Ces exercices corrigés sur la loi binomiale couvrent l’ensemble du programme de Terminale : reconnaissance d’un schéma de Bernoulli, calcul de probabilités avec la formule \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \), probabilités cumulées, espérance, variance, et intervalles de fluctuation. Chaque exercice propose une indication pour guider la réflexion, puis un corrigé pas à pas rédigé en français académique. La progression est volontairement organisée du plus facile au plus difficile afin de consolider les bases avant d’aborder les problèmes de type baccalauréat.
Reconnaître une loi binomiale et identifier ses paramètres
Avant tout calcul, il faut savoir déterminer si une situation se modélise par une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \). Cette section entraîne à vérifier les quatre conditions du schéma de Bernoulli : répétition d’épreuves identiques et indépendantes, deux issues possibles à chaque épreuve, probabilité de succès \( p \) constante.
Exercice 1 : Tirs au but – Reconnaître la loi binomiale
Facile
Un footballeur tire au but. La probabilité qu’il marque à chaque tir est \( p = 0{,}7 \). Les tirs sont supposés indépendants les uns des autres. Il effectue \( 5 \) tirs au cours d’un entraînement. On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de buts marqués.
- Justifier que \( X \) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
- Dresser le tableau de distribution de \( X \) pour \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \) (valeurs arrondies à \( 10^{-3} \) près).
Indication
Vérifiez les quatre critères : nombre fixe de répétitions, épreuves indépendantes, deux issues (but / pas but), probabilité de succès constante. Pour le tableau, appliquez \( P(X = k) = \binom{5}{k}(0{,}7)^k(0{,}3)^{5-k} \) pour chaque valeur de \( k \).
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Chaque tir constitue une épreuve de Bernoulli avec deux issues : succès (but, probabilité \( 0{,}7 \)) ou échec (pas de but, probabilité \( 0{,}3 \)). Les \( 5 \) tirs sont indépendants et la probabilité de succès est identique à chaque essai. Ainsi \( X \) suit une loi binomiale de paramètres \( n = 5 \) et \( p = 0{,}7 \), notée \( \mathcal{B}(5\,;\,0{,}7) \).
Solution de la question 2 :
On applique \[ P(X = k) = \binom{5}{k}(0{,}7)^k(0{,}3)^{5-k} \]
| \( k \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( P(X=k) \) | \( \approx 0{,}002 \) | \( \approx 0{,}028 \) | \( \approx 0{,}132 \) | \( \approx 0{,}309 \) | \( \approx 0{,}360 \) | \( \approx 0{,}168 \) |
Par exemple : \[ P(X=2) = \binom{5}{2}(0{,}7)^2(0{,}3)^3 = 10 \times 0{,}49 \times 0{,}027 \approx 0{,}132 \]
La somme des probabilités vaut bien \( 1 \) (à l’arrondi près).
Exercice 2 : QCM au hasard – Identifier ou infirmer une loi binomiale
Facile
Un élève répond complètement au hasard à un QCM composé de \( 4 \) questions. Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule étant correcte. On note \( X \) le nombre de bonnes réponses obtenues.
- Justifier que \( X \) suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
- Le même élève répond maintenant à un deuxième QCM de \( 4 \) questions, mais cette fois chaque question propose soit 2, soit 3 réponses selon la difficulté. La probabilité de succès n’est donc pas la même à chaque question. La variable aléatoire \( Y \) comptant les bonnes réponses suit-elle encore une loi binomiale ? Justifier.
Indication
Pour la question 1, les quatre conditions doivent toutes être vérifiées. Pour la question 2, examinez plus précisément la condition sur la constance de \( p \).
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Chaque question est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \( p = \frac{1}{3} \). Les \( 4 \) questions sont indépendantes et la probabilité de succès est la même pour toutes. Donc \( X \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\dfrac{1}{3}\right) \).
Solution de la question 2 :
Dans le second QCM, la probabilité de succès varie d’une question à l’autre : elle vaut \( \frac{1}{2} \) pour les questions à 2 réponses et \( \frac{1}{3} \) pour les questions à 3 réponses. La condition de probabilité constante n’est pas satisfaite. La variable \( Y \) ne suit donc pas une loi binomiale.
