Produit Scalaire exercices corrigés: 17 exercices progressif

Le produit scalaire est une notion fondamentale en mathématiques, particulièrement en géométrie vectorielle. Cette page propose une série d’exercices corrigés sur le produit scalaire, couvrant le calcul avec les coordonnées, les propriétés algébriques, l’orthogonalité, les projections orthogonales, et les applications géométriques. Chaque exercice est accompagné d’indications et de solutions détaillées pour vous permettre de progresser efficacement, du niveau facile au niveau difficile.

Table des Matières

Définitions et Calculs de Base du Produit Scalaire

Exercice 1 : Calcul avec les coordonnées

Facile

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \(\vec{u}(3; 2)\) et \(\vec{v}(-1; 4)\).

Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
Déterminer la norme de chaque vecteur.
En déduire le cosinus de l’angle formé par ces deux vecteurs.

Indication

Utilisez la formule du produit scalaire avec les coordonnées : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u \times x_v + y_u \times y_v\). Pour la norme, appliquez \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2}\).

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Solution de la question 1 :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-1) + 2 \times 4 = -3 + 8 = 5 \]

Solution de la question 2 :
\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \]
\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \]

Solution de la question 3 :
\[ \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \frac{5}{\sqrt{13} \times \sqrt{17}} = \frac{5}{\sqrt{221}} \]

Exercice 2 : Produit scalaire et norme

Facile

Soit \(\vec{a}\) un vecteur tel que \(\|\vec{a}\| = 5\). On considère également \(\vec{b}\) avec \(\|\vec{b}\| = 3\) et l’angle entre ces deux vecteurs est \(\theta = 60°\).

Calculer \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
Calculer \(\vec{a} \cdot \vec{a}\).
Déterminer \(\|\vec{a} + \vec{b}\|^2\) en utilisant le produit scalaire.

Indication

Rappelez-vous que \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \times \|\vec{b}\| \times \cos\theta\) et que \(\vec{a} \cdot \vec{a} = \|\vec{a}\|^2\). Pour la dernière question, développez \((\vec{a} + \vec{b})^2\).

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Solution de la question 1 :
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \times \|\vec{b}\| \times \cos(60°) = 5 \times 3 \times \frac{1}{2} = 7{,}5 \]

Solution de la question 2 :
\[ \vec{a} \cdot \vec{a} = \|\vec{a}\|^2 = 5^2 = 25 \]

Solution de la question 3 :
\[ \|\vec{a} + \vec{b}\|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \]
\[ = 25 + 2 \times 7{,}5 + 9 = 25 + 15 + 9 = 49 \]
Donc \(\|\vec{a} + \vec{b}\| = 7\).

Exercice 3 : Calcul dans l’espace

Facile

Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne \(\vec{u}(2; -1; 3)\) et \(\vec{v}(1; 2; -1)\).

Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils orthogonaux ?
Calculer \(\|\vec{u} – \vec{v}\|^2\).

Indication

Dans l’espace, le produit scalaire se calcule par \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v\). Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

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Solution de la question 1 :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 3 \times (-1) = 2 – 2 – 3 = -3 \]

Solution de la question 2 :
Puisque \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -3 \neq 0\), les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Solution de la question 3 :
\[ \|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = (\vec{u} – \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \]
\[ \|\vec{u}\|^2 = 4 + 1 + 9 = 14 \quad ; \quad \|\vec{v}\|^2 = 1 + 4 + 1 = 6 \]
\[ \|\vec{u} – \vec{v}\|^2 = 14 – 2 \times (-3) + 6 = 14 + 6 + 6 = 26 \]

Propriétés Algébriques et Développements

Exercice 4 : Identités remarquables vectorielles

Facile

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs quelconques.

Développer \((\vec{u} + \vec{v})^2\) en utilisant le produit scalaire.
Développer \((\vec{u} – \vec{v})^2\).
En déduire l’identité : \((\vec{u} + \vec{v})^2 – (\vec{u} – \vec{v})^2 = 4\vec{u} \cdot \vec{v}\).

Indication

Utilisez la linéarité du produit scalaire : \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\).

