Les limites et continuité constituent un pilier fondamental en analyse mathématique. Ce chapitre permet de comprendre le comportement des fonctions autour de points spécifiques et d’analyser leurs propriétés essentielles. Ces concepts trouvent des applications concrètes en physique, en économie et en ingénierie, notamment pour modéliser des phénomènes continus et prédire le comportement de systèmes dynamiques.
Limite d’une fonction en un point
La notion de limite d’une fonction décrit le comportement de cette fonction lorsque la variable s’approche d’une valeur donnée. Cette notion est essentielle pour analyser les variations et les discontinuités potentielles.
Résultats fondamentaux
Soit P et Q deux fonctions polynômes, et soit \(x_0\) appartenant à l’ensemble des nombres réels et \(a\) un nombre réel. Les résultats suivants s’appliquent :
Limites des fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques possèdent des propriétés de limite particulières :
Limites remarquables importantes
Certaines limites sont particulièrement utiles pour résoudre des formes indéterminées :
Opérations sur les limites
Les propriétés des limites sont valables si \(x\) tend vers \(a^+\), \(a^-\), \(+\infty\) ou \(-\infty\). Les opérations fondamentales conservent les limites selon des règles précises de limite de somme, limite de produit, limite d’inverse et limite de quotient.
Limites à droite et à gauche
Il est essentiel de distinguer les limites à droite et les limites à gauche pour étudier le comportement local d’une fonction.
Exemple pratique
Considérons la fonction définie par :
Pour étudier la limite de \(f\) en \(x = 1\), nous devons calculer séparément les limites à droite et à gauche.
Pour \(x\) dans l’intervalle ouvert de moins un à un, si \(x < 1\), nous avons \(1 – x^2 > 0\), donc :
Par conséquent :
Pour \(x > 1\), nous avons \(1 – x^2 < 0\), donc :
Par conséquent :
Puisque les limites à gauche et à droite sont différentes, la fonction \(f\) n’admet pas de limite en \(x = 1\).
Continuité d’une fonction numérique en un point
La continuité garantit qu’une fonction ne présente aucune rupture ou saut au point considéré. Cette propriété est cruciale pour l’analyse des fonctions et leurs applications.
Définition de la continuité
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle centré en \(a\). On dit que la fonction \(f\) est continue en \(a\) si elle admet une limite finie en \(a\) et que cette limite est égale à la valeur de la fonction en ce point :
Continuité à droite et à gauche
Une fonction \(f\) définie sur un intervalle de la forme \([a, a+r[\) où \(r > 0\) est continue à droite de \(a\) si elle admet une limite finie à droite en \(a\) et :
De manière similaire, une fonction \(f\) définie sur un intervalle de la forme \(]a-r, a]\) où \(r > 0\) est continue à gauche de \(a\) si :
Prolongement par continuité
Soit \(f\) une fonction dont l’ensemble de définition est \(D_f\), et soit \(a\) un réel tel que \(a \notin D_f\) mais pour lequel la limite existe :
La fonction définie par \(\tilde{f}(x) = f(x)\) si \(x \neq a\) et \(\tilde{f}(a) = l\) est une fonction continue en \(a\) et s’appelle un prolongement par continuité de la fonction \(f\) en \(a\).
Opérations sur les fonctions continues
Continuité sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction dont le domaine de définition est \(D_f\), et soit un intervalle ouvert \(]a, b[\) inclus dans \(D_f\).
On dit que \(f\) est continue sur l’ouvert \(]a, b[\) si elle est continue en tout point de cet intervalle. On dit que \(f\) est continue sur \([a, b[\) si elle est continue sur \(]a, b[\) et à droite de \(a\). Enfin, on dit que \(f\) est continue sur \([a, b]\) si elle est continue sur \(]a, b[\), à droite de \(a\) et à gauche de \(b\).
