Statistiques Descriptives Exercices Corrigés

Solution de la question 1 : Le nombre d’enfants par famille est une variable quantitative discrète. Les valeurs possibles sont des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, etc.

Solution de la question 2 : La couleur des yeux est une variable qualitative. Elle décrit une caractéristique non mesurable numériquement (bleu, vert, marron, etc.).

Solution de la question 3 : Le temps pour terminer un marathon est une variable quantitative continue. Il peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle (2h 35min 18s, 3h 12min 45s, etc.).

Solution de la question 4 : La note sur 20 est une variable quantitative discrète si on considère uniquement des notes entières ou demi-points. Elle peut être continue si toutes les décimales sont possibles.

Solution de la question 5 : La marque de téléphone est une variable qualitative. Elle désigne des catégories (Samsung, Apple, Huawei, etc.).

Solution de la question 1 : La population étudiée est l’ensemble des 5 000 étudiants de l’université.

Solution de la question 2 : L’échantillon est constitué des 200 étudiants interrogés.

Solution de la question 3 : La taille de l’échantillon est \( n = 200 \).

Solution de la question 4 : Une variable pertinente pourrait être : « Niveau de satisfaction concernant les services de la bibliothèque » avec les modalités : Très satisfait, Satisfait, Neutre, Insatisfait, Très insatisfait (variable qualitative ordinale).

Solution de la question 1 : En comptant les occurrences :

Solution de la question 2 : Les fréquences sont calculées par \( f_i = \frac{n_i}{N} \times 100 \) où \( N = 30 \) :

Solution de la question 3 : Les effectifs cumulés croissants sont :

\[ N_0 = 4, \quad N_1 = 4 + 11 = 15, \quad N_2 = 15 + 10 = 25, \quad N_3 = 25 + 4 = 29, \quad N_4 = 30 \]

Solution de la question 4 : Le mode est \( x = 1 \) car c’est la valeur ayant le plus grand effectif (11 occurrences).

Solution de la question 1 : L’effectif total est :

\[ N = 6 + 12 + 18 + 10 + 4 = 50 \text{ élèves} \]

Solution de la question 2 : Les centres de classe sont :

• Classe [150 ; 155[ : \( c_1 = \frac{150 + 155}{2} = 152{,}5 \) cm
• Classe [155 ; 160[ : \( c_2 = \frac{155 + 160}{2} = 157{,}5 \) cm
• Classe [160 ; 165[ : \( c_3 = \frac{160 + 165}{2} = 162{,}5 \) cm
• Classe [165 ; 170[ : \( c_4 = \frac{165 + 170}{2} = 167{,}5 \) cm
• Classe [170 ; 175[ : \( c_5 = \frac{170 + 175}{2} = 172{,}5 \) cm

Solution de la question 3 : Les fréquences sont :

Solution de la question 4 : Calculons les effectifs cumulés croissants :

\[ 6, \quad 18, \quad 36, \quad 46, \quad 50 \]

La médiane correspond à \( \frac{N}{2} = 25 \). L’effectif cumulé dépasse 25 dans la classe [160 ; 165[. C’est donc la classe médiane.

Solution de la question 1 : La moyenne est calculée par :

\[ \bar{x} = \frac{12 + 15 + 9 + 14 + 13}{5} = \frac{63}{5} = 12{,}6 \]

La moyenne des cinq notes est 12,6 sur 20.

Solution de la question 2 : Avec la sixième note de 16 :

\[ \bar{x} = \frac{12 + 15 + 9 + 14 + 13 + 16}{6} = \frac{79}{6} \approx 13{,}17 \]

La nouvelle moyenne est environ 13,17 sur 20.

Solution de la question 1 :

\[ N = 3 + 5 + 8 + 6 + 2 + 1 = 25 \text{ élèves} \]

L’effectif total est bien vérifié.

Solution de la question 2 : Calculons la somme pondérée :

\[ \sum n_i x_i = 3 \times 8 + 5 \times 10 + 8 \times 12 + 6 \times 14 + 2 \times 16 + 1 \times 18 \]
\[ = 24 + 50 + 96 + 84 + 32 + 18 = 304 \]

La moyenne est donc :

\[ \bar{x} = \frac{304}{25} = 12{,}16 \]

La moyenne de la classe est 12,16 sur 20.