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Solution de la question 1 :
\[ (\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \]

Solution de la question 2 :
\[ (\vec{u} – \vec{v})^2 = (\vec{u} – \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \]

Solution de la question 3 :
\[ (\vec{u} + \vec{v})^2 – (\vec{u} – \vec{v})^2 = (\|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2) – (\|\vec{u}\|^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2) \]
\[ = 2\vec{u} \cdot \vec{v} – (-2\vec{u} \cdot \vec{v}) = 4\vec{u} \cdot \vec{v} \]

Exercice 5 : Linéarité du produit scalaire

Moyen

On considère trois vecteurs \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\) tels que \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\), \(\vec{a} \cdot \vec{c} = -2\) et \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 5\).

Calculer \(\vec{a} \cdot (2\vec{b} + 3\vec{c})\).
Calculer \((2\vec{a} – \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c})\).
Sachant que \(\|\vec{a}\| = 2\), \(\|\vec{b}\| = 3\) et \(\|\vec{c}\| = 1\), calculer \(\|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\|^2\).

Indication

Appliquez la distributivité du produit scalaire et utilisez les valeurs données. Pour la dernière question, développez complètement le carré scalaire.

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Solution de la question 1 :
\[ \vec{a} \cdot (2\vec{b} + 3\vec{c}) = 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 2 \times 3 + 3 \times (-2) = 6 – 6 = 0 \]

Solution de la question 2 :
\[ (2\vec{a} – \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} – \vec{b} \cdot \vec{b} – \vec{b} \cdot \vec{c} \]
\[ = 2 \times 3 + 2 \times (-2) – \|\vec{b}\|^2 – 5 = 6 – 4 – 9 – 5 = -12 \]

Solution de la question 3 :
\[ \|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\|^2 = \|\vec{a}\|^2 + \|\vec{b}\|^2 + \|\vec{c}\|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} \]
\[ = 4 + 9 + 1 + 2 \times 3 + 2 \times (-2) + 2 \times 5 = 14 + 6 – 4 + 10 = 26 \]

Orthogonalité et Vecteurs Perpendiculaires

Exercice 6 : Condition d’orthogonalité

Facile

On considère les vecteurs \(\vec{u}(x; 3)\) et \(\vec{v}(2; -4)\) dans le plan.

Déterminer la valeur de \(x\) pour que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux.
Vérifier le résultat en calculant le produit scalaire.

Indication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Posez l’équation \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

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Solution de la question 1 :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x \times 2 + 3 \times (-4) = 0 \]
\[ 2x – 12 = 0 \Leftrightarrow x = 6 \]

Solution de la question 2 :
Avec \(x = 6\) : \(\vec{u}(6; 3)\)
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 2 + 3 \times (-4) = 12 – 12 = 0 \]
Les vecteurs sont bien orthogonaux.

Exercice 7 : Vecteurs orthogonaux dans l’espace

Moyen

Dans l’espace, on donne \(\vec{u}(1; -2; 3)\) et \(\vec{v}(a; 1; b)\).

Exprimer la condition d’orthogonalité entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) en fonction de \(a\) et \(b\).
Si de plus \(\vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{w}(2; 0; 1)\), déterminer \(a\) et \(b\).

Indication

Écrivez les deux équations traduisant l’orthogonalité, puis résolvez le système de deux équations à deux inconnues.

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Solution de la question 1 :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow a – 2 + 3b = 0 \Leftrightarrow a + 3b = 2 \quad (1) \]

Solution de la question 2 :
\[ \vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \Leftrightarrow 2a + 0 + b = 0 \Leftrightarrow 2a + b = 0 \quad (2) \]
De (2) : \(b = -2a\). En substituant dans (1) :
\[ a + 3(-2a) = 2 \Leftrightarrow a – 6a = 2 \Leftrightarrow -5a = 2 \Leftrightarrow a = -\frac{2}{5} \]
\[ b = -2 \times \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{4}{5} \]
Donc \(a = -\frac{2}{5}\) et \(b = \frac{4}{5}\).

Exercice 8 : Théorème de Pythagore vectoriel

Moyen

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs orthogonaux avec \(\|\vec{u}\| = 4\) et \(\|\vec{v}\| = 3\).