Exercice 3 : Contrôle qualité – Tirage avec ou sans remise
Moyen
Un lot contient \( 200 \) pièces dont \( 10 \) sont défectueuses. Un contrôleur prélève \( 5 \) pièces successivement.
- Le prélèvement est effectué avec remise. Justifier que le nombre de pièces défectueuses prélevées suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
- Le prélèvement est maintenant effectué sans remise. Peut-on encore modéliser la situation par une loi binomiale ? Justifier. Dans quel cadre pratique utilise-t-on néanmoins ce modèle par approximation ?
Indication
Pour la question 2, sans remise, les tirages ne sont plus indépendants et la probabilité de succès change à chaque étape. Réfléchissez à la règle empirique qui permet malgré tout d’utiliser la loi binomiale comme approximation.
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Avec remise, chaque tirage est indépendant et la probabilité de tirer une pièce défectueuse est constante : \( p = \dfrac{10}{200} = 0{,}05 \). On effectue \( n = 5 \) tirages. Donc \( X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}05) \).
Solution de la question 2 :
Sans remise, les tirages sont dépendants : après avoir retiré une pièce, la composition du lot change. La condition d’indépendance n’est plus strictement satisfaite. On ne peut pas parler de loi binomiale au sens strict.
Toutefois, lorsque la taille du lot est très grande devant le nombre de prélèvements (ici \( 200 \gg 5 \)), la variation de probabilité d’un tirage à l’autre est négligeable. Par convention, si \( n \leq 0{,}05 \times N \) (où \( N \) est la taille du lot), on admet que la loi binomiale reste une bonne approximation. Ici \( 5 \leq 0{,}05 \times 200 = 10 \), donc l’approximation est licite.
Calculer des probabilités avec la loi binomiale : P(X = k), P(X ≤ k) et probabilités cumulées
Cette section est consacrée au calcul effectif des probabilités. On y pratique la formule du coefficient binomial, le passage par le complémentaire pour les événements « au moins », et l’utilisation des probabilités cumulées pour les inégalités larges. Ce sont les types de questions les plus fréquents au baccalauréat.
Exercice 4 : Lancer de dé – Probabilité exacte et probabilité cumulée
Facile
On lance un dé équilibré à six faces \( 8 \) fois de suite. On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de fois où l’on obtient le chiffre \( 4 \).
- Préciser la loi suivie par \( X \) et ses paramètres.
- Calculer \( P(X = 3) \) (valeur exacte, puis arrondi à \( 10^{-4} \)).
- Calculer \( P(X \leq 2) \).
- Calculer \( P(X \geq 1) \) en utilisant le complémentaire.
Indication
La probabilité d’obtenir un 4 à chaque lancer est \( \frac{1}{6} \). Pour \( P(X \geq 1) \), pensez à l’événement complémentaire \( X = 0 \).
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\( X \sim \mathcal{B}\!\left(8\,;\,\dfrac{1}{6}\right) \)
Solution de la question 2 :
\[ P(X = 3) = \binom{8}{3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\!\left(\frac{5}{6}\right)^5 = 56 \times \frac{1}{216} \times \frac{3\,125}{7\,776} = \frac{175\,000}{1\,679\,616} \approx 0{,}1042 \]
Solution de la question 3 :
\[ P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \]
\[ P(X=0) = \left(\frac{5}{6}\right)^8 \approx 0{,}2326 \]
\[ P(X=1) = 8 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^7 \approx 0{,}3721 \]
\[ P(X=2) = \binom{8}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\!\left(\frac{5}{6}\right)^6 \approx 0{,}2605 \]
\[ P(X \leq 2) \approx 0{,}2326 + 0{,}3721 + 0{,}2605 \approx 0{,}8652 \]
Solution de la question 4 :
\[ P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – \left(\frac{5}{6}\right)^8 \approx 1 – 0{,}2326 \approx 0{,}7674 \]
Exercice 5 : Surbooking aérien – Probabilité d’un événement rare
Moyen
Une compagnie aérienne a vendu \( 120 \) billets pour un vol dont l’avion comporte \( 115 \) sièges. D’après les statistiques, chaque passager ayant réservé se présente effectivement à l’embarquement avec une probabilité de \( 0{,}96 \), indépendamment des autres passagers. On note \( X \) le nombre de passagers qui se présentent à l’embarquement.
