Proportionnalité 5ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de proportionnalité en 5ème apprennent à reconnaître une situation proportionnelle, à compléter un tableau et à choisir entre coefficient, passage à l'unité ou propriétés additives. Le cours de proportionnalité en 5ème rappelle les méthodes et le vocabulaire utiles avant l'entraînement.

Les problèmes portent sur des prix, des recettes, des distances et des débits, mais chaque contexte exige un raisonnement différent. Plusieurs questions demandent aussi de prouver qu'une situation n'est pas proportionnelle. Cette page appartient au parcours de 5ème au collège.

Table des Matières

Reconnaître une situation de proportionnalité

Avant de calculer, il faut vérifier qu'un même multiplicateur relie toutes les valeurs correspondantes.

Exercice 1 : Proportionnel ou non ?

Facile

Pour chaque situation, décider si les deux grandeurs sont proportionnelles : un cahier coûte $2{,}40$ €, trois cahiers coûtent $7{,}20$ € ; un enfant mesure $1{,}35$ m à 10 ans, $1{,}62$ m à 12 ans et $1{,}70$ m à 14 ans ; une voiture parcourt $90$ km en une heure puis $180$ km en deux heures à vitesse constante.

Classer les trois situations.
Justifier chaque réponse par une propriété ou par un contre-exemple.

Indication

Une simple augmentation simultanée ne suffit pas. Cherchez si doubler une grandeur double nécessairement l'autre.

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Le prix des cahiers est proportionnel au nombre acheté. La taille observée n'est pas proportionnelle à l'âge. La distance est proportionnelle au temps lorsque la vitesse reste constante.
Chaque cahier coûte $2{,}40$ € et $3\times2{,}40=7{,}20$ . Pour la taille, les deux premiers quotients coïncident, mais $1{,}70\div14\approx0{,}121$ diffère de $1{,}35\div10=0{,}135$ : il n'existe pas de coefficient unique. Enfin, doubler la durée d'une à deux heures double la distance : $90\times2=180$ .

Exercice 2 : Tester un tableau

Facile

On donne deux tableaux. Tableau A : première ligne $2, 5, 8$ , seconde ligne $6, 15, 24$ . Tableau B : première ligne $3, 6, 10$ , seconde ligne $9, 18, 31$ .

Lequel est un tableau de proportionnalité ?
Donner son coefficient de proportionnalité.
Identifier la colonne qui invalide l'autre tableau.

Indication

Calculez les quotients entre les nombres de la seconde ligne et ceux de la première.

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Le tableau A est un tableau de proportionnalité, car $6\div2=15\div5=24\div8=3$ .
Le coefficient qui permet de passer de la première ligne à la seconde est $3$ .
Dans le tableau B, les deux premiers quotients valent $3$ , mais $31\div10=3{,}1$ . La troisième colonne invalide donc la proportionnalité.

Exercice 3 : Démasquer une fausse remise

Moyen

Une affiche annonce : « Deux billets coûtent $18$ €, donc cinq billets coûtent $40$ € au même tarif unitaire. »

Calculer le prix d'un billet.
Déterminer le prix correct de cinq billets.
Mesurer l'écart avec le prix affiché.
Expliquer si l'affiche décrit réellement un même tarif.

Indication

Commencez par revenir à une unité, puis multipliez par le nombre demandé.

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Un billet coûte $18\div2=9$ €.
Au même tarif unitaire, cinq billets devraient coûter $5\times9=45$ €.
L'écart avec le prix affiché est $45-40=5$ €.
L'affiche ne décrit pas un tarif unitaire constant. Soit le prix de 40 € est erroné, soit une remise de 5 € est appliquée et doit être annoncée.

Compléter un tableau par des méthodes adaptées

Coefficient, retour à l'unité et propriétés des colonnes aboutissent au même résultat, mais l'une peut être plus rapide selon les nombres.

Exercice 4 : Utiliser un coefficient décimal

Facile

La masse de pommes et le prix sont proportionnels. Un kilogramme coûte $2{,}80$ €. On achète successivement $0{,}5$ kg, $1{,}5$ kg et $3{,}25$ kg.