Solution de la question 3 : La médiane correspond au rang \( \frac{N+1}{2} = \frac{26}{2} = 13 \).

Effectifs cumulés : 3, 8, 16, 22, 24, 25

Le 13ème élève se trouve dans le groupe de note 12 (car l’effectif cumulé atteint 16 après la note 12).

La médiane est 12.

Solution de la question 4 : La note modale est celle qui a le plus grand effectif.

Le mode est 12 (effectif de 8 élèves).

Solution de la question 1 : Les centres de classe sont :

• [10 ; 15[ : \( c_1 = 12{,}5 \) min
• [15 ; 20[ : \( c_2 = 17{,}5 \) min
• [20 ; 25[ : \( c_3 = 22{,}5 \) min
• [25 ; 30[ : \( c_4 = 27{,}5 \) min
• [30 ; 35[ : \( c_5 = 32{,}5 \) min

Solution de la question 2 : Calculons la somme pondérée :

\[ \sum n_i c_i = 8 \times 12{,}5 + 22 \times 17{,}5 + 35 \times 22{,}5 + 26 \times 27{,}5 + 9 \times 32{,}5 \]
\[ = 100 + 385 + 787{,}5 + 715 + 292{,}5 = 2280 \]

La moyenne est :

\[ \bar{x} = \frac{2280}{100} = 22{,}8 \text{ minutes} \]

Le temps moyen est de 22,8 minutes.

Solution de la question 3 : La médiane correspond au rang \( \frac{100}{2} = 50 \).

Effectifs cumulés : 8, 30, 65, 91, 100

Le 50ème employé se trouve dans la classe [20 ; 25[ (car l’effectif cumulé atteint 65 après cette classe).

La classe médiane est [20 ; 25[.

Solution de la question 1 : Les centres de classe sont : 1300, 1500, 1700, 1900, 2250.

\[ \bar{x} = \frac{5 \times 1300 + 12 \times 1500 + 14 \times 1700 + 6 \times 1900 + 3 \times 2250}{40} \]
\[ = \frac{6500 + 18000 + 23800 + 11400 + 6750}{40} = \frac{66450}{40} = 1661{,}25 \text{ €} \]

Le salaire moyen est de 1661,25 €.

Solution de la question 2 : La médiane est au rang \( \frac{40}{2} = 20 \).

Effectifs cumulés : 5, 17, 31, 37, 40

La classe médiane est [1600 ; 1800[ (l’effectif cumulé passe de 17 à 31).

Par interpolation linéaire :

\[ Me = 1600 + \frac{20 – 17}{14} \times 200 = 1600 + \frac{3}{14} \times 200 = 1600 + 42{,}86 \approx 1642{,}86 \text{ €} \]

La médiane est environ 1643 €.

Solution de la question 3 :

Premier quartile \( Q_1 \) au rang \( \frac{40}{4} = 10 \) : classe [1400 ; 1600[

\[ Q_1 = 1400 + \frac{10 – 5}{12} \times 200 = 1400 + 83{,}33 \approx 1483{,}33 \text{ €} \]

Troisième quartile \( Q_3 \) au rang \( \frac{3 \times 40}{4} = 30 \) : classe [1600 ; 1800[

\[ Q_3 = 1600 + \frac{30 – 17}{14} \times 200 = 1600 + 185{,}71 \approx 1785{,}71 \text{ €} \]

Solution de la question 4 : L’écart interquartile est :

\[ IQR = Q_3 – Q_1 = 1785{,}71 – 1483{,}33 = 302{,}38 \text{ €} \]

L’écart interquartile est d’environ 302 €.

Solution de la question 1 : La température minimale est 18 °C.

Solution de la question 2 : La température maximale est 25 °C.

Solution de la question 3 : L’étendue est :

\[ e = x_{\max} – x_{\min} = 25 – 18 = 7 \text{ °C} \]

L’étendue est de 7 °C.

Solution de la question 4 : L’étendue représente l’amplitude de variation des températures pendant cette semaine. Plus l’étendue est grande, plus les valeurs sont dispersées.

