Produit scalaire Première : 8 exercices corrigés

Coordonnées, normes et angles offrent plusieurs écritures du produit scalaire. La série fait choisir entre orthogonalité, projection et Al-Kashi, puis demande de retrouver la formule du triangle à partir d'une identité vectorielle.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Produit scalaire. Toutes les formules et démonstrations sont reprises dans le produit scalaire détaillé.

Bases de Produit scalaire : Calcul avec des coordonnées

Exercice 1 : Calcul avec des coordonnées

Facile

On donne u=(3;−4)u=(3;-4), v=(2;5)v=(2;5) et w=(8;6)w=(8;6).

  1. Calculer u⋅vu\cdot v.
  2. Calculer u⋅wu\cdot w.
  3. Conclure sur une éventuelle orthogonalité.
Indication
Multiplier les coordonnées correspondantes puis additionner.
Voir le corrigé
  1. u⋅v=3×2+(−4)×5=−14u\cdot v=3\times2+(-4)\times5=-14.
  2. u⋅w=3×8+(−4)×6=0u\cdot w=3\times8+(-4)\times6=0.
  3. Comme leur produit scalaire est nul et que les vecteurs sont non nuls, u et w sont orthogonaux. u et v ne le sont pas.

Exercice 2 : Angle entre deux vecteurs

Moyen

Dans un repère orthonormé, u=(1;2)u=(1;2) et v=(3;1)v=(3;1).

  1. Calculer le produit scalaire.
  2. Calculer les normes.
  3. Déduire le cosinus de l'angle.
  4. Donner une valeur approchée de l'angle.
Indication
Utiliser u⋅v=∥u∥∥v∥cos⁡θu\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta.
Voir le corrigé
  1. u⋅v=1×3+2×1=5u\cdot v=1\times3+2\times1=5.
  2. ∥u∥=5\|u\|=\sqrt5 et ∥v∥=10\|v\|=\sqrt{10}.
  3. cos⁡θ=u⋅v∥u∥∥v∥=550=12=22\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}=\frac5{\sqrt{50}}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.
  4. L'angle entre les deux vecteurs vaut 45∘45^\circ, soit π/4\pi/4 radians.

Choisir une méthode : Al-Kashi dans un triangle

Exercice 3 : Al-Kashi dans un triangle

Difficile

Dans un triangle ABC, AB=7AB=7, AC=9AC=9 et BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^\circ.

  1. Calculer exactement BC2BC^2.
  2. Déduire BC.
  3. Calculer l'aire du triangle.
  4. Contrôler l'ordre de grandeur.
Indication
Appliquer Al-Kashi puis la formule avec sinus pour l'aire.
Voir le corrigé
  1. Par la formule d'Al-Kashi, BC2=72+92−2×7×9×cos⁡60∘=67BC^2=7^2+9^2-2\times7\times9\times\cos60^\circ=67.
  2. Ainsi BC=67BC=\sqrt{67}.
  3. A=12×7×9×sin⁡60∘=6334\mathcal A=\frac12\times7\times9\times\sin60^\circ=\frac{63\sqrt3}{4}.
  4. L'inégalité triangulaire impose 2<BC<162\lt BC\lt 16. Or 67≈8,19\sqrt{67}\approx8{,}19, ce qui est cohérent.

Exercice 4 : Calculer un angle à partir des coordonnées

Moyen

On considère u⃗=(3;1)\vec u=(3;1) et v⃗=(1;2)\vec v=(1;2). On cherche l'angle θ\theta entre les deux vecteurs.

  1. Calculer le produit scalaire des deux vecteurs.
  2. Calculer leurs normes puis le cosinus de l'angle.
  3. En déduire la mesure de l'angle.
  4. Contrôler la cohérence du résultat avec le signe du produit scalaire.
Indication
Lister les données : coordonnées, longueurs, angle ou projection.
Voir le corrigé
  1. u⃗⋅v⃗=3×1+1×2=5\vec u\cdot\vec v=3\times1+1\times2=5.
  2. ∥u⃗∥=10\|\vec u\|=\sqrt{10} et ∥v⃗∥=5\|\vec v\|=\sqrt5. cos⁡θ=5105=12\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt5}=\frac1{\sqrt2}.
  3. L'angle est π/4\pi/4, soit 45∘45^\circ.
  4. Le cosinus positif confirme un angle aigu.

