Probabilités 6ème : cours, fractions et situations simples

Expérience aléatoire, issue et événement

Lancer une pièce, lancer un dé ou tirer une boule dans un sac sans regarder sont des expériences aléatoires. Calculer $7+5$ n’en est pas une, car le résultat est déterminé.

Lorsqu’on lance un dé à six faces, les issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$. L’événement « obtenir un nombre pair » contient les issues $2$, $4$ et $6$.

Vocabulaire : l’événement « obtenir un nombre pair » n’est pas une seule issue. Il peut être réalisé par trois résultats différents.

L’échelle des probabilités de 0 à 1

Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$. Plus elle est proche de $1$, plus l’événement a de chances de se produire. Plus elle est proche de $0$, moins il est probable.

Événement impossible, certain ou possible

Un événement très probable n’est pas certain. Même si une boule rouge représente $99$ boules sur $100$, une boule bleue peut encore être tirée. La probabilité décrit une chance, pas une prédiction garantie du prochain résultat.

Situations d’équiprobabilité

Une pièce équilibrée donne Pile et Face avec la même probabilité. Un dé équilibré possède six faces ayant chacune la même chance d’apparaître. En revanche, une roue dont les secteurs n’ont pas la même aire n’est pas nécessairement équiprobable.

Le mot « équilibré » ou la symétrie du dispositif justifie l’équiprobabilité. On ne peut pas la supposer si un sac contient des nombres différents de boules de chaque couleur ou si une roue comporte des secteurs inégaux.

Calculer une probabilité simple

Pour un dé équilibré, l’événement $A$ : « obtenir un nombre pair » possède trois issues favorables, $2$, $4$ et $6$, parmi six issues possibles.

Le calcul ne consiste pas à additionner les nombres $2+4+6$. On compte combien d’issues respectent la condition.

Probabilité sous forme de fraction, décimale ou pourcentage

Ces trois écritures désignent la même position sur l’échelle des probabilités.

Le cours sur les fractions en 6ème explique les simplifications et les écritures équivalentes. Celui sur les pourcentages en 6ème détaille le passage à une comparaison sur $100$.

Exemple avec une pièce équilibrée

L’univers des issues est $\{\text{Pile},\text{Face}\}$. Chaque issue a une probabilité de $\frac12$. L’événement « obtenir Pile » a donc une probabilité $\frac12$.

La probabilité $\frac12$ ne signifie pas que deux lancers donneront obligatoirement un Pile et un Face. On peut obtenir deux fois Pile. Sur un grand nombre de lancers, la fréquence de Pile tend seulement à se rapprocher de $\frac12$.

Hasard : les résultats précédents ne forcent pas le résultat suivant. Après cinq Pile consécutifs, la probabilité de Face au prochain lancer reste $\frac12$ si la pièce est équilibrée.

Exemple avec un dé équilibré

On considère un dé numéroté de $1$ à $6$.

Pour éviter les oublis, on écrit d’abord toutes les issues possibles, puis on entoure celles qui réalisent l’événement.

Exemple avec des boules dans un sac

Un sac contient $5$ boules rouges, $3$ bleues et $2$ vertes, indiscernables au toucher. Il contient $5+3+2=10$ boules. Chaque boule a la même chance d’être tirée, mais les couleurs n’ont pas la même probabilité parce qu’elles ne sont pas présentes en même quantité.

La somme vaut $1$, car le tirage produit nécessairement l’une des trois couleurs. Une couleur représentée par plus de boules est plus probable, même si chaque boule individuelle reste équiprobable.

Exemple avec une roue

Pour une roue partagée en secteurs de même aire, chaque secteur est équiprobable. Si huit secteurs égaux portent trois fois la lettre $A$, deux fois $B$ et trois fois $C$, alors :

Si les secteurs n’ont pas la même aire, compter les secteurs ne suffit plus. Un grand secteur peut être plus probable que plusieurs petits secteurs réunis. Il faut alors comparer les parts de la roue ou utiliser les informations données.

Événement contraire

Un événement et son contraire couvrent toutes les issues sans se réaliser en même temps. Leurs probabilités ont pour somme $1$.

Pour un dé, si $A$ signifie « obtenir un nombre supérieur à $4$ », alors $P(A)=\frac{2}{6}$. Son contraire est « obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$ » et vaut $1-\frac{2}{6}=\frac{4}{6}$.

Comparer des probabilités

Pour comparer deux probabilités, on peut les placer sur l’échelle de $0$ à $1$, utiliser des fractions de même dénominateur, ou passer à des nombres décimaux.

Entre $\frac{3}{8}$ et $\frac{2}{5}$, on peut écrire $\frac{3}{8}=0,375$ et $\frac{2}{5}=0,4$. L’événement de probabilité $\frac{2}{5}$ est donc légèrement plus probable.