Solution de la question 1 : L’âge moyen est :

\[ \bar{x} = \frac{25 + 30 + 28 + 32 + 35}{5} = \frac{150}{5} = 30 \text{ ans} \]

Solution de la question 2 : Calculons les écarts à la moyenne au carré :

\[ (25-30)^2 = 25, \quad (30-30)^2 = 0, \quad (28-30)^2 = 4 \]
\[ (32-30)^2 = 4, \quad (35-30)^2 = 25 \]

La variance est :

\[ V = \frac{25 + 0 + 4 + 4 + 25}{5} = \frac{58}{5} = 11{,}6 \text{ ans}^2 \]

Solution de la question 3 : L’écart-type est :

\[ \sigma = \sqrt{11{,}6} \approx 3{,}41 \text{ ans} \]

Solution de la question 4 : L’écart-type de 3,41 ans indique que les âges varient en moyenne de 3,41 ans autour de la moyenne de 30 ans. Les âges sont relativement homogènes.

Solution de la question 1 : L’effectif total est \( N = 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20 \).

\[ \bar{x} = \frac{2 \times 6 + 5 \times 8 + 8 \times 10 + 4 \times 12 + 1 \times 14}{20} = \frac{12 + 40 + 80 + 48 + 14}{20} = \frac{194}{20} = 9{,}7 \]

Solution de la question 2 : Utilisons la formule \( V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} – \bar{x}^2 \) :

\[ \sum n_i x_i^2 = 2 \times 36 + 5 \times 64 + 8 \times 100 + 4 \times 144 + 1 \times 196 \]
\[ = 72 + 320 + 800 + 576 + 196 = 1964 \]
\[ V = \frac{1964}{20} – (9{,}7)^2 = 98{,}2 – 94{,}09 = 4{,}11 \]

Solution de la question 3 : L’écart-type est :

\[ \sigma = \sqrt{4{,}11} \approx 2{,}03 \]

Solution de la question 4 : L’intervalle est \([9{,}7 – 2{,}03 ; 9{,}7 + 2{,}03] = [7{,}67 ; 11{,}73]\).

Les notes dans cet intervalle sont : 8 (5 élèves), 10 (8 élèves), 12 (4 élèves), soit 17 élèves.

La proportion est \( \frac{17}{20} = 0{,}85 \), soit 85% des élèves.

Solution de la question 1 :

Machine A :

\[ \bar{x}_A = \frac{89{,}8 + 90{,}2 + 90{,}0 + 89{,}9 + 90{,}1 + 90{,}0 + 89{,}9 + 90{,}2 + 90{,}1 + 90{,}0}{10} = \frac{900{,}2}{10} = 90{,}02 \text{ mm} \]

Machine B :

\[ \bar{x}_B = \frac{88{,}5 + 91{,}2 + 89{,}0 + 90{,}8 + 90{,}5 + 89{,}5 + 91{,}0 + 90{,}2 + 89{,}8 + 90{,}7}{10} = \frac{901{,}2}{10} = 90{,}12 \text{ mm} \]

Solution de la question 2 :

Machine A : calculons \( \sum x_i^2 = 81006{,}24 \)

\[ V_A = \frac{81006{,}24}{10} – (90{,}02)^2 = 8100{,}624 – 8103{,}6004 = 0{,}0164 \]
\[ \sigma_A = \sqrt{0{,}0164} \approx 0{,}128 \text{ mm} \]

Machine B : calculons \( \sum x_i^2 = 81222{,}32 \)

\[ V_B = \frac{81222{,}32}{10} – (90{,}12)^2 = 8122{,}232 – 8121{,}6144 = 0{,}6176 \]
\[ \sigma_B = \sqrt{0{,}6176} \approx 0{,}786 \text{ mm} \]

Solution de la question 3 : La machine A est plus précise car son écart-type (0,128 mm) est nettement inférieur à celui de la machine B (0,786 mm). Les pièces produites par la machine A sont plus homogènes.

Solution de la question 4 : La machine A est la plus adaptée car :

• Sa moyenne (90,02 mm) est plus proche de l’objectif (90 mm)
• Sa dispersion est beaucoup plus faible
• Elle produit des pièces plus régulières et plus proches de la cible

Solution de la question 1 : Le nombre de livres est une variable quantitative discrète. Le graphique le plus adapté est un diagramme en bâtons (ou diagramme à barres).