Calculer les trois prix.
Écrire le coefficient qui permet de passer de la masse au prix.

Indication

Multipliez chaque masse, exprimée en kilogrammes, par le prix d'un kilogramme.

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Les trois prix sont $0{,}5\times2{,}80=1{,}40$ €, $1{,}5\times2{,}80=4{,}20$ € et $3{,}25\times2{,}80=9{,}10$ €.
Le coefficient qui permet de passer de la masse en kilogrammes au prix en euros est $2{,}80$ €/kg. Les unités confirment que le produit donne bien des euros.

Exercice 5 : Passer par l’unité

Moyen

Une imprimante produit $84$ pages en $6$ minutes à rythme constant.

Combien imprime-t-elle de pages en une minute ?
Combien de pages produit-elle en $15$ minutes ?
Combien de temps faut-il pour imprimer $350$ pages ?

Indication

Déterminez d'abord le débit en pages par minute. Pour la dernière question, inversez le raisonnement.

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En une minute, l'imprimante produit $84\div6=14$ pages.
En $15$ minutes, elle produit $15\times14=210$ pages.
Pour $350$ pages, il faut $350\div14=25$ minutes. Le contrôle $25\times14=350$ confirme le résultat.

Exercice 6 : Combiner des colonnes

Moyen

Dans une recette, $4$ personnes nécessitent $300$ g de riz et $6$ personnes nécessitent $450$ g.

Sans calculer la quantité pour une personne, trouver la quantité pour $10$ personnes.
Trouver ensuite la quantité pour $2$ personnes.
En déduire la quantité pour $8$ personnes de deux manières.

Indication

Dans un tableau proportionnel, on peut additionner ou soustraire deux colonnes.

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Comme $10=4+6$ , il faut $300+450=750$ g pour dix personnes.
Comme $2=6-4$ , il faut $450-300=150$ g pour deux personnes.
Pour huit personnes, on peut calculer $450+150=600$ g en ajoutant les colonnes de six et deux personnes, ou $2\times300=600$ g en doublant celle de quatre personnes.

Exercice 7 : Choisir la méthode la plus efficace

Moyen

Sept mètres de tissu coûtent $59{,}50$ €. On veut calculer le prix de $21$ m puis celui de $5$ m.

Calculer le prix de $21$ m sans passer par l'unité.
Calculer le prix de $5$ m par passage à l'unité.
Expliquer pourquoi les deux questions invitent à des méthodes différentes.

Indication

Observez que $21$ est un multiple simple de $7$ , contrairement à $5$ .

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Comme $21=3\times7$ , le prix de $21$ m vaut directement $3\times59{,}50=178{,}50$ €.
Un mètre coûte $59{,}50\div7=8{,}50$ €, donc cinq mètres coûtent $5\times8{,}50=42{,}50$ €.
La première longueur est un multiple simple de $7$ , ce qui rend la multiplication de colonne immédiate. Pour $5$ m, le retour à l'unité est plus court et plus lisible.

Résoudre des problèmes de proportionnalité

Les situations de synthèse demandent d'identifier les grandeurs, de conserver les unités et d'interpréter le résultat.

Exercice 8 : Adapter une recette

Moyen

Pour $6$ personnes, une soupe utilise $1{,}8$ L de bouillon, $750$ g de légumes et $3$ cuillères d'huile. On prépare la recette pour $14$ personnes.

Calculer la quantité de bouillon.
Calculer la masse de légumes.
Calculer la quantité d'huile et proposer une mesure praticable.

Indication

Le coefficient d'agrandissement est $14\div6=\frac{7}{3}$ . Vous pouvez aussi calculer pour deux personnes, puis multiplier par sept.

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Pour deux personnes, il faut $1{,}8\div3=0{,}6$ L de bouillon. Pour quatorze personnes, on multiplie par $7$ : $0{,}6\times7=4{,}2$ L.
Pour deux personnes, il faut $750\div3=250$ g de légumes. Pour quatorze personnes : $250\times7=1\,750$ g, soit $1{,}75$ kg.
Pour deux personnes, il faut une cuillère d'huile. Il en faut donc $7$ pour quatorze personnes, mesure directement praticable.