Démontrer que \(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2\).
Calculer \(\|\vec{u} + \vec{v}\|\).
Calculer \(\|2\vec{u} – 3\vec{v}\|\).

Indication

Utilisez le fait que \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) pour les vecteurs orthogonaux. Le théorème de Pythagore s’applique aux vecteurs orthogonaux.

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Solution de la question 1 :
\[ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \]
Comme \(\vec{u} \perp \vec{v}\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), donc :
\[ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 \]

Solution de la question 2 :
\[ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow \|\vec{u} + \vec{v}\| = 5 \]

Solution de la question 3 :
\[ \|2\vec{u} – 3\vec{v}\|^2 = 4\|\vec{u}\|^2 – 2 \times 2 \times 3 \times \vec{u} \cdot \vec{v} + 9\|\vec{v}\|^2 \]
\[ = 4 \times 16 + 0 + 9 \times 9 = 64 + 81 = 145 \]
\[ \|2\vec{u} – 3\vec{v}\| = \sqrt{145} \]

Projection Orthogonale et Décomposition

Exercice 9 : Projection sur un vecteur

Moyen

Soit \(\vec{u}(4; 2)\) et \(\vec{v}(3; 0)\) dans un repère orthonormé.

Calculer la projection orthogonale de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\), notée \(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})\).
Déterminer le vecteur composante de \(\vec{u}\) orthogonal à \(\vec{v}\).
Vérifier que \(\vec{u} = \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) + \vec{u}_{\perp}\).

Indication

La projection orthogonale est donnée par : \(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}\). La composante orthogonale est \(\vec{u}_{\perp} = \vec{u} – \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})\).

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Solution de la question 1 :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 + 2 \times 0 = 12 \]
\[ \|\vec{v}\|^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \]
\[ \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{12}{9}\vec{v} = \frac{4}{3}(3; 0) = (4; 0) \]

Solution de la question 2 :
\[ \vec{u}_{\perp} = \vec{u} – \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = (4; 2) – (4; 0) = (0; 2) \]

Solution de la question 3 :
\[ \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) + \vec{u}_{\perp} = (4; 0) + (0; 2) = (4; 2) = \vec{u} \]
La décomposition est vérifiée.

Exercice 10 : Distance d’un point à une droite

Difficile

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite \(d\) passant par \(A(1; 2)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(3; 4)\), ainsi que le point \(M(7; 5)\).

Calculer la projection orthogonale de \(\overrightarrow{AM}\) sur \(\vec{u}\).
En déduire la distance du point \(M\) à la droite \(d\).

Indication

La distance cherchée correspond à la norme de la composante de \(\overrightarrow{AM}\) orthogonale à \(\vec{u}\). Utilisez : \(d(M, d) = \|\overrightarrow{AM}_{\perp}\|\).

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Solution de la question 1 :
\[ \overrightarrow{AM}(6; 3) \]
\[ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 6 \times 3 + 3 \times 4 = 18 + 12 = 30 \]
\[ \|\vec{u}\|^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ \text{proj}_{\vec{u}}(\overrightarrow{AM}) = \frac{30}{25}\vec{u} = \frac{6}{5}(3; 4) = \left(\frac{18}{5}; \frac{24}{5}\right) \]

Solution de la question 2 :
\[ \overrightarrow{AM}_{\perp} = \overrightarrow{AM} – \text{proj}_{\vec{u}}(\overrightarrow{AM}) = (6; 3) – \left(\frac{18}{5}; \frac{24}{5}\right) = \left(\frac{12}{5}; -\frac{9}{5}\right) \]
\[ d(M, d) = \|\overrightarrow{AM}_{\perp}\| = \sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^2 + \left(-\frac{9}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{144 + 81}{25}} = \sqrt{\frac{225}{25}} = \frac{15}{5} = 3 \]

Applications Géométriques dans le Triangle

Exercice 11 : Théorème de la médiane

Moyen

Dans un triangle \(ABC\), on note \(I\) le milieu de \([BC]\).