Propriétés des opérations
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues en \(a\), alors les fonctions suivantes sont également continues en \(a\) :
- La somme \(f + g\)
- Le produit \(f \times g\)
- La valeur absolue \(|f|\)
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues en \(a\) et \(g(a) \neq 0\), alors les fonctions \(\frac{1}{g}\) et \(\frac{f}{g}\) sont continues en \(a\).
Si \(f\) est une fonction continue en \(a\) et \(f(a) \geq 0\), alors la fonction \(\sqrt{f}\) est continue en \(a\).
Fonctions usuelles continues
Toute fonction polynôme est continue sur l’ensemble des nombres réels. Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur l’ensemble des nombres réels.
Continuité de la composition
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) tels que \(f(I) \subset J\) et \(x_0\) un élément de \(I\).
Si \(f\) est continue en \(x_0\) et \(g\) continue en \(f(x_0)\), alors la composée \(g \circ f\) est continue en \(x_0\). Si \(f\) est continue sur \(I\) et \(g\) continue sur \(f(I)\), alors \(g \circ f\) est continue sur \(I\).
Limite de composition
Soit \(u\) une fonction définie sur un intervalle pointé de centre \(x_0\) telle que :
Si \(v\) est continue en \(l\), alors :
Image d’un intervalle par une fonction continue
Image d’un segment
L’image d’un segment \([a, b]\) par une fonction continue est le segment \([m, M]\) où \(m\) représente le minimum de \(f(x)\) pour \(x\) dans \([a, b]\) et \(M\) représente le maximum de \(f(x)\) pour \(x\) dans \([a, b]\).
Cas particuliers
Si \(f\) est continue croissante sur \([a, b]\), alors :
Si \(f\) est continue décroissante sur \([a, b]\), alors :
Image d’un intervalle quelconque
L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle. Cependant, l’intervalle \(I\) et son image \(f(I)\) par une fonction continue n’ont pas nécessairement la même forme.
Cas d’une fonction strictement monotone
Pour une fonction \(f\) continue et strictement croissante sur un intervalle \(I\) avec \(a = \inf I\) et \(b = \sup I\), l’image de l’intervalle dépend des limites aux bornes.
Pour une fonction \(f\) continue et strictement décroissante sur un intervalle \(I\), les images des intervalles sont inversées selon le sens de variation.
Théorème des valeurs intermédiaires
Cas général
Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que soit \(f\) une fonction continue sur \([a, b]\). Pour tout \(\lambda\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c \in [a, b]\) tel que :
Cas fonction strictement monotone
Soit \(f\) une fonction continue strictement monotone sur \([a, b]\). Pour tout \(\lambda\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un et un seul \(c \in [a, b]\) tel que \(f(c) = \lambda\).
Cette unicité signifie que l’équation \(f(x) = \lambda\) admet une solution unique dans \([a, b]\).
Corollaires importants
Corollaire premier
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a, b]\). Si \(f(a) \times f(b) < 0\), alors il existe au moins un \(c \in [a, b]\) tel que \(f(c) = 0\).
Corollaire second
Soit \(f\) une fonction continue strictement monotone sur \([a, b]\). Si \(f(a) \times f(b) < 0\), alors il existe un et un seul \(c\) dans \([a, b]\) tel que \(f(c) = 0\).
Fonctions composées et fonctions réciproques
Théorème d’existence
Soit \(f\) une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) admet une fonction réciproque notée \(f^{-1}\) définie de \(J = f(I)\) vers \(I\).
La fonction \(f\) est une bijection de \(I\) vers \(f(I)\), et sa fonction réciproque vérifie :
On a également les relations :
Propriétés de la fonction réciproque
Propriété de monotonie
Si \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) de \(J = f(I)\) vers \(I\), alors \(f^{-1}\) a la même monotonie sur \(J\) que celle de \(f\) sur \(I\).
Propriété géométrique
Si \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) de \(J = f(I)\) vers \(I\), alors les courbes représentatives de \(f^{-1}\) et de \(f\) sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y = x\).
Cette symétrie concerne toutes leurs composantes : les asymptotes, les tangentes et demi-tangentes.
