Suites Arithmétiques et Géométriques

Les suites arithmétiques et géométriques constituent des outils mathématiques fondamentaux pour modéliser des phénomènes naturels comme la croissance démographique, les intérêts bancaires ou encore les progressions temporelles. Ce cours présente de manière claire et structurée les définitions, propriétés et formules essentielles pour maîtriser ces concepts au niveau seconde et première scientifique.

Table des Matières

Propriétés fondamentales des suites numériques

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite numérique définie sur un ensemble d’indices \( I \).

Suite majorée, minorée et bornée

Suite majorée : La suite \( (u_n) \) est majorée s’il existe un réel \( M \) tel que :

Condition de majoration d’une suite

\[ u_n \leq M \quad \forall n \in I \]

Suite minorée : La suite \( (u_n) \) est minorée s’il existe un réel \( m \) tel que :

Condition de minoration d’une suite

\[ m \leq u_n \quad \forall n \in I \]

Suite bornée : Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Autrement dit, il existe un réel positif \( M \) tel que :

Caractérisation d’une suite bornée

\[ |u_n| \leq M \quad \forall n \in I \]

Suite croissante et décroissante

Suite croissante : \( (u_n) \) est croissante si :

Condition de croissance

\[ u_{n+1} \geq u_n \quad \forall n \in I \]

Suite décroissante : \( (u_n) \) est décroissante si :

Condition de décroissance

\[ u_{n+1} \leq u_n \quad \forall n \in I \]

Convergence et propriétés importantes

Une suite qui tend vers une limite finie \( l \) s’appelle une suite convergente, sinon elle est dite divergente.

Propriété clé : Toute suite convergente est bornée.
Si une suite admet une limite finie \( l \), cette limite est unique.
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Toute suite croissante et non majorée tend vers \( +\infty \).
Toute suite décroissante et non minorée tend vers \( -\infty \).

Suite arithmétique : Définition et formules

Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite arithmétique s’il existe un réel \( r \) appelé raison tel que :

Relation de récurrence d’une suite arithmétique

\[ u_{n+1} = u_n + r \quad \forall n \in I \tag{1} \]

Le réel \( r \) est la raison de la suite arithmétique. Si \( r > 0 \), la suite est croissante ; si \( r < 0 \), elle est décroissante ; si \( r = 0 \), la suite est constante.

Terme général d’une suite arithmétique

Si \( (u_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r \) et \( u_p \) l’un de ses termes, alors :

Expression du terme général

\[ u_n = u_p + (n – p) \cdot r \quad \forall n \in I \tag{2} \]

Exemple d’application

Soit la suite arithmétique \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 3 \) et de raison \( r = 5 \). Calculons \( u_{10} \) :

\[ u_{10} = u_0 + (10 – 0) \cdot 5 = 3 + 50 = 53 \]

Somme des termes consécutifs

La somme des termes d’une suite arithmétique entre les rangs \( p \) et \( n \) (avec \( n \geq p \)) est donnée par :

Formule de la somme des termes consécutifs

\[ S_n = u_p + u_{p+1} + \ldots + u_n = \frac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2} \tag{3} \]

Exemple de calcul de somme

Calculons la somme des 11 premiers termes de la suite précédente \( (u_0 = 3, r = 5) \) :

\[ S_{10} = \frac{(10-0+1)(u_0 + u_{10})}{2} = \frac{11 \times (3 + 53)}{2} = \frac{11 \times 56}{2} = 308 \]

Suite géométrique : Définition et formules

Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite géométrique s’il existe un réel \( q \neq 0 \) appelé raison tel que :

Relation de récurrence d’une suite géométrique

\[ u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \forall n \in I \tag{4} \]

Le réel \( q \) est la raison de la suite géométrique. Le comportement de la suite dépend de la valeur de \( q \) :

Si \( q > 1 \) et \( u_0 > 0 \), la suite croît vers \( +\infty \).
Si \( 0 < q < 1 \), la suite décroît vers \( 0 \).
Si \( q = 1 \), la suite est constante.
Si \( q < 0 \), la suite alterne de signe.