Démontrer que \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^2 – \frac{BC^2}{4}\).
Application : Si \(AB = 5\), \(AC = 7\) et \(BC = 6\), calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\).

Indication

Utilisez la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}\). Développez le produit scalaire et utilisez \(\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IC}\).

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Solution de la question 1 :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) \cdot (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}) \]
\[ = AI^2 + \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} \]
\[ = AI^2 + \overrightarrow{AI} \cdot (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}) + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} \]
Comme \(\overrightarrow{IC} = -\overrightarrow{IB}\) et \(IB = IC = \frac{BC}{2}\) :
\[ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} = -IB^2 = -\frac{BC^2}{4} \]
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^2 – \frac{BC^2}{4} \]

Solution de la question 2 :
Par le théorème de la médiane : \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}\)
\[ 25 + 49 = 2AI^2 + 18 \Rightarrow 2AI^2 = 56 \Rightarrow AI^2 = 28 \]
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 28 – 9 = 19 \]

Solution de la question 3 :
\[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC} = \frac{19}{5 \times 7} = \frac{19}{35} \]
\[ \widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{19}{35}\right) \approx 57{,}1° \]

Exercice 12 : Triangle rectangle et produit scalaire

Facile

Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on a \(AB = 3\) et \(AC = 4\).

Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
Calculer \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\).
En déduire \(BC\) puis vérifier par le théorème de Pythagore.

Indication

Le triangle est rectangle en \(A\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux. Utilisez \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}\).

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Solution de la question 1 :
Le triangle est rectangle en \(A\), donc \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}\) :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \]

Solution de la question 2 :
\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = BA^2 + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} \]
\[ = 9 + (-\overrightarrow{AB}) \cdot \overrightarrow{AC} = 9 + 0 = 9 \]

Solution de la question 3 :
\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = BA \times BC \times \cos(\widehat{ABC}) = 9 \]
Or \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = BA^2 = 9\), donc \(BC \times \cos(\widehat{ABC}) = 3\).
Par Pythagore : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(BC = 5\).

Exercice 13 : Formule d’Al-Kashi

Difficile

Dans un triangle \(ABC\) quelconque, démontrer la formule d’Al-Kashi (ou loi des cosinus) à l’aide du produit scalaire.

Exprimer \(BC^2\) sous la forme \(\|\overrightarrow{BC}\|^2\).
Développer en utilisant \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}\).
En déduire que \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})\).

Indication

Partez de \(BC^2 = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC}\) et exprimez \(\overrightarrow{BC}\) à l’aide de la relation de Chasles. Développez le produit scalaire.

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Solution de la question 1 :
\[ BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} \]

Solution de la question 2 :
\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB} \]
\[ BC^2 = (\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}) \]
\[ = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} – 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} \]
\[ = AC^2 + AB^2 – 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \]

Solution de la question 3 :
Or \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\), donc :
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \]
C’est la formule d’Al-Kashi.

Équations de Droites et de Cercles

Exercice 14 : Équation cartésienne d’une droite

Moyen

On considère la droite \(d\) passant par \(A(2; 3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1; -2)\).

Écrire l’équation cartésienne de la droite \(d\).
Vérifier que le point \(B(4; 4)\) appartient à \(d\).
Déterminer un vecteur directeur de \(d\).

Indication

Un point \(M(x; y)\) appartient à \(d\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\). Un vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal.

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Solution de la question 1 :
\(M(x; y) \in d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\)
\[ \overrightarrow{AM}(x – 2; y – 3) \]
\[ (x – 2) \times 1 + (y – 3) \times (-2) = 0 \]
\[ x – 2 – 2y + 6 = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 4 = 0 \]

Solution de la question 2 :
\[ 4 – 2 \times 4 + 4 = 4 – 8 + 4 = 0 \]
Le point \(B\) appartient bien à \(d\).

Solution de la question 3 :
Un vecteur directeur \(\vec{u}\) est orthogonal à \(\vec{n}(1; -2)\). On peut prendre \(\vec{u}(2; 1)\) car :
\[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \times 1 + 1 \times (-2) = 0 \]

Exercice 15 : Équation d’un cercle

Moyen

On considère le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(\Omega(1; -2)\) et de rayon \(R = 5\).