La fonction racine n-ième
Définition et règles de calculs
Soit \(n\) un élément de l’ensemble des entiers naturels non nuls. La fonction définie par \(f(x) = x^n\) est une fonction continue strictement croissante sur l’ensemble des nombres réels positifs. Elle admet donc une fonction réciproque \(f^{-1}\) de \(\mathbb{R}^+\) vers \(\mathbb{R}^+\).
La fonction réciproque \(f^{-1}\) s’appelle la fonction racine n-ième et se note \(\sqrt[n]{x}\).
Conséquences de la définition
La fonction \(\sqrt[n]{x}\) est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs. Pour tout \(x \geq 0\), on a \(\sqrt[n]{x} \geq 0\). Pour tous réels positifs \(x\) et \(y\), on a :
La fonction \(\sqrt[n]{x}\) est continue sur l’ensemble des nombres réels positifs et strictement croissante.
Propriétés importantes
Règles de calcul
Pour tous réels positifs \(x\) et \(y\), et pour tous entiers naturels non nuls \(n\) et \(p\) :
Résolution de l’équation
Pour résoudre l’équation \(\sqrt[n]{x} = a\) dans l’ensemble des nombres réels :
Exemples résolus
Équation première : \(\sqrt[5]{x} = 32\)
Cette équation implique \(x \geq 0\). En élevant à la puissance cinq, on obtient \(x = 32^5 = 2^5 = 2\). L’ensemble solution est donc \(S = \{2\}\).
Équation deuxième : \(\sqrt[7]{x} = -128\)
Cette équation implique \(x \geq 0\). Puisque la racine septième est toujours positive ou nulle, mais le membre de droite est négatif, il y a contradiction. On obtient \(x = (-128)^7 = -2\). L’ensemble solution est donc \(S = \{-2\}\).
Équation troisième : \(\sqrt[4]{x} = 3\)
Cette équation peut avoir deux solutions : \(x = 3^4\) ou \(x = (-3)^4\). L’ensemble solution est \(S = \{\sqrt[4]{3}, -\sqrt[4]{3}\}\).
Équation quatrième : \(\sqrt[6]{x} = -8\)
La racine sixième d’un nombre est toujours positive ou nulle, et ne peut donc jamais égaler un nombre négatif. L’ensemble solution est vide : \(S = \emptyset\).
Expression conjuguée
Les identités algébriques suivantes sont utiles pour simplifier les expressions contenant des racines cubiques :
Par conséquent, pour tous réels positifs \(x\) et \(y\) :
Puissance rationnelle
Puissance entière
Soit \(x\) un réel et \(n\) un entier naturel non nul. On définit :
Pour \(x \neq 0\), on définit également :
Puissance rationnelle
Pour tout réel \(x \geq 0\) et pour tout entier non nul \(q\), on pose :
Soit \(x\) un réel positif et \(r\) un rationnel, c’est-à-dire \(r = \frac{p}{q}\) où \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{N}^*\). On définit la puissance rationnelle par :
Propriétés des puissances rationnelles
Soit \(x\) et \(y\) deux réels positifs, et \(r\) et \(r’\) des rationnels. Les propriétés suivantes s’appliquent :
Résumé du cours Limites et continuité
Ce chapitre sur les limites et continuité constitue un pilier essentiel de l’analyse mathématique en deuxième année baccalauréat. Voici les points clés à retenir :
- Limite d’une fonction : Permet d’étudier le comportement d’une fonction lorsque la variable s’approche d’une valeur donnée ou tend vers l’infini
- Limites remarquables : Les rapports trigonométriques comme sinus x sur x tendent vers un lorsque x tend vers zéro
- Continuité en un point : Une fonction est continue en un point si sa limite en ce point égale la valeur de la fonction
- Opérations sur fonctions continues : La somme, le produit, le quotient et la composition de fonctions continues sont continues
- Théorème des valeurs intermédiaires : Garantit l’existence de solutions pour les équations dans un intervalle
- Fonction réciproque : Une fonction continue strictement monotone admet une fonction réciproque de même monotonie
- Fonction racine n-ième : Réciproque de la fonction puissance n, définie sur les réels positifs
- Puissances rationnelles : Extension des puissances entières aux exposants rationnels
Questions fréquentes sur les limites et continuité
Quelle est la différence entre limite et continuité ?