- Donner la loi suivie par \( X \) et ses paramètres.
- Calculer la probabilité que tous les passagers s’étant présentés puissent embarquer.
- Calculer la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surbooking (plus de passagers que de sièges disponibles). On arrondira le résultat à \( 10^{-3} \).
Indication
La compagnie est en situation de surbooking si \( X > 115 \), c’est-à-dire \( X \geq 116 \). Pensez à calculer \( P(X \geq 116) = 1 – P(X \leq 115) \) en utilisant les probabilités cumulées.
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\( X \sim \mathcal{B}(120\,;\,0{,}96) \). Les \( 120 \) passagers prennent leur décision de manière indépendante, avec la même probabilité \( 0{,}96 \) de se présenter.
Solution de la question 2 :
Tous les passagers présents peuvent embarquer si et seulement si \( X \leq 115 \).
\[ P(X \leq 115) = 1 – P(X \geq 116) \]
On calcule les termes manquants :
\[ P(X = 116) = \binom{120}{116}(0{,}96)^{116}(0{,}04)^{4} \approx 0{,}2140 \]
\[ P(X = 117) = \binom{120}{117}(0{,}96)^{117}(0{,}04)^{3} \approx 0{,}2100 \]
\[ P(X = 118) = \binom{120}{118}(0{,}96)^{118}(0{,}04)^{2} \approx 0{,}1414 \]
\[ P(X = 119) = \binom{120}{119}(0{,}96)^{119}(0{,}04)^{1} \approx 0{,}0584 \]
\[ P(X = 120) = (0{,}96)^{120} \approx 0{,}0076 \]
\[ P(X \geq 116) \approx 0{,}2140 + 0{,}2100 + 0{,}1414 + 0{,}0584 + 0{,}0076 \approx 0{,}631 \]
Donc \( P(X \leq 115) \approx 1 – 0{,}631 = 0{,}369 \).
Solution de la question 3 :
\[ P(\text{surbooking}) = P(X \geq 116) \approx 0{,}631 \]
La probabilité de surbooking est d’environ \( 63{,}1\,\% \). Cette valeur élevée s’explique par le fait que la probabilité de présence \( 0{,}96 \) est très forte : en moyenne \( 0{,}96 \times 120 = 115{,}2 \) passagers se présentent, soit juste au-dessus de la capacité.
Exercice 6 : Pièce truquée – Déterminer le nombre minimal de lancers
Moyen
On dispose d’une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est \( p = 0{,}4 \). On effectue \( n \) lancers indépendants. On souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une fois pile soit supérieure à \( 0{,}99 \).
- En notant \( X \) le nombre de piles obtenus en \( n \) lancers, exprimer \( P(X \geq 1) \) en fonction de \( n \).
- Déterminer le plus petit entier naturel \( n \) tel que \( P(X \geq 1) > 0{,}99 \).
Indication
Utilisez le complémentaire : \( P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) \). Puis résolvez l’inégalité en appliquant le logarithme des deux membres.
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\( X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}4) \), donc \( P(X = 0) = (0{,}6)^n \) et :
\[ P(X \geq 1) = 1 – (0{,}6)^n \]
Solution de la question 2 :
On cherche le plus petit \( n \) tel que \( 1 – (0{,}6)^n > 0{,}99 \), soit \( (0{,}6)^n < 0{,}01 \).
On applique le logarithme (en base 10, ou népérien) :
\[ n \ln(0{,}6) < \ln(0{,}01) \]
Comme \( \ln(0{,}6) < 0 \), l'inégalité change de sens lors de la division :
\[ n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}6)} = \frac{-4{,}6052}{-0{,}5108} \approx 9{,}02 \]
Le plus petit entier naturel vérifiant cette condition est \( n = 10 \). En 10 lancers, la probabilité d’obtenir au moins une fois pile dépasse \( 99\,\% \).
Espérance, variance et écart-type d’une loi binomiale
L’espérance \( E(X) = np \) et la variance \( V(X) = np(1-p) \) sont deux caractéristiques fondamentales de la loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \). Cette section propose des exercices pour calculer ces grandeurs, les interpréter dans un contexte concret et, inversement, retrouver \( n \) et \( p \) à partir de l’espérance et de la variance.