Une comparaison correcte porte sur les proportions, pas seulement sur les nombres favorables. Trois issues favorables sur six donnent $\frac12$, alors que quatre sur dix donnent $\frac{4}{10}=0,4$ : $3$ est inférieur à $4$, mais $\frac36$ est supérieur à $\frac4{10}$.

Répéter une expérience et calculer une fréquence

Lorsqu’on répète une expérience, la fréquence d’un événement est le nombre de fois où il s’est réalisé divisé par le nombre total d’essais.

Une pièce est lancée $40$ fois et donne $23$ Pile. La fréquence de Pile vaut $\frac{23}{40}=0,575$, soit $57,5\,\%$. Elle n’est pas exactement égale à la probabilité théorique $0,5$.

Lorsque le nombre d’essais augmente, les fréquences ont tendance à se stabiliser près de la probabilité théorique. Elles peuvent toutefois rester différentes sur une série particulière.

La collecte et la représentation de ces résultats sont étudiées dans le cours sur l’organisation et la gestion de données en 6ème.

Probabilité théorique et fréquence observée

Une fréquence sert à estimer une probabilité lorsque le modèle est inconnu. Plusieurs séries ou un plus grand nombre d’essais donnent une estimation généralement plus stable qu’une petite expérience.

Mettre en commun plusieurs expériences

Dans une classe, chaque groupe peut lancer une pièce $20$ fois. Une fréquence calculée sur un seul groupe varie parfois fortement. Pour obtenir la fréquence de la classe, on additionne tous les nombres de Pile et tous les nombres de lancers avant d’effectuer la division.

Supposons que quatre groupes obtiennent respectivement $8$, $12$, $11$ et $9$ Pile sur $20$ lancers. Le total est $40$ Pile sur $80$ lancers :

On ne calcule pas la moyenne de pourcentages construits sur des nombres d’essais différents sans tenir compte de leurs effectifs. La mise en commun des nombres de réalisations et des nombres d’essais fournit toujours la fréquence globale correcte.

Une série collective peut se rapprocher exactement de la probabilité théorique, comme ici, mais ce n’est pas obligatoire. Le hasard autorise encore un écart, même après de nombreux essais.

Classer des événements du moins probable au plus probable

On peut comparer des événements sans toujours calculer une valeur exacte. Dans un sac contenant beaucoup plus de boules rouges que de boules bleues, tirer rouge est plus probable. Si deux couleurs apparaissent en même quantité et que les boules sont indiscernables, leurs probabilités sont égales.

Pour un classement précis, on transforme les probabilités dans une même écriture. Les fractions de même dénominateur se comparent par leurs numérateurs. Les nombres décimaux se placent directement sur l’échelle de $0$ à $1$, tandis que les pourcentages se comparent sur une base de $100$.

Exemple de classement

Les événements $A$, $B$ et $C$ ont pour probabilités $\frac14$, $0,6$ et $50\,\%$. On écrit $\frac14=0,25$ et $50\,\%=0,5$. Le classement croissant est donc :

Le mot « probable » ne signifie pas « supérieur à une chance sur deux » dans tous les énoncés. Il peut simplement signifier « qui peut se produire ». Pour éviter l’ambiguïté, on utilise les nombres ou des expressions comme « plus probable que ».

Méthode pour résoudre une situation simple

1. Décrire l’expérience et écrire toutes les issues possibles.
2. Vérifier si elles sont équiprobables.
3. Définir clairement l’événement.
4. Compter les issues favorables et les issues totales.
5. Écrire la fraction, puis la simplifier si possible.
6. Contrôler que le résultat se situe entre $0$ et $1$.

Si le résultat dépasse $1$, le numérateur et le dénominateur ont probablement été inversés ou les cas ont été mal comptés. Une probabilité négative est également impossible.

Avant d’appliquer la formule : vérifiez toujours l’équiprobabilité. Compter les issues favorables sur les issues totales n’est valable directement que lorsque toutes les issues élémentaires ont la même chance.

À retenir sur les probabilités en 6ème

• Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles sans résultat prévisible avec certitude.
• Un événement regroupe une ou plusieurs issues.
• Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$.
• En équiprobabilité, on divise le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues.
• Une probabilité peut s’écrire comme fraction, nombre décimal ou pourcentage.
• L’événement contraire possède une probabilité $1-P(A)$.
• Une fréquence expérimentale peut différer de la probabilité théorique, surtout sur peu d’essais.

Ce chapitre correspond au programme officiel de mathématiques du cycle 3, qui introduit en 6ème l’échelle des probabilités, l’équiprobabilité et l’observation d’expériences répétées.