Solution de la question 2 : Construction du diagramme en bâtons :

• En abscisse : placer les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5
• En ordonnée : les effectifs (de 0 à 8)
• Tracer un bâton vertical au-dessus de chaque valeur, de hauteur égale à son effectif
• Les bâtons ne se touchent pas (contrairement à un histogramme)

Solution de la question 3 : La valeur modale est 2 livres (effectif maximal de 8 élèves).

Solution de la question 4 : La moyenne est :

\[ \bar{x} = \frac{0 \times 2 + 1 \times 5 + 2 \times 8 + 3 \times 6 + 4 \times 3 + 5 \times 1}{25} = \frac{0 + 5 + 16 + 18 + 12 + 5}{25} = \frac{56}{25} = 2{,}24 \text{ livres} \]

Solution de la question 1 : Les amplitudes sont :

• [1000 ; 1200[ : \( a_1 = 1200 – 1000 = 200 \) €
• [1200 ; 1500[ : \( a_2 = 1500 – 1200 = 300 \) €
• [1500 ; 2000[ : \( a_3 = 2000 – 1500 = 500 \) €
• [2000 ; 3000[ : \( a_4 = 3000 – 2000 = 1000 \) €

Solution de la question 2 : Les densités (hauteurs des rectangles) sont :

Solution de la question 3 : Pour construire l’histogramme :

• En abscisse : placer les bornes des classes (1000, 1200, 1500, 2000, 3000)
• En ordonnée : la densité (ou hauteur)
• Tracer des rectangles de hauteur égale à la densité calculée
• Les rectangles sont accolés (pas d’espace entre eux)
• L’aire de chaque rectangle = densité × amplitude = effectif

Solution de la question 4 : La classe modale est celle avec la plus grande densité : [1200 ; 1500[ avec une densité de 0,05.

Solution de la question 1 : Les effectifs cumulés croissants sont :

Solution de la question 2 : Les fréquences cumulées croissantes sont :

Solution de la question 3 : Pour tracer la courbe :

• Placer les points (0, 0), (5, 0,05), (10, 0,25), (12, 0,55), (15, 0,883), (20, 1)
• Relier ces points par des segments (polygone des fréquences cumulées)
• L’axe des abscisses représente les notes
• L’axe des ordonnées représente les fréquences cumulées (de 0 à 1)

Solution de la question 4 : La médiane correspond à la fréquence cumulée de 0,5.

Graphiquement, on trace une horizontale à \( y = 0{,}5 \) qui coupe la courbe. La projection sur l’axe des abscisses donne la médiane.

Par interpolation linéaire entre les points (10, 0,25) et (12, 0,55) :

\[ Me = 10 + \frac{0{,}5 – 0{,}25}{0{,}55 – 0{,}25} \times (12 – 10) = 10 + \frac{0{,}25}{0{,}30} \times 2 \approx 11{,}67 \]

La médiane est environ 11,67 sur 20.

Solution de la question 1 : Les fréquences sont :

Solution de la question 2 : Les angles sont calculés par \( \alpha = 360° \times f \) :

• Voiture : \( 360° \times 0{,}40 = 144° \)
• Transport en commun : \( 360° \times 0{,}35 = 126° \)
• Vélo : \( 360° \times 0{,}15 = 54° \)
• À pied : \( 360° \times 0{,}10 = 36° \)

Vérification : \( 144° + 126° + 54° + 36° = 360° \) ✓

Solution de la question 3 : Le moyen de transport le plus utilisé est la voiture (40% des personnes, secteur de 144°).

Solution de la question 1 : Les centres de classe sont : 2,5 ; 7,5 ; 12,5 ; 17,5 ; 25.

\[ \bar{x} = \frac{8 \times 2{,}5 + 18 \times 7{,}5 + 28 \times 12{,}5 + 20 \times 17{,}5 + 6 \times 25}{80} \]
\[ = \frac{20 + 135 + 350 + 350 + 150}{80} = \frac{1005}{80} = 12{,}5625 \text{ heures} \]

Solution de la question 2 : Effectifs cumulés : 8, 26, 54, 74, 80.

