Probabilités, union et arbres Seconde : 7 exercices corrigés

Les événements sont d'abord décrits comme des ensembles d'issues avant d'utiliser une formule. Dénombrement avec deux dés, union, intersection et tirages avec ou sans remise sont ainsi traités avec un univers et des branches explicitement définis.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Probabilités, union et arbres. Les arbres seront prolongés en Première par les probabilités conditionnelles.

Bases de Probabilités, union et arbres : Union et intersection avec un dé

Exercice 1 : Union et intersection avec un dé

Facile

On lance un dé équilibré. A est obtenir un nombre pair et B obtenir un nombre au moins égal à 4.

  1. Lister A et B.
  2. Déterminer A∩BA\cap B et A∪BA\cup B.
  3. Calculer les quatre probabilités.
Indication
Travailler d'abord avec les ensembles d'issues.
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  1. A={2,4,6}A=\{2,4,6\} et B={4,5,6}B=\{4,5,6\}.
  2. A∩B={4,6}A\cap B=\{4,6\} et A∪B={2,4,5,6}A\cup B=\{2,4,5,6\}.
  3. P(A)=12P(A)=\frac12, P(B)=12P(B)=\frac12, P(A∩B)=13P(A\cap B)=\frac13 et P(A∪B)=23P(A\cup B)=\frac23.

Exercice 2 : Formule de l’union

Moyen

On donne P(A)=0,62P(A)=0{,}62, P(B)=0,45P(B)=0{,}45 et P(A∩B)=0,28P(A\cap B)=0{,}28.

  1. Calculer P(A∪B)P(A\cup B).
  2. Calculer la probabilité de n'appartenir à aucun événement.
  3. Expliquer la soustraction de l'intersection.
Indication
Utiliser la formule de l'union.
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  1. P(A∪B)=0,62+0,45−0,28=0,79P(A\cup B)=0{,}62+0{,}45-0{,}28=0{,}79.
  2. La probabilité de n'appartenir à aucun des deux événements est 1−0,79=0,211-0{,}79=0{,}21.
  3. Dans P(A)+P(B)P(A)+P(B), les issues de A∩BA\cap B sont comptées deux fois. On soustrait une fois leur probabilité.

Choisir une méthode : Démontrer la formule de l'union par découpage

Exercice 3 : Démontrer la formule de l’union par découpage

Difficile

Deux événements AA et BB d'un univers fini peuvent avoir des issues communes. On veut retrouver la formule de leur union.

  1. Décomposer A∪BA\cup B en trois événements incompatibles.
  2. Repérer ce que la somme P(A)+P(B)P(A)+P(B) compte deux fois.
  3. Établir la formule de P(A∪B)P(A\cup B).
Indication
Isoler les issues propres à chaque événement et leur partie commune.
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  1. L'union est la réunion disjointe de A∖BA\setminus B, A∩BA\cap B et B∖AB\setminus A.
  2. Dans P(A)+P(B)P(A)+P(B), les issues de A∩BA\cap B sont comptées une fois dans chaque terme, donc deux fois.
  3. Il faut retirer une occurrence de l'intersection : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Exercice 4 : Arbre sans remise

Difficile

Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire deux boules sans remise.

  1. Construire l'arbre.
  2. Calculer la probabilité de deux rouges.
  3. Calculer celle de deux couleurs différentes.
  4. Contrôler avec l'événement contraire.
Indication
Après le premier tirage, il reste quatre boules.
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  1. Au premier tirage, les branches R et B portent 3/53/5 et 2/52/5. Après R, les branches valent 2/42/4 et 2/42/4 ; après B, elles valent 3/43/4 et 1/41/4.
  2. P(RR)=35×24=310P(RR)=\frac35\times\frac24=\frac3{10}.
  3. P(RB∪BR)=35×24+25×34=35P(RB\cup BR)=\frac35\times\frac24+\frac25\times\frac34=\frac35.
  4. Les deux couleurs sont identiques avec la probabilité P(RR)+P(BB)=310+110=25P(RR)+P(BB)=\frac3{10}+\frac1{10}=\frac25. Le complément vaut bien 1−25=351-\frac25=\frac35.

Exercice 5 : Compter des issues avec deux dés distinguables

Moyen

On lance deux dés équilibrés, l'un rouge et l'autre bleu. AA est l'événement « somme égale à 7 » et BB l'événement « le dé rouge montre un nombre pair ».

  1. Décrire l'univers et justifier l'équiprobabilité des issues.
  2. Dénombrer A, B et A∩BA\cap B.
  3. Calculer P(A∪B)P(A\cup B).
  4. Expliquer pourquoi l'intersection doit être retranchée.
Indication
Décrire l'expérience et lister les issues sans doublon.
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  1. L'univers contient 36 couples ordonnés équiprobables.
  2. A contient 6 couples et B en contient 18. A intersection B contient (2;5), (4;3) et (6;1), soit 3 couples.
  3. P(A∪B)=6+18−336=2136=712P(A\cup B)=\frac{6+18-3}{36}=\frac{21}{36}=\frac7{12}.
  4. Le retrait de l'intersection empêche de compter ces trois couples deux fois.

Approfondir Probabilités, union et arbres : Deux tirages avec remise

Exercice 6 : Retrouver une intersection inconnue

Moyen

On sait P(A)=0,58P(A)=0{,}58, P(B)=0,47P(B)=0{,}47 et P(A∪B)=0,81P(A\cup B)=0{,}81.

  1. Calculer P(A∩B)P(A\cap B).
  2. Calculer la probabilité de n'appartenir ni à A ni à B.
  3. Contrôler que l'intersection est possible.
Indication
Isoler l'intersection dans la formule de l'union.
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  1. P(A∩B)=0,58+0,47−0,81=0,24P(A\cap B)=0{,}58+0{,}47-0{,}81=0{,}24.
  2. Le contraire de l'union a pour probabilité 1−0,81=0,191-0{,}81=0{,}19.
  3. On a bien 0≤0,24≤min⁡(0,58;0,47)0\leq0{,}24\leq\min(0{,}58;0{,}47).

Exercice 7 : Deux tirages avec remise

Difficile

Une urne contient 4 boules blanches et 6 noires. On effectue deux tirages avec remise.

  1. Construire les probabilités des branches.
  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une blanche.
  3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une blanche par l'événement contraire.
Indication
Avec remise, les probabilités du second tirage restent identiques à celles du premier.
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  1. À chaque tirage, P(B)=25P(B)=\frac25 et P(N)=35P(N)=\frac35.
  2. Exactement une blanche correspond à BN ou NB : 2×25×35=12252\times\frac25\times\frac35=\frac{12}{25}.
  3. Le contraire est NN, de probabilité 925\frac9{25}. Ainsi, au moins une blanche a pour probabilité 1−925=16251-\frac9{25}=\frac{16}{25}.
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