Exercice 7 : Livraisons d’une enseigne – Calculer et interpréter l’espérance
Facile
Une enseigne de vente en ligne livre ses colis dans les délais avec une probabilité de \( 0{,}85 \). Un gérant passe commande de \( 20 \) articles auprès de cette enseigne. On note \( X \) le nombre de colis livrés dans les délais.
- Préciser la loi suivie par \( X \).
- Calculer \( E(X) \), \( V(X) \) et \( \sigma(X) \). Interpréter \( E(X) \) dans le contexte.
- La probabilité de livraison dans les délais passe à \( 0{,}90 \). Sans refaire tous les calculs, quelle nouvelle valeur prend \( E(X) \) ?
Indication
Utilisez directement les formules \( E(X) = np \), \( V(X) = np(1-p) \) et \( \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \).
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\( X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}85) \).
Solution de la question 2 :
\[ E(X) = 20 \times 0{,}85 = 17 \]
\[ V(X) = 20 \times 0{,}85 \times 0{,}15 = 2{,}55 \]
\[ \sigma(X) = \sqrt{2{,}55} \approx 1{,}60 \]
En moyenne, on peut s’attendre à recevoir \( 17 \) colis sur \( 20 \) dans les délais. L’écart-type de \( 1{,}60 \) traduit la dispersion autour de cette valeur centrale.
Solution de la question 3 :
\[ E(X) = 20 \times 0{,}90 = 18 \]
Avec une meilleure fiabilité de livraison, on espère recevoir \( 18 \) colis dans les délais sur \( 20 \).
Exercice 8 : Retrouver n et p à partir de l’espérance et de la variance
Moyen
Une variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \). On sait que son espérance vaut \( E(X) = 6 \) et son écart-type \( \sigma(X) = \sqrt{4{,}2} \).
- En utilisant les formules de l’espérance et de la variance, établir un système de deux équations en \( n \) et \( p \).
- Résoudre ce système pour déterminer \( n \) et \( p \).
Indication
L’écart-type est la racine carrée de la variance : \( V(X) = (\sigma(X))^2 = 4{,}2 \). Divisez ensuite l’équation de la variance par celle de l’espérance pour trouver \( 1 – p \), puis déduisez \( n \).
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\[ \begin{cases} np = 6 \\ np(1-p) = 4{,}2 \end{cases} \]
Solution de la question 2 :
En divisant la deuxième équation par la première :
\[ 1 – p = \frac{4{,}2}{6} = 0{,}7 \implies p = 0{,}3 \]
Puis, en reportant dans la première équation :
\[ n \times 0{,}3 = 6 \implies n = 20 \]
Ainsi \( X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3) \).
Exercice 9 : Espérance d’un gain à un jeu de hasard
Moyen
Un joueur participe à un jeu consistant à lancer \( 6 \) fois une pièce équilibrée. Pour chaque pile obtenu, il gagne \( 3 \) euros ; pour chaque face, il perd \( 1 \) euro. On note \( X \) le nombre de piles obtenus.
- Exprimer le gain algébrique total \( G \) en fonction de \( X \).
- Calculer \( E(G) \) et interpréter le résultat.
- Le jeu est-il favorable au joueur ?
Indication
Si le joueur obtient \( X \) piles, il obtient aussi \( 6 – X \) faces. Exprimez \( G \) en termes de \( X \), puis utilisez la linéarité de l’espérance : \( E(aX + b) = aE(X) + b \).
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Le joueur obtient \( X \) piles (gain de \( 3X \) euros) et \( 6 – X \) faces (perte de \( 6 – X \) euros).
\[ G = 3X – (6 – X) = 4X – 6 \]
Solution de la question 2 :
\( X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}5) \) donc \( E(X) = 6 \times 0{,}5 = 3 \).
\[ E(G) = 4 \times E(X) – 6 = 4 \times 3 – 6 = 6 \]
En moyenne, le joueur gagne \( 6 \) euros par partie.
Solution de la question 3 :
Comme \( E(G) = 6 > 0 \), le jeu est favorable au joueur. Sur un grand nombre de parties, il réalisera un gain moyen de \( 6 \) euros à chaque fois.