Exercice 5 : Paramètre pour obtenir l’orthogonalité

Moyen

On donne u⃗=(m;3)\vec u=(m;3) et v⃗=(2;−4)\vec v=(2;-4).

  1. Déterminer m pour que les vecteurs soient orthogonaux.
  2. Vérifier que les deux vecteurs sont non nuls.
  3. Calculer leurs normes pour la valeur trouvée.
Indication
L'orthogonalité se traduit par un produit scalaire nul.
Voir le corrigé
  1. u⃗⋅v⃗=2m−12\vec u\cdot\vec v=2m-12. Il est nul pour m=6m=6.
  2. Les vecteurs (6;3)(6;3) et (2;−4)(2;-4) ne sont pas nuls.
  3. Leurs normes sont 353\sqrt5 et 252\sqrt5.

Approfondir Produit scalaire : Cercle de diamètre et produit scalaire

Exercice 6 : Longueur calculée avec Al-Kashi

Difficile

Dans un triangle ABC, AB=7AB=7, AC=10AC=10 et BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^\circ.

  1. Écrire la formule d'Al-Kashi adaptée.
  2. Calculer BC exactement.
  3. Contrôler avec l'inégalité triangulaire.
Indication
Le côté opposé à l'angle A est BCBC.
Voir le corrigé
  1. BC2=AB2+AC2−2AB×ACcos⁡60∘BC^2=AB^2+AC^2-2AB\times AC\cos60^\circ.
  2. BC2=49+100−70=79BC^2=49+100-70=79, donc BC=79BC=\sqrt{79}.
  3. On a 3<79<173\lt \sqrt{79}\lt 17, donc la longueur respecte ∣10−7∣<BC<10+7|10-7|\lt BC\lt 10+7.

Exercice 7 : Démontrer la formule d’Al-Kashi avec les vecteurs

Difficile

Dans un triangle ABCABC, on veut retrouver la formule d'Al-Kashi à partir de BC→=BA→+AC→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}.

  1. Développer ∥BC→∥2\|\overrightarrow{BC}\|^2 avec le produit scalaire.
  2. Exprimer BA→⋅AC→\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC} à l'aide de l'angle A^\widehat A.
  3. Conclure par la formule d'Al-Kashi.
Indication
L'angle entre BA→\overrightarrow{BA} et AC→\overrightarrow{AC} vaut π−A^\pi-\widehat A.
Voir le corrigé
  1. On obtient BC2=BA2+AC2+2 BA→⋅AC→BC^2=BA^2+AC^2+2\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}.
  2. Comme cos⁡(π−A^)=−cos⁡(A^)\cos(\pi-\widehat A)=-\cos(\widehat A), le produit scalaire vaut −AB×ACcos⁡(A^)-AB\times AC\cos(\widehat A).
  3. Ainsi BC2=AB2+AC2−2AB×ACcos⁡(A^)BC^2=AB^2+AC^2-2AB\times AC\cos(\widehat A).

Exercice 8 : Cercle de diamètre et produit scalaire

Difficile

Dans un repère orthonormé, on donne A(−2;1)A(-2;1) et B(4;3)B(4;3). Le point M(x;y)M(x;y) décrit le cercle de diamètre [AB][AB].

  1. Traduire l'appartenance de MM au cercle par un produit scalaire.
  2. Développer cette condition en une équation cartésienne.
  3. Retrouver le centre et le rayon du cercle.
  4. Vérifier que P(4;1)P(4;1) appartient au cercle.
Indication
L'angle AMB^\widehat{AMB} est droit si et seulement si MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.
Voir le corrigé
  1. On écrit MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.
  2. Avec MA→=(−2−x;1−y)\overrightarrow{MA}=(-2-x;1-y) et MB→=(4−x;3−y)\overrightarrow{MB}=(4-x;3-y), on obtient x2+y2−2x−4y−5=0x^2+y^2-2x-4y-5=0.
  3. L'équation devient (x−1)2+(y−2)2=10(x-1)^2+(y-2)^2=10. Le centre est (1;2)(1;2) et le rayon vaut 10\sqrt{10}.
  4. Pour P(4;1)P(4;1), (4−1)2+(1−2)2=10(4-1)^2+(1-2)^2=10. Le point appartient donc au cercle.
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