Pourcentages et échelles 5ème : exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les pourcentages et les échelles en 5ème distinguent deux usages de la proportionnalité : exprimer une part sur cent et relier les dimensions d'un dessin aux dimensions réelles. Le cours sur les pourcentages et les échelles en 5ème rassemble les formules et les conversions nécessaires.

La série réserve une place égale aux deux notions. On calcule un pourcentage d'une quantité, on retrouve un taux, puis on exploite des plans et des maquettes sans oublier d'unifier les unités. Ces méthodes prolongent le programme de mathématiques en classe de 5ème.

Table des Matières

Calculer un pourcentage d’une quantité

Un taux de $p$ % signifie $p$ parts sur cent. Il peut être remplacé par la fraction $\frac{p}{100}$ ou par son écriture décimale.

Exercice 1 : Relier fractions, décimaux et pourcentages

Facile

On considère les écritures $0{,}25$ , $\frac{3}{5}$ , $12$ %, $\frac{7}{20}$ , $0{,}8$ et $45$ %.

Associer chaque écriture à un pourcentage.
Classer les six valeurs par ordre croissant.
Identifier celles qui représentent plus de la moitié.

Indication

Transformez toutes les écritures en nombres décimaux ou en pourcentages avant de comparer.

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Les correspondances sont $0{,}25=25$ %, $\frac35=0{,}6=60$ %, $12$ %, $\frac7{20}=0{,}35=35$ %, $0{,}8=80$ % et $45$ %.
Après conversion dans une même écriture, l'ordre croissant est $12\ \%<25\ \%<35\ \%<45\ \%<60\ \%<80\ \%$ .
Les valeurs strictement supérieures à la moitié sont $60$ % et $80$ %, c'est-à-dire $\frac35$ et $0{,}8$ .

Exercice 2 : Utiliser des pourcentages repères

Facile

Sans poser de multiplication longue, calculer $10$ %, $25$ %, $50$ % et $75$ % de $240$ .

Donner les quatre résultats.
Expliquer comment obtenir $75$ % à partir de $25$ %.

Indication

La moitié donne $50$ %, le quart donne $25$ %, et $75$ % correspond à trois quarts.

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$10$ % de $240$ vaut $240\div10=24$ . Comme $25$ % est un quart, on obtient $240\div4=60$ . La moitié donne $50$ %, soit $120$ , et les trois quarts donnent $75$ %, soit $3\times60=180$ .
Pour passer de $25$ % à $75$ %, on multiplie la part par $3$ : $3\times60=180$ . On peut vérifier en retirant $25$ % au total : $240-60=180$ .

Exercice 3 : Lire un budget mensuel

Moyen

Une famille dispose de $2\,400$ € pour le mois. Elle consacre $32$ % au logement, $18$ % à l'alimentation et $7{,}5$ % aux transports.

Calculer chaque dépense.
Calculer le pourcentage restant pour les autres postes.
En déduire la somme restante.
Vérifier que la somme des montants retrouve le budget total.

Indication

Multipliez le budget par l'écriture décimale de chaque taux, puis additionnez les taux connus.

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Le logement coûte $2\,400\times0{,}32=768$ €, l'alimentation $2\,400\times0{,}18=432$ € et les transports $2\,400\times0{,}075=180$ €.
Les trois postes représentent $32+18+7{,}5=57{,}5$ % du budget. Il reste donc $100-57{,}5=42{,}5$ %.
La somme restante vaut $2\,400\times0{,}425=1\,020$ €.
Le contrôle $768+432+180+1\,020=2\,400$ € retrouve exactement le budget mensuel.

Retrouver un taux et interpréter une variation

Trouver le pourcentage d'une partie revient à comparer cette partie au total, puis à ramener le quotient à cent.

Exercice 4 : Déterminer une proportion

Moyen

Dans un collège, $168$ élèves sur $240$ viennent à pied, à vélo ou en transports en commun.

Calculer la proportion correspondante sous forme de fraction simplifiée.
Exprimer cette proportion en pourcentage.
Calculer le nombre d'élèves qui utilisent un autre moyen de transport.

Indication

Divisez la partie par le total. Pour le complément, vous pouvez raisonner sur les effectifs ou sur les pourcentages.

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La proportion est $\frac{168}{240}$ . En divisant le numérateur et le dénominateur par $24$ , on obtient la fraction simplifiée $\frac7{10}$ .
Comme $\frac7{10}=0{,}7$ , la proportion correspond à $70$ %.
Les autres moyens de transport concernent $240-168=72$ élèves. Cela représente le complément $30$ %, et $240\times0{,}30=72$ confirme le résultat.

Exercice 5 : Analyser une remise et son prix initial

Difficile

Après une remise de $20$ %, un sac coûte $56$ €. Un client affirme que son prix initial était $56+20$ % de $56$ .

Expliquer l'erreur du client.
Déterminer le prix initial.
Calculer le montant exact de la remise.
Vérifier le prix final.

Indication

Après la remise, le prix payé représente $80$ % du prix initial, et non $100$ %.

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Le client calcule $20$ % du prix final, alors que la remise est définie à partir du prix initial. Ajouter $20$ % de $56$ , soit $11{,}20$ €, conduirait à $67{,}20$ € et ne restitue pas le bon prix initial.
Après une remise de $20$ %, le prix payé représente $80$ % du prix initial $P$ . Ainsi $0{,}8P=56$ , donc $P=56\div0{,}8=70$ €.
Le montant exact de la remise est $20$ % de $70$ , soit $70\times0{,}20=14$ €.
La vérification donne $70-14=56$ €, ce qui retrouve le prix payé.