Problèmes de type baccalauréat : contextes réels et modélisation
Les exercices de cette section reprennent la structure des sujets de baccalauréat : contexte industriel, médical ou social, justification du modèle, calculs combinés. Ils mobilisent simultanément la reconnaissance de la loi binomiale, le calcul de probabilités et l’interprétation des résultats dans le contexte donné.
Exercice 10 : Fabrication de médicaments – Contrôle de production
Moyen
Un laboratoire pharmaceutique produit des comprimés. Le taux de comprimés non conformes est de \( 2\,\% \). Un pharmacien prélève un lot de \( 25 \) comprimés en supposant que la taille de la production est suffisamment grande pour que les tirages soient assimilés à des tirages indépendants avec remise. On note \( X \) le nombre de comprimés non conformes dans le lot.
- Justifier que \( X \) suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
- Calculer la probabilité qu’il y ait exactement \( 1 \) comprimé non conforme dans le lot.
- Calculer la probabilité qu’il y ait au moins \( 2 \) comprimés non conformes.
- Le lot est refusé si le nombre de comprimés non conformes est strictement supérieur à \( 1 \). Quelle est la probabilité que le lot soit refusé ?
Indication
Pour les questions 3 et 4, utilisez le complémentaire. La probabilité « au moins 2 » vaut \( 1 – P(X \leq 1) \). La probabilité de refus est \( P(X > 1) = P(X \geq 2) \), soit exactement la même expression.
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\( X \sim \mathcal{B}(25\,;\,0{,}02) \). Chaque comprimé est indépendant et la probabilité d’être non conforme est constante égale à \( 0{,}02 \).
Solution de la question 2 :
\[ P(X=1) = \binom{25}{1}(0{,}02)^1(0{,}98)^{24} = 25 \times 0{,}02 \times (0{,}98)^{24} \approx 25 \times 0{,}02 \times 0{,}6035 \approx 0{,}302 \]
Solution de la question 3 :
\[ P(X \geq 2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) \]
\[ P(X=0) = (0{,}98)^{25} \approx 0{,}603 \]
\[ P(X \geq 2) \approx 1 – 0{,}603 – 0{,}302 = 0{,}095 \]
Solution de la question 4 :
Le lot est refusé si \( X > 1 \), c’est-à-dire si \( X \geq 2 \).
\[ P(\text{refus}) = P(X \geq 2) \approx 0{,}095 \]
Il y a environ \( 9{,}5\,\% \) de chances que le lot soit refusé.
Exercice 11 : Feux tricolores – Variable aléatoire composée
Moyen
Un lycéen se rend au lycée à vélo. Sur son trajet, il rencontre \( 5 \) feux tricolores indépendants. Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est \( \dfrac{2}{3} \). Un feu rouge ou orange lui fait perdre \( 2 \) minutes. On note \( X \) le nombre de feux verts rencontrés, et \( T \) le temps de retard total (en minutes) accumulé aux feux.
- Préciser la loi suivie par \( X \) et ses paramètres.
- Exprimer \( T \) en fonction de \( X \).
- Calculer \( E(T) \) et l’interpréter.
- Calculer la probabilité que le lycéen subisse un retard total strictement supérieur à \( 4 \) minutes.
Indication
Le nombre de feux non verts est \( 5 – X \). Pour la question 4, un retard supérieur à 4 minutes correspond à au moins 3 feux non verts, donc à \( X \leq 2 \). Utilisez les probabilités de \( \mathcal{B}(5\,;\,\frac{2}{3}) \).
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\( X \sim \mathcal{B}\!\left(5\,;\,\dfrac{2}{3}\right) \)
Solution de la question 2 :
Le lycéen rencontre \( 5 – X \) feux non verts, chacun lui coûtant 2 minutes.
\[ T = 2(5 – X) = 10 – 2X \]
Solution de la question 3 :
\[ E(X) = 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \]
\[ E(T) = 10 – 2 \times \frac{10}{3} = 10 – \frac{20}{3} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \text{ min} \]
En moyenne, le lycéen perd environ \( 3 \) minutes et \( 20 \) secondes à cause des feux non verts.
