs classiques à éviter et des exercices corrigés pas à pas.
Suites monotones : définitions et propriétés essentielles
Définition d’une suite monotone
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de nombres réels.
- On dit que \((u_n)\) est croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq u_{n+1}\).
- On dit que \((u_n)\) est décroissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq u_{n+1}\).
- On dit que \((u_n)\) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si les inégalités ci-dessus sont strictes.
- Une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
- Une suite est dite stationnaire s’il existe un rang \(n_0\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), \(u_n = u_{n_0}\).
Comment étudier la monotonie en pratique ?
Pour déterminer si une suite est monotone, on dispose de plusieurs méthodes selon la forme du terme général :
- Étude du signe de \(u_{n+1} – u_n\) : si cette différence est positive pour tout \(n\), la suite est croissante ; si elle est négative, la suite est décroissante.
- Étude du rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (pour une suite à termes strictement positifs) : si ce rapport est supérieur à 1, la suite est croissante ; s’il est inférieur à 1, elle est décroissante.
- Passage par une fonction : si \(u_n = f(n)\) pour une fonction \(f\) dérivable et si \(f'(x) \geq 0\) sur \(\mathbb{R}^+\), alors \((u_n)\) est croissante.
Suites majorées, minorées, bornées
- Une suite \((u_n)\) est majorée s’il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(n\), \(u_n \leq M\).
- Elle est minorée s’il existe un réel \(m\) tel que pour tout \(n\), \(u_n \geq m\).
- Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire s’il existe \(A \geq 0\) tel que \(|u_n| \leq A\) pour tout \(n\).
Théorème de convergence des suites monotones
C’est l’un des résultats les plus puissants et les plus utilisés de l’analyse réelle. Il établit un lien direct entre le comportement monotone d’une suite et sa convergence.
Théorème (Convergence des suites monotones)
- Toute suite croissante et majorée est convergente. Elle converge vers la borne supérieure de l’ensemble de ses valeurs.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente. Elle converge vers la borne inférieure de l’ensemble de ses valeurs.
- Toute suite croissante et non majorée tend vers \(+\infty\).
- Toute suite décroissante et non minorée tend vers \(-\infty\).
Démonstration (cas croissant et majoré)
Ce théorème repose fondamentalement sur la propriété de la borne supérieure dans \(\mathbb{R}\), elle-même conséquence de la complétude des réels.
Hypothèses : Soit \((u_n)\) une suite croissante et majorée. L’ensemble \(A = \{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}\) est une partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\). Par la propriété de la borne supérieure, cet ensemble admet une borne supérieure, notée \(\ell = \sup A\).
Objectif : Montrer que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Soit \(\varepsilon > 0\). Par définition de la borne supérieure, \(\ell – \varepsilon\) n’est pas un majorant de \(A\), donc il existe un rang \(n_0\) tel que \(u_{n_0} > \ell – \varepsilon\).
Comme la suite est croissante, pour tout \(n \geq n_0\) :
\ell – \varepsilon < u_{n_0} \leq u_n \leq \ell \]
On obtient donc \(|u_n – \ell| \leq \varepsilon\) pour tout \(n \geq n_0\). Cela signifie exactement que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
Interprétation graphique
Sur ce graphique, on voit clairement que les termes de la suite montent régulièrement mais ne peuvent dépasser le plafond \(\ell\). Ils « s’agglutinent » progressivement sous ce plafond, ce qui traduit la convergence.
Tableau récapitulatif des quatre cas
| Monotonie | Bornage | Comportement |
|---|---|---|
| Croissante | Majorée | Converge vers \(\sup\{u_n\}\) |
| Croissante | Non majorée | Tend vers \(+\infty\) |
| Décroissante | Minorée | Converge vers \(\inf\{u_n\}\) |
| Décroissante | Non minorée | Tend vers \(-\infty\) |
Suites adjacentes : définition complète et intuition
Définition des suites adjacentes
Deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) sont dites adjacentes si les trois conditions suivantes sont vérifiées simultanément :
- \((u_n)\) est croissante ou \((v_n)\) est croissante (l’une des deux est croissante, l’autre décroissante),
- l’autre suite est décroissante,
- \[
\lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n) = 0
\]
On convient en général que \((u_n)\) est la suite croissante et \((v_n)\) la suite décroissante, mais les rôles sont symétriques.
Intuition visuelle : deux mâchoires qui se ferment
L’image la plus parlante est celle de deux mâchoires qui se referment progressivement sur un nombre réel inconnu \(\ell\). La suite croissante \((u_n)\) approche \(\ell\) par valeurs inférieures (par défaut), et la suite décroissante \((v_n)\) approche \(\ell\) par valeurs supérieures (par excès). À chaque rang \(n\), l’encadrement \(u_n \leq \ell \leq v_n\) se resserre, et la largeur \(v_n – u_n\) tend vers zéro.