Calculer avec une échelle et des unités

Une échelle $1:n$ signifie qu'une longueur sur le dessin est $n$ fois plus petite que la longueur réelle, dans la même unité.

Exercice 6 : Lire l’échelle d’un plan

Facile

Un plan est à l'échelle $1:500$ . Une allée y mesure $7{,}2$ cm.

Calculer la longueur réelle en centimètres.
Convertir cette longueur en mètres.

Indication

À l'échelle $1:500$ , un centimètre sur le plan représente $500$ centimètres en réalité.

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À l'échelle $1:500$ , la longueur réelle vaut $7{,}2\times500=3\,600$ cm.
Comme $100$ cm correspondent à $1$ m, $3\,600\div100=36$ m. On pouvait aussi remarquer que $500$ cm valent $5$ m, puis calculer $7{,}2\times5=36$ m.

Exercice 7 : Choisir une échelle pour une carte

Moyen

Deux villages sont distants de $18$ km. Sur une carte, on souhaite les représenter par un segment de $9$ cm.

Convertir la distance réelle en centimètres.
Déterminer l'échelle de la carte.
À cette échelle, quelle distance réelle représente $4{,}5$ cm ?

Indication

Une échelle compare deux longueurs exprimées dans la même unité. Écrivez le rapport longueur dessinée sur longueur réelle.

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La distance réelle vaut $18\times100\,000=1\,800\,000$ cm.
Le rapport entre la carte et la réalité est $\frac{9}{1\,800\,000}=\frac1{200\,000}$ . L'échelle est donc $1:200\,000$ .
À cette échelle, $1$ cm représente $200\,000$ cm, soit $2$ km. Ainsi $4{,}5$ cm représentent $4{,}5\times2=9$ km. La longueur sur la carte ayant été divisée par deux, la distance réelle l'est aussi.

Exercice 8 : Construire la maquette d’une pièce

Moyen

Une salle rectangulaire mesure $8{,}4$ m sur $5{,}6$ m. On réalise une maquette à l'échelle $1:40$ .

Calculer les dimensions de la maquette en centimètres.
Calculer le périmètre réel de la salle.
Calculer le périmètre de la maquette.
Comparer les deux périmètres et interpréter le rapport.

Indication

Convertissez d'abord les dimensions réelles en centimètres, puis divisez chacune par $40$ .

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Les dimensions réelles sont $840$ cm et $560$ cm. Sur la maquette, elles deviennent $840\div40=21$ cm et $560\div40=14$ cm.
Le périmètre réel vaut $2\times(8{,}4+5{,}6)=28$ m, soit $2\,800$ cm.
Le périmètre de la maquette vaut $2\times(21+14)=70$ cm.
Le rapport $2\,800\div70=40$ confirme que le périmètre, comme toute longueur, est divisé par $40$ sur une maquette à l'échelle $1:40$ .

Exercice 9 : Détecter une échelle impossible

Difficile

Un élève représente une route de $2{,}4$ km par un segment de $12$ cm et écrit « échelle $1:2\,000$ ». Il représente ensuite un pont de $180$ m par $9$ cm sur le même plan.

Vérifier l'échelle annoncée avec la route.
Calculer l'échelle correspondant réellement à la route.
Calculer l'échelle correspondant au pont.
Les deux objets peuvent-ils appartenir au même plan ?
Proposer une correction cohérente.

Indication

Convertissez les deux distances réelles en centimètres et comparez séparément les deux rapports.

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La route mesure $2{,}4$ km, soit $240\,000$ cm. À l'échelle annoncée $1:2\,000$ , elle devrait mesurer $240\,000\div2\,000=120$ cm, et non $12$ cm.
Le rapport réellement utilisé pour la route est $\frac{12}{240\,000}=\frac1{20\,000}$ . Son échelle est $1:20\,000$ .
Le pont mesure $180$ m, soit $18\,000$ cm. Le rapport $\frac9{18\,000}=\frac1{2\,000}$ correspond à l'échelle $1:2\,000$ .
Non. La route et le pont sont dessinés à deux échelles différentes, $1:20\,000$ et $1:2\,000$ , donc ils ne peuvent pas appartenir au même plan.
En conservant l'échelle de la route, le pont doit mesurer $18\,000\div20\,000=0{,}9$ cm. Il faut donc remplacer $9$ cm par $0{,}9$ cm.

Exercice 10 : Relier échelle et pourcentage

Difficile

Une photographie est réduite à $60$ % de ses dimensions initiales. Elle mesurait $25$ cm sur $15$ cm. Une seconde copie est ensuite réalisée à l'échelle $1:2$ à partir de la photographie réduite.

Calculer les dimensions après la réduction à $60$ %.
Calculer les dimensions de la seconde copie.
Exprimer les dimensions finales en pourcentage des dimensions initiales.
Comparer l'aire finale à l'aire initiale.

Indication

Deux réductions successives se multiplient. Pour l'aire, les deux dimensions sont modifiées.

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Après la réduction à $60$ %, les dimensions sont $25\times0{,}6=15$ cm et $15\times0{,}6=9$ cm.
L'échelle $1:2$ divise encore chaque longueur par deux. La seconde copie mesure donc $7{,}5$ cm sur $4{,}5$ cm.
Le coefficient total sur les longueurs est $0{,}6\times0{,}5=0{,}3$ . Chaque dimension finale représente donc $30$ % de la dimension initiale.
L'aire initiale vaut $25\times15=375$ cm² et l'aire finale $7{,}5\times4{,}5=33{,}75$ cm². Le rapport $33{,}75\div375=0{,}09$ montre que l'aire finale vaut $9$ % de l'aire initiale, conformément à $30\ \%\times30\ \%=9\ \%$ .