Écrire l’équation cartésienne du cercle \(\mathcal{C}\).
Le point \(A(4; 2)\) appartient-il au cercle ?
Déterminer l’équation de la tangente au cercle au point \(A\) si \(A \in \mathcal{C}\).

Indication

Un point \(M(x; y)\) appartient au cercle si \(\Omega M = R\), soit \(\overrightarrow{\Omega M} \cdot \overrightarrow{\Omega M} = R^2\). La tangente en \(A\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{\Omega A}\).

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Solution de la question 1 :
\[ M(x; y) \in \mathcal{C} \Leftrightarrow \Omega M^2 = R^2 \]
\[ (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

Solution de la question 2 :
\[ (4 – 1)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16 = 25 \]
Le point \(A\) appartient au cercle.

Solution de la question 3 :
\[ \overrightarrow{\Omega A}(3; 4) \]
La tangente en \(A\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}\). Son équation est :
\[ 3(x – 4) + 4(y – 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y – 20 = 0 \]

Applications Avancées et Problèmes de Synthèse

Exercice 16 : Ensemble de points et produit scalaire

Difficile

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne \(A(1; 2)\) et \(B(5; 4)\). On cherche l’ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).

Exprimer \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}\) en fonction des coordonnées de \(M(x; y)\).
Développer et simplifier l’équation \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Identifier la nature de l’ensemble \(\mathcal{E}\) et donner ses éléments caractéristiques.

Indication

Calculez les coordonnées de \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\), puis développez le produit scalaire. Mettez l’équation sous forme canonique pour identifier un cercle.

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Solution de la question 1 :
\[ \overrightarrow{MA}(1 – x; 2 – y) \quad ; \quad \overrightarrow{MB}(5 – x; 4 – y) \]
\[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1 – x)(5 – x) + (2 – y)(4 – y) \]

Solution de la question 2 :
\[ = 5 – x – 5x + x^2 + 8 – 2y – 4y + y^2 \]
\[ = x^2 + y^2 – 6x – 6y + 13 = 0 \]
Forme canonique :
\[ (x – 3)^2 – 9 + (y – 3)^2 – 9 + 13 = 0 \]
\[ (x – 3)^2 + (y – 3)^2 = 5 \]

Solution de la question 3 :
L’ensemble \(\mathcal{E}\) est le cercle de diamètre \([AB]\), de centre \(I(3; 3)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(R = \sqrt{5}\).

Exercice 17 : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Difficile

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on souhaite démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \(|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\).

Montrer que pour tout réel \(t\), on a \(\|t\vec{u} + \vec{v}\|^2 \geq 0\).
Développer cette expression et identifier un trinôme du second degré en \(t\).
En utilisant le discriminant, établir l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Dans quel cas a-t-on l’égalité ?

Indication

Développez \(\|t\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (t\vec{u} + \vec{v}) \cdot (t\vec{u} + \vec{v})\). Le discriminant d’un trinôme \(at^2 + bt + c \geq 0\) pour tout \(t\) vérifie \(\Delta \leq 0\).

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Solution de la question 1 :
Pour tout \(t \in \mathbb{R}\) :
\[ \|t\vec{u} + \vec{v}\|^2 \geq 0 \]

Solution de la question 2 :
\[ \|t\vec{u} + \vec{v}\|^2 = t^2\|\vec{u}\|^2 + 2t(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \|\vec{v}\|^2 \]
C’est un trinôme du second degré en \(t\) : \(at^2 + bt + c\) avec :
\[ a = \|\vec{u}\|^2 \quad ; \quad b = 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) \quad ; \quad c = \|\vec{v}\|^2 \]

Solution de la question 3 :
Le trinôme est toujours positif, donc \(\Delta \leq 0\) :
\[ \Delta = b^2 – 4ac = 4(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 – 4\|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 \leq 0 \]
\[ (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \leq \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 \]
\[ |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \]

Solution de la question 4 :
L’égalité a lieu si \(\Delta = 0\), c’est-à-dire quand le trinôme admet une racine double, soit quand \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.