Terme général d’une suite géométrique

Si \( (u_n) \) est une suite géométrique de raison \( q \) et \( p \) un entier naturel, alors :

Expression du terme général

\[ u_n = u_p \cdot q^{n-p} \quad \forall n \in I \tag{5} \]

Exemple d’application

Soit la suite géométrique \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 2 \) et de raison \( q = 3 \). Calculons \( v_6 \) :

\[ v_6 = v_0 \cdot 3^{6-0} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458 \]

Somme des termes consécutifs

La somme des termes d’une suite géométrique dépend de la valeur de \( q \) :

Cas 1 : Si \( q = 1 \), alors :

Somme avec raison égale à 1

\[ S_n = u_p + u_{p+1} + \ldots + u_n = (n-p+1) \cdot u_p \]

Cas 2 : Si \( q \neq 1 \), alors :

Somme avec raison différente de 1

\[ S_n = u_p + u_{p+1} + \ldots + u_n = u_p \cdot \frac{1 – q^{n-p+1}}{1 – q} \tag{6} \]

Exemple de calcul de somme

Calculons la somme des 7 premiers termes de la suite \( (v_0 = 2, q = 3) \) :

\[ S_6 = v_0 \cdot \frac{1 – 3^7}{1 – 3} = 2 \cdot \frac{1 – 2187}{-2} = 2 \cdot \frac{-2186}{-2} = 2 \cdot 1093 = 2186 \]

Limites des suites numériques

Limites de référence

Voici les limites fondamentales à connaître :

Si \( u_n = n \), alors \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \)
Si \( u_n = n^2 \), alors \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \)
Plus généralement, pour \( p \in \mathbb{N}^* \) : \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty \)
Si \( u_n = \sqrt{n} \), alors \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty \)

Limites des inverses :

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \)
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0 \)
Pour \( p \in \mathbb{N}^* \) : \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \)
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \)

Opérations sur les limites

Les opérations algébriques sur les limites suivent des règles précises. Attention aux formes indéterminées suivantes :

\( +\infty – \infty \) : forme indéterminée
\( 0 \times \infty \) : forme indéterminée
\( \frac{\infty}{\infty} \) : forme indéterminée
\( \frac{0}{0} \) : forme indéterminée

Remarques importantes

La limite d’une suite polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.
La limite d’une suite rationnelle (quotient de deux polynômes) est la limite du rapport des termes de plus haut degré.

Théorèmes de comparaison

Soient \( (u_n) \), \( (v_n) \) et \( (w_n) \) trois suites :

Théorème 1 : Si \( (u_n) \) converge vers \( L \) et si \( u_n \geq 0 \) à partir d’un certain rang, alors \( L \geq 0 \).

Théorème 2 : Si \( (u_n) \) et \( (v_n) \) convergent respectivement vers \( L \) et \( M \), et si \( v_n \leq u_n \) à partir d’un certain rang, alors \( M \leq L \).

Théorème 3 : Si \( v_n \leq u_n \) à partir d’un certain rang et si \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \), alors \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \).

Théorème des gendarmes : Si \( w_n \leq u_n \leq v_n \) à partir d’un certain rang, et si \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = l \), alors \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l \).

Limites des suites de forme \( a^n \)

Soit \( a \) un réel :

Si \( a > 1 \), alors \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a^n = +\infty \)
Si \( -1 < a < 1 \), alors \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a^n = 0 \)
Si \( a \leq -1 \), alors \( a^n \) n’a pas de limite

Pour \( p \in \mathbb{N}^* \) : \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty \)

Suites définies par une relation de récurrence

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) et \( (u_n) \) une suite numérique telle que :

\( f \) est continue sur \( I \)
\( f(I) \subset I \) (l’image de \( I \) par \( f \) est incluse dans \( I \))
\( u_{n+1} = f(u_n) \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
\( u_0 \in I \) (donc \( u_n \in I \) pour tout \( n \))
\( (u_n) \) est convergente

Théorème du point fixe : Alors la suite \( (u_n) \) tend vers \( l \), où \( l \) est solution de l’équation :

Équation du point fixe

\[ f(x) = x \]

Méthodologie d’étude

Vérifier que tous les termes appartiennent à l’intervalle \( I \) (par récurrence).
Étudier la monotonie de la suite (croissance ou décroissance).
Montrer que la suite est bornée.
Conclure sur la convergence grâce aux théorèmes de convergence monotone.
Résoudre l’équation \( f(x) = x \) pour trouver la limite.

Limite d’une suite composée

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \) et \( (u_n) \) une suite numérique telle que \( u_n \in I \) à partir d’un certain rang.