La limite décrit le comportement d’une fonction lorsqu’on s’approche d’un point, tandis que la continuité exige que la fonction soit définie au point et que sa limite égale sa valeur en ce point. Une fonction peut avoir une limite en un point sans y être continue si elle n’est pas définie en ce point ou si la limite diffère de la valeur de la fonction.
Comment calculer une limite de forme indéterminée ?
Pour résoudre une forme indéterminée comme zéro sur zéro ou l’infini sur l’infini, on peut utiliser plusieurs méthodes : la factorisation et simplification, les limites remarquables trigonométriques, la multiplication par l’expression conjuguée, ou le développement limité. Le choix de la méthode dépend de la nature de l’expression.
Quand utilise-t-on le théorème des valeurs intermédiaires ?
Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique pour prouver l’existence de solutions d’une équation dans un intervalle donné. Il est particulièrement utile pour montrer qu’une équation admet au moins une solution lorsque la fonction change de signe sur l’intervalle. Si la fonction est strictement monotone, on garantit l’unicité de la solution.
Comment reconnaître si une fonction est continue ?
Pour vérifier la continuité, il faut s’assurer que la fonction est définie au point considéré, que la limite existe en ce point, et que cette limite égale la valeur de la fonction. Les fonctions polynômes, les fonctions trigonométriques sinus et cosinus, ainsi que les fonctions racines sont continues sur leurs domaines de définition respectifs.
Quelle est l’importance du prolongement par continuité ?
Le prolongement par continuité permet de combler un trou dans une fonction en lui attribuant la valeur de sa limite au point où elle n’était pas définie. Cette technique est essentielle en analyse pour étendre le domaine de définition d’une fonction tout en préservant ses propriétés de continuité, notamment pour les fonctions rationnelles présentant des simplifications.
Comment utiliser les limites remarquables en pratique ?
Les limites remarquables comme la limite de sinus x sur x égale un lorsque x tend vers zéro sont des outils puissants pour calculer des limites complexes. On les utilise en effectuant des substitutions appropriées ou en réécrivant l’expression pour faire apparaître la forme remarquable. Par exemple, pour calculer la limite de sinus trois x sur x, on multiplie et divise par trois pour obtenir trois fois sinus trois x sur trois x.
Pourquoi la fonction réciproque a-t-elle la même monotonie ?
Si une fonction est strictement croissante, des valeurs d’entrée plus grandes donnent des valeurs de sortie plus grandes. Pour la fonction réciproque, les rôles sont inversés mais la relation d’ordre est préservée. Ainsi, si la fonction originale est croissante de x vers y, alors la fonction réciproque qui va de y vers x est également croissante. Cette propriété découle directement de la définition de la bijection.
Comment simplifier les expressions avec des racines n-ièmes ?
Pour simplifier les expressions contenant des racines n-ièmes, on utilise les propriétés fondamentales : la racine d’un produit est le produit des racines, la racine d’un quotient est le quotient des racines, et on peut convertir les racines en puissances rationnelles pour faciliter les calculs. L’expression conjuguée est également utile pour rationaliser les dénominateurs contenant des racines cubiques.
Conclusion
La maîtrise des concepts de limites et continuité est fondamentale pour réussir en mathématiques au niveau du baccalauréat et constitue une base solide pour les études supérieures scientifiques. Ces notions permettent d’analyser rigoureusement le comportement des fonctions et de résoudre des problèmes complexes en analyse.
Comme le dit le proverbe : « C’est en forgeant que l’on devient forgeron ». C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices que l’on devient un mathématicien accompli. La pratique constante des techniques de calcul de limites, l’application du théorème des valeurs intermédiaires et la manipulation des fonctions continues sont essentielles pour développer une intuition mathématique solide.