Lemme préliminaire : les termes de (u_n) sont toujours inférieurs à ceux de (v_n)
Lemme. Si \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) décroissante, et si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(v_n – u_n) = 0\), alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
u_n \leq v_n
\]
Démonstration du lemme. Posons \(w_n = v_n – u_n\). Puisque \((u_n)\) est croissante, \(u_{n+1} \geq u_n\), et puisque \((v_n)\) est décroissante, \(v_{n+1} \leq v_n\). Donc :
w_{n+1} = v_{n+1} – u_{n+1} \leq v_n – u_n = w_n
\]
La suite \((w_n)\) est donc décroissante et tend vers \(0\). Une suite décroissante tendant vers \(0\) est nécessairement à termes positifs ou nuls (si \(w_k < 0\) pour un certain \(k\), alors comme \((w_n)\) est décroissante et \(w_n \leq w_k < 0\) pour \(n \geq k\), la suite ne pourrait pas tendre vers \(0\) — contradiction). Donc \(w_n \geq 0\), c'est-à-dire \(u_n \leq v_n\) pour tout \(n\).
Théorème de convergence des suites adjacentes
Théorème (convergence et limite commune des suites adjacentes)
Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite. Plus précisément, si \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) décroissante et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(v_n – u_n) = 0\), alors :
\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = \ell \in \mathbb{R}
\]
De plus, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_n \leq \ell \leq v_n\).
Démonstration complète et rigoureuse
Étape 1 : convergence de \((u_n)\).
D’après le lemme, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_n \leq v_n \leq v_0\) (car \((v_n)\) est décroissante, donc \(v_n \leq v_0\)). La suite \((u_n)\) est donc croissante et majorée par \(v_0\). Par le théorème de convergence des suites monotones, \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell_1 \in \mathbb{R}\).
Étape 2 : convergence de \((v_n)\).
De même, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_0 \leq u_n \leq v_n\) (car \((u_n)\) est croissante, donc \(u_n \geq u_0\)). La suite \((v_n)\) est donc décroissante et minorée par \(u_0\). Par le théorème de convergence des suites monotones, \((v_n)\) converge vers une limite \(\ell_2 \in \mathbb{R}\).
Étape 3 : égalité des deux limites.
Par les propriétés des limites et la condition \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(v_n – u_n) = 0\) :
\ell_2 – \ell_1 = \lim_{n \to +\infty}(v_n – u_n) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \ell_1 = \ell_2 = \ell
\]
Les deux suites convergent donc vers la même limite réelle \(\ell\).
Remarque fondamentale. Puisque \(u_n \leq v_n\) pour tout \(n\), et en passant à la limite, on obtient \(\ell \leq \ell\), ce qui est cohérent. Plus précisément, comme \((u_n)\) est croissante et \(u_n \leq v_n\), on a \(\ell_1 \leq v_n\) pour tout \(n\), donc \(\ell \leq v_n\), ce qui donne l’encadrement \(u_n \leq \ell \leq v_n\).
Application : encadrement d’une limite par des suites adjacentes
L’un des intérêts pratiques majeurs des suites adjacentes est de fournir des encadrements de plus en plus précis de leur limite commune \(\ell\). Puisque \(u_n \leq \ell \leq v_n\), la précision de l’encadrement est exactement \(v_n – u_n\), qui tend vers \(0\).
Propriété (encadrement). Si \((u_n)\) croissante et \((v_n)\) décroissante sont adjacentes de limite \(\ell\), alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
u_n \leq \ell \leq v_n
\]
Autrement dit, \(u_n\) est une valeur approchée de \(\ell\) par défaut et \(v_n\) une valeur approchée de \(\ell\) par excès, avec une erreur inférieure à \(v_n – u_n\).
C’est exactement ce principe qui fonde les développements décimaux des réels : les approximations décimales par défaut et par excès d’un irrationnel \(x\) à \(10^{-n}\) près forment deux suites adjacentes convergeant vers \(x\).
Conclusion : ce qu’il faut retenir sur les suites monotones et suites adjacentes
Les suites monotones et suites adjacentes constituent un outil fondamental pour établir la convergence sans calcul explicite de limite. Le fil conducteur de ce cours est le suivant : la monotonie, combinée au bornage, garantit la convergence (théorème des suites monotones) ; et lorsque deux suites « se serrent » autour d’un même réel depuis des côtés opposés, elles sont forcément convergentes vers ce réel commun (théorème des suites adjacentes).
Retenez les trois ingrédients d’une paire de suites adjacentes : une suite croissante, une suite décroissante, et une différence qui tend vers zéro. Ces trois conditions suffisent à déduire la convergence commune, et à obtenir à chaque rang un encadrement de la limite avec une précision chiffrée.
Ce résultat est notamment utilisé dans l’approximation des réels irrationnels, dans l’étude de la convergence des séries alternées (critère de Leibniz), dans le calcul de la moyenne arithmético-géométrique et dans de nombreuses méthodes numériques.