Solution de la question 4 :
\( T > 4 \) minutes signifie \( 10 – 2X > 4 \), soit \( X < 3 \), c'est-à-dire \( X \leq 2 \).
\[ P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \]
\[ P(X=0) = \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243} \approx 0{,}004 \]
\[ P(X=1) = \binom{5}{1}\left(\frac{2}{3}\right)^1\!\left(\frac{1}{3}\right)^4 = 5 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{81} = \frac{10}{243} \approx 0{,}041 \]
\[ P(X=2) = \binom{5}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2\!\left(\frac{1}{3}\right)^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243} \approx 0{,}165 \]
\[ P(T > 4) = P(X \leq 2) \approx 0{,}004 + 0{,}041 + 0{,}165 \approx 0{,}210 \]
Le lycéen a environ \( 21\,\% \) de chances d’accumuler un retard supérieur à 4 minutes.
Intervalles de fluctuation et prise de décision statistique avec la loi binomiale
L’intervalle de fluctuation au seuil \( 1 – \alpha \) est l’intervalle dans lequel se situe la fréquence observée avec une probabilité d’au moins \( 1 – \alpha \). Cette notion, au cœur des problèmes d’échantillonnage du programme de Terminale, permet de tester une hypothèse sur la valeur d’une probabilité inconnue.
Exercice 12 : Pièce de monnaie – Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
Moyen
On suppose qu’une pièce est équilibrée, c’est-à-dire que la probabilité d’obtenir pile est \( p = 0{,}5 \). On lance cette pièce \( n = 100 \) fois et on note \( f \) la fréquence d’apparition de pile.
- Rappeler la formule approchée de l’intervalle de fluctuation au seuil de \( 95\,\% \) pour une proportion \( p \) et un échantillon de taille \( n \).
- Calculer cet intervalle pour \( p = 0{,}5 \) et \( n = 100 \).
- On obtient \( 62 \) piles sur \( 100 \) lancers. Peut-on remettre en cause l’équilibre de la pièce au seuil de \( 95\,\% \) ? Justifier.
Indication
L’intervalle de fluctuation approché au seuil de \( 95\,\% \) est \( \left[ p – \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \). Comparez ensuite la fréquence observée \( f = 0{,}62 \) à cet intervalle.
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L’intervalle de fluctuation approché au seuil de \( 95\,\% \) est :
\[ I = \left[ p – \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \]
Solution de la question 2 :
\[ \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \]
\[ I = \left[ 0{,}5 – 0{,}1\,;\, 0{,}5 + 0{,}1 \right] = \left[ 0{,}4\,;\, 0{,}6 \right] \]
Solution de la question 3 :
La fréquence observée est \( f = \dfrac{62}{100} = 0{,}62 \). Or \( 0{,}62 \notin [0{,}4\,;\,0{,}6] \). La fréquence observée est en dehors de l’intervalle de fluctuation au seuil de \( 95\,\% \). On peut donc remettre en cause l’hypothèse d’équilibre de la pièce au risque de \( 5\,\% \).
Exercice 13 : Étude épidémiologique – Tester une proportion
Difficile
Une étude nationale indique que \( 30\,\% \) des adultes pratiquent une activité sportive régulière. Un médecin réalise une enquête dans sa commune en interrogeant \( n = 200 \) adultes choisis au hasard. Il observe que \( 74 \) d’entre eux pratiquent une activité sportive régulière.
- On note \( p_0 = 0{,}30 \) la proportion nationale. Calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de \( 95\,\% \) pour \( n = 200 \) et \( p_0 = 0{,}30 \).
- La fréquence observée dans la commune est-elle compatible avec la proportion nationale au seuil de \( 95\,\% \) ? Conclure.
- Le médecin refait l’enquête avec un échantillon de \( n = 500 \) adultes et observe toujours une fréquence de \( \dfrac{74}{200} \). En quoi l’augmentation de la taille de l’échantillon modifie-t-elle la portée de la conclusion ?
Indication
Appliquez la formule \( \left[ p_0 – \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p_0 + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \) pour les deux valeurs de \( n \). L’intervalle se rétrécit quand \( n \) augmente, rendant le test plus sensible.