Théorème : Si \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l \) et si \( f \) est continue en \( l \), alors :

Limite de la suite composée

\[ \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l) \]

Exemple d’application

Soit \( u_n = \frac{1}{n} \). On sait que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \). Calculons \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \cos(u_n) \) :

La fonction \( \cos \) est continue en \( 0 \), donc :

\[ \lim_{n \to +\infty} \cos\left(\frac{1}{n}\right) = \cos(0) = 1 \]

Résumé des formules essentielles

Suite arithmétique

Relation de récurrence : \( u_{n+1} = u_n + r \)
Terme général : \( u_n = u_p + (n-p) \cdot r \)
Somme : \( S_n = \frac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2} \)

Suite géométrique

Relation de récurrence : \( u_{n+1} = q \cdot u_n \)
Terme général : \( u_n = u_p \cdot q^{n-p} \)
Somme (si \( q = 1 \)) : \( S_n = (n-p+1) \cdot u_p \)
Somme (si \( q \neq 1 \)) : \( S_n = u_p \cdot \frac{1 – q^{n-p+1}}{1 – q} \)

Limites de référence

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty \) pour \( p > 0 \)
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \) pour \( p > 0 \)
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a^n = +\infty \) si \( a > 1 \)
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a^n = 0 \) si \( |a| < 1 \)

Questions fréquentes sur les suites arithmétiques et géométriques

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence s’appelle la raison \( r \). Vérifiez que \( u_{n+1} – u_n = r \) pour tout \( n \).

Comment reconnaître une suite géométrique ?

Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient s’appelle la raison \( q \). Vérifiez que \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = q \) pour tout \( n \) (avec \( u_n \neq 0 \)).

Quelle est la différence entre suite arithmétique et géométrique ?

Dans une suite arithmétique, on ajoute une constante (la raison \( r \)) pour passer d’un terme au suivant. Dans une suite géométrique, on multiplie par une constante (la raison \( q \)) pour passer d’un terme au suivant.

Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ?

Pour calculer la somme de \( n-p+1 \) termes consécutifs d’une suite arithmétique, utilisez la formule : \( S = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2} \). Par exemple, la somme des entiers de 1 à 100 est \( \frac{100 \times (1+100)}{2} = 5050 \).

Une suite arithmétique peut-elle être convergente ?

Oui, uniquement si la raison \( r = 0 \), auquel cas la suite est constante et converge vers sa valeur initiale. Si \( r \neq 0 \), la suite arithmétique diverge vers \( +\infty \) (si \( r > 0 \)) ou vers \( -\infty \) (si \( r < 0 \)).

Quelles sont les applications pratiques des suites géométriques ?

Les suites géométriques modélisent de nombreux phénomènes : croissance démographique exponentielle, calcul d’intérêts composés en finance, désintégration radioactive en physique, propagation de virus, et amortissement de dettes.

Comment déterminer si une suite géométrique converge ?

Une suite géométrique de raison \( q \) converge vers 0 si et seulement si \( |q| < 1 \). Elle converge vers \( u_0 \) si \( q = 1 \). Dans tous les autres cas (\( |q| \geq 1 \) avec \( q \neq 1 \)), la suite diverge.

Que signifie une forme indéterminée dans le calcul de limites ?

Une forme indéterminée (comme \( \frac{\infty}{\infty} \) ou \( +\infty – \infty \)) signifie qu’on ne peut pas conclure directement sur la limite. Il faut transformer l’expression (factorisation, mise au même dénominateur, etc.) pour lever l’indétermination.

Pour aller plus loin

La maîtrise des suites arithmétiques et géométriques constitue un fondement essentiel pour aborder des notions plus avancées en mathématiques : séries numériques, suites récurrentes complexes, analyse asymptotique et équations aux différences. Ces concepts trouvent également des applications directes en sciences physiques, en économie et en informatique.

« C’est en forgeant que l’on devient forgeron », dit le proverbe. De même, c’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices que l’on devient un bon mathématicien. N’hésitez pas à pratiquer avec des exercices corrigés pour consolider votre compréhension.

Conseil pratique : Pour mémoriser les formules, créez des fiches de révision avec :

Les définitions précises de chaque type de suite
Les formules du terme général et de la somme
Des exemples types résolus pas à pas
Les pièges classiques à éviter (confusion entre raison additive et multiplicative)