La médiane est au rang 40. La classe médiane est [10 ; 15[ (effectif cumulé de 54 > 40).

\[ Me = 10 + \frac{40 – 26}{28} \times 5 = 10 + \frac{14}{28} \times 5 = 10 + 2{,}5 = 12{,}5 \text{ heures} \]

Solution de la question 3 : Calculons \( \sum n_i c_i^2 \) :

\[ \sum n_i c_i^2 = 8 \times 6{,}25 + 18 \times 56{,}25 + 28 \times 156{,}25 + 20 \times 306{,}25 + 6 \times 625 \]
\[ = 50 + 1012{,}5 + 4375 + 6125 + 3750 = 15312{,}5 \]
\[ V = \frac{15312{,}5}{80} – (12{,}5625)^2 = 191{,}40625 – 157{,}815 = 33{,}59 \]
\[ \sigma = \sqrt{33{,}59} \approx 5{,}8 \text{ heures} \]

Solution de la question 4 :

Q1 au rang 20 : classe [5 ; 10[

\[ Q_1 = 5 + \frac{20 – 8}{18} \times 5 = 5 + \frac{12}{18} \times 5 = 5 + 3{,}33 = 8{,}33 \text{ h} \]

Q3 au rang 60 : classe [15 ; 20[

\[ Q_3 = 15 + \frac{60 – 54}{20} \times 5 = 15 + \frac{6}{20} \times 5 = 15 + 1{,}5 = 16{,}5 \text{ h} \]

Solution de la question 5 : Le diagramme en boîte nécessite :

• Minimum : 0 h (borne inf. première classe)
• Q1 = 8,33 h
• Médiane = 12,5 h
• Q3 = 16,5 h
• Maximum : 30 h (borne sup. dernière classe)

La boîte s’étend de Q1 à Q3 avec un trait pour la médiane. Les moustaches vont du minimum à Q1 et de Q3 au maximum.

Solution de la question 6 : Commentaire :

• Le temps moyen est de 12,56 heures par semaine
• L’écart-type de 5,8 heures indique une dispersion importante
• L’écart interquartile \( IQR = Q_3 – Q_1 = 8{,}17 \) heures montre que 50% des adolescents passent entre 8 et 17 heures par semaine devant un écran
• La distribution est relativement symétrique autour de la médiane

Solution de la question 1 :

\[ \bar{x} = \frac{2 + 5 + 3 + 8 + 6 + 4 + 7 + 5}{8} = \frac{40}{8} = 5 \text{ heures} \]
\[ \bar{y} = \frac{8 + 11 + 9 + 16 + 13 + 10 + 15 + 12}{8} = \frac{94}{8} = 11{,}75 \]

Solution de la question 2 : Calculons les produits des écarts :

\[ \text{Cov}(x,y) = \frac{11{,}25 + 0 + 5{,}5 + 12{,}75 + 1{,}25 + 1{,}75 + 6{,}5 + 0}{8} = \frac{39}{8} = 4{,}875 \]

Solution de la question 3 : Calculons les écarts-types :

\[ \sigma_x^2 = \frac{(-3)^2 + 0^2 + (-2)^2 + 3^2 + 1^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{8} = \frac{28}{8} = 3{,}5 \]
\[ \sigma_x = \sqrt{3{,}5} \approx 1{,}87 \]
\[ \sigma_y^2 = \frac{(-3{,}75)^2 + \cdots + 0{,}25^2}{8} = \frac{59{,}5}{8} = 7{,}4375 \]
\[ \sigma_y = \sqrt{7{,}4375} \approx 2{,}73 \]

Le coefficient de corrélation est :

\[ r = \frac{4{,}875}{1{,}87 \times 2{,}73} = \frac{4{,}875}{5{,}11} \approx 0{,}954 \]

Solution de la question 4 : Interprétation :

• Le coefficient de corrélation \( r \approx 0{,}95 \) est très proche de 1
• Il existe une forte corrélation linéaire positive entre le nombre d’heures de révision et la note obtenue
• Plus un étudiant révise, plus sa note tend à être élevée
• La relation est quasi-linéaire (les points seraient presque alignés sur un nuage de points)