Voir le corrigé
\[ \frac{1}{\sqrt{200}} \approx \frac{1}{14{,}14} \approx 0{,}0707 \]
\[ I_{200} = \left[ 0{,}30 – 0{,}0707\,;\, 0{,}30 + 0{,}0707 \right] \approx \left[ 0{,}229\,;\, 0{,}371 \right] \]
Solution de la question 2 :
La fréquence observée est \( f = \dfrac{74}{200} = 0{,}37 \). On a \( 0{,}37 \in [0{,}229\,;\,0{,}371] \) (la valeur est sur la borne supérieure, arrondie). La fréquence est donc tout juste compatible avec la proportion nationale au seuil de \( 95\,\% \). On ne peut pas rejeter l’hypothèse que la commune suit la tendance nationale.
Solution de la question 3 :
Pour \( n = 500 \), avec la même fréquence observée \( f = 0{,}37 \) :
\[ \frac{1}{\sqrt{500}} \approx 0{,}0447 \]
\[ I_{500} \approx \left[ 0{,}255\,;\, 0{,}345 \right] \]
Cette fois, \( f = 0{,}37 > 0{,}345 \), donc la fréquence observée est en dehors de l’intervalle de fluctuation. Un échantillon plus grand permet une détection plus fine des écarts. On rejetterait alors l’hypothèse que la commune suit la proportion nationale au seuil de \( 95\,\% \). Cela illustre le fait qu’un test statistique est d’autant plus puissant que l’échantillon est grand.
Exercices difficiles de type baccalauréat : problèmes combinés et raisonnement avancé
Cette section regroupe des exercices à plusieurs parties qui mobilisent la totalité des compétences liées à la loi binomiale : modélisation, calculs de probabilités complexes, espérance d’une variable composée, et argumentation mathématique rigoureuse. Ce sont les exercices les plus proches de ceux rencontrés lors de l’épreuve terminale de spécialité mathématiques.
Exercice 14 : Fidélité client – Modélisation par loi binomiale et décision
Difficile
Une enseigne commerciale estime que chaque client effectuant un achat revient dans le magasin pour un nouvel achat dans les trois mois suivants avec une probabilité de \( 0{,}6 \). On choisit au hasard \( 10 \) clients ayant effectué un achat. On admet que leurs comportements sont indépendants. On note \( X \) le nombre de clients qui reviennent.
- Justifier que \( X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}6) \).
- Calculer la probabilité qu’au plus \( 3 \) clients reviennent. Arrondir à \( 10^{-3} \).
- On note \( p_n \) la probabilité que les \( n \) clients choisis soient tous de retour dans les trois mois. Montrer que \( p_n = (0{,}6)^n \), puis déterminer le plus petit entier \( n \) tel que \( p_n < 0{,}01 \).
- Le directeur affirme que la proportion de clients fidèles dans son magasin est supérieure à \( 60\,\% \). Sur un échantillon de \( 50 \) clients, \( 36 \) reviennent. Cette observation est-elle compatible avec l’affirmation du directeur au seuil de \( 95\,\% \) ?
Indication
Pour la question 3, chaque client doit revenir, ce qui correspond à l’événement \( X = n \) dans un schéma de Bernoulli. Pour la question 4, l’intervalle de fluctuation est centré sur \( p_0 = 0{,}6 \) pour \( n = 50 \).
Voir le corrigé
Les \( 10 \) clients sont choisis indépendamment, chacun ayant la même probabilité \( 0{,}6 \) de revenir. Il y a deux issues possibles : retour ou non-retour. Ce sont bien les conditions d’un schéma de Bernoulli répété \( 10 \) fois, d’où \( X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}6) \).
Solution de la question 2 :
\[ P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k}(0{,}6)^k(0{,}4)^{10-k} \]
\[ P(X=0) = (0{,}4)^{10} \approx 0{,}000\,1 \]
\[ P(X=1) = 10 \times 0{,}6 \times (0{,}4)^9 \approx 0{,}002 \]
\[ P(X=2) = 45 \times (0{,}6)^2 \times (0{,}4)^8 \approx 0{,}011 \]
\[ P(X=3) = 120 \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^7 \approx 0{,}042 \]
\[ P(X \leq 3) \approx 0{,}055 \]
Solution de la question 3 :
Si l’on choisit \( n \) clients, la probabilité qu’ils reviennent tous est :
\[ p_n = (0{,}6)^n \]
car les événements sont indépendants et chacun a une probabilité \( 0{,}6 \) de revenir.