Exercice 9 : Comparer deux forfaits

Difficile

Le service A facture chaque heure de location $6{,}50$ €. Le service B demande $8$ € de prise en charge puis $4{,}50$ € par heure.

Le prix du service A est-il proportionnel à la durée ?
Le prix du service B est-il proportionnel à la durée ?
Calculer les prix pour $2$ , $4$ et $6$ heures.
À partir de quelle durée entière le service B devient-il moins cher ?

Indication

Une grandeur proportionnelle vaut zéro lorsque l'autre vaut zéro. Comparez ensuite les écarts heure par heure.

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Pour le service A, le prix est $6{,}50t$ . Il est proportionnel à la durée $t$ .
Pour le service B, le prix est $8+4{,}50t$ . La prise en charge de 8 € empêche la proportionnalité.
Pour $2$ h, A coûte $13$ € et B $17$ € ; pour $4$ h, les deux coûtent $26$ € ; pour $6$ h, A coûte $39$ € et B $35$ €.
Les deux services sont au même prix pour quatre heures. Ensuite, A augmente de $6{,}50$ € par heure contre $4{,}50$ € pour B : B devient strictement moins cher à partir de $5$ heures.

Exercice 10 : Estimer une distance à vitesse constante

Difficile

Un cycliste parcourt $18$ km en $48$ minutes à allure constante. Il lui reste $31{,}5$ km à parcourir.

Calculer la distance parcourue en $16$ minutes.
En déduire la distance parcourue en une heure.
Calculer le temps nécessaire pour les $31{,}5$ km restants.
S'il repart à 14 h 37, donner son heure d'arrivée.
Expliquer pourquoi le résultat serait seulement une estimation dans une sortie réelle.

Indication

Quarante-huit minutes correspondent à trois fois seize minutes. Utilisez ensuite le débit obtenu avec des unités cohérentes.

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Quarante-huit minutes correspondent à trois intervalles de seize minutes, donc la distance parcourue en $16$ minutes est $18\div3=6$ km.
Une heure contient $60\div16=3{,}75$ intervalles de seize minutes. La distance parcourue en une heure est donc $6\times3{,}75=22{,}5$ km.
Le temps nécessaire vaut $31{,}5\div22{,}5=1{,}4$ h. Comme $0{,}4\times60=24$ , cela représente 1 h 24 min.
En ajoutant 1 h 24 min à 14 h 37, on obtient une arrivée à 16 h 01.
Le calcul suppose une vitesse constante. Dans une sortie réelle, le relief, les pauses et la circulation font varier l'allure : l'heure obtenue est donc une estimation.

Exercice 11 : Construire plusieurs raisonnements valides

Difficile

Une association remplit $36$ cartons avec $270$ livres, en mettant toujours le même nombre moyen de livres par carton. Elle reçoit $455$ livres supplémentaires.

Calculer le nombre moyen de livres par carton dans la première préparation.
Ce nombre est-il entier ? Interpréter.
Déterminer combien de cartons sont nécessaires pour $455$ livres au même taux moyen.
Proposer une répartition entière réaliste des $455$ livres.
Expliquer la différence entre un modèle proportionnel et une contrainte matérielle.

Indication

Le quotient donne une moyenne théorique. Pour des objets indivisibles, il faut ensuite adapter la répartition.

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Le nombre moyen de livres par carton est $270\div36=7{,}5$ .
Ce nombre n'est pas entier. Il décrit une moyenne, par exemple 18 cartons de 7 livres et 18 cartons de 8 livres donnent bien $270$ livres.
Au même taux moyen, $455\div7{,}5\approx60{,}67$ . Il faut donc prévoir $61$ cartons puisque l'on ne peut pas utiliser une fraction de carton.
Une répartition possible est 33 cartons de 7 livres et 28 cartons de 8 livres : $33\times7+28\times8=231+224=455$ .
Le modèle proportionnel donne une capacité moyenne théorique. La mise en carton impose des nombres entiers et oblige donc à choisir une répartition réalisable.