On cherche \( n \) tel que \( (0{,}6)^n < 0{,}01 \) :
\[ n \ln(0{,}6) < \ln(0{,}01) \implies n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}6)} \approx \frac{-4{,}605}{-0{,}511} \approx 9{,}01 \]
Le plus petit entier vérifiant la condition est \( n = 10 \).
Solution de la question 4 :
Fréquence observée : \( f = \dfrac{36}{50} = 0{,}72 \). Intervalle de fluctuation pour \( p_0 = 0{,}6 \) et \( n = 50 \) :
\[ I = \left[ 0{,}6 – \frac{1}{\sqrt{50}}\,;\, 0{,}6 + \frac{1}{\sqrt{50}} \right] \approx \left[ 0{,}459\,;\, 0{,}741 \right] \]
On a \( f = 0{,}72 \in [0{,}459\,;\,0{,}741] \). La fréquence observée est compatible avec \( p_0 = 0{,}6 \) au seuil de \( 95\,\% \). On ne peut donc pas contredire l’affirmation du directeur sur la base de cet échantillon.
Exercice 15 : Réseau informatique – Pannes et redondance
Difficile
Un réseau informatique est composé de \( 6 \) serveurs indépendants. Chaque serveur tombe en panne sur une journée donnée avec une probabilité \( p = 0{,}1 \). On note \( X \) le nombre de serveurs en panne sur une journée. Le réseau est opérationnel si au plus \( 1 \) serveur est en panne.
- Donner la loi suivie par \( X \) et ses paramètres.
- Calculer la probabilité que le réseau soit opérationnel.
- On souhaite que la probabilité d’une panne critique (plus d’un serveur en panne) soit inférieure à \( 1\,\% \). La configuration actuelle satisfait-elle cette exigence ?
- En conservant \( p = 0{,}1 \) par serveur, combien de serveurs faut-il au maximum pour que la probabilité de plus de \( 1 \) panne simultanée reste inférieure à \( 1\,\% \) ? On utilisera des valeurs numériques.
Indication
Pour la question 4, exprimez \( P(X \geq 2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) \) pour un réseau de \( n \) serveurs, et testez numériquement les valeurs de \( n \) à partir de \( n = 6 \) en cherchant jusqu’à quel \( n \) la probabilité reste inférieure à \( 0{,}01 \).
Voir le corrigé
\( X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}1) \).
Solution de la question 2 :
\[ P(X=0) = (0{,}9)^6 \approx 0{,}5314 \]
\[ P(X=1) = 6 \times 0{,}1 \times (0{,}9)^5 \approx 6 \times 0{,}1 \times 0{,}5905 \approx 0{,}3543 \]
\[ P(X \leq 1) \approx 0{,}5314 + 0{,}3543 = 0{,}8857 \]
La probabilité que le réseau soit opérationnel est d’environ \( 88{,}6\,\% \).
Solution de la question 3 :
\[ P(X \geq 2) = 1 – P(X \leq 1) \approx 1 – 0{,}8857 = 0{,}1143 \]
Cette probabilité est de \( 11{,}4\,\% \), ce qui est bien supérieur à \( 1\,\% \). La configuration actuelle ne satisfait pas l’exigence.
Solution de la question 4 :
Pour un réseau de \( n \) serveurs, \( X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}1) \) et :
\[ P(X \geq 2) = 1 – (0{,}9)^n – n \times 0{,}1 \times (0{,}9)^{n-1} \]
On teste successivement :
\( n = 3 \) : \( P(X \geq 2) = 1 – 0{,}729 – 0{,}243 = 0{,}028 > 0{,}01 \)
\( n = 2 \) : \( P(X \geq 2) = 1 – 0{,}81 – 0{,}18 = 0{,}01 \)
\( n = 2 \) donne exactement \( 1\,\% \), soit la limite. Pour \( n \geq 3 \), l’exigence n’est plus satisfaite. Ainsi, avec \( p = 0{,}1 \), il faut disposer d’au maximum \( 2 \) serveurs pour que la probabilité de panne critique reste inférieure ou égale à \( 1\,\% \). Dans la pratique, cela signifie que la probabilité de panne individuelle doit être réduite, et non que le nombre de serveurs doit l’être — ce paradoxe illustre l’importance du dimensionnement fiabiliste des systèmes.