Identités remarquables 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les identités remarquables en 3ème apprennent à reconnaître une structure avant de calculer. Le cours sur les trois identités remarquables précise les signes et les formes réciproques.

Les développements utilisent la double distributivité et la factorisation. Une correction complète indique l'identité choisie, les substitutions effectuées et le contrôle final.

Reconnaître la bonne identité

Le premier travail consiste à identifier deux carrés et le signe du terme double.

Exercice 1 : Associer forme et identité

Facile

On considère A=(x+7)2A=(x+7)^2, B=(3x−2)2B=(3x-2)^2 et C=(5x−1)(5x+1)C=(5x-1)(5x+1).

  1. Nommer l'identité utilisée pour chaque expression.
  2. Développer AA.
  3. Développer BB.
  4. Développer CC.
Indication

Dans CC, les deux facteurs ont les mêmes termes et des signes opposés.

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  1. AA est un carré de somme, BB un carré de différence et CC un produit somme par différence.
  2. A=x2+14x+49A=x^2+14x+49.
  3. B=9x2−12x+4B=9x^2-12x+4.
  4. C=25x2−1C=25x^2-1.

Exercice 2 : Terme central à retrouver

Moyen

Compléter x2+square+36=(x+6)2x^2+square+36=(x+6)^2, puis 9x2+square+25=(3x−5)29x^2+square+25=(3x-5)^2.

  1. Trouver le premier terme manquant.
  2. Trouver le second en conservant son signe.
  3. Expliquer le rôle du facteur 22.
Indication

Le terme central vaut 2ab2ab ou −2ab-2ab.

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  1. (x+6)2=x2+12x+36(x+6)^2=x^2+12x+36, donc le terme est 12x12x.
  2. (3x−5)2=9x2−30x+25(3x-5)^2=9x^2-30x+25, donc le terme est −30x-30x.
  3. Il vient des deux produits croisés ab+ba=2abab+ba=2ab.

Exercice 3 : Audit de trois égalités

Difficile

Décider si les égalités suivantes sont des identités : (a−4)2=a2−16(a-4)^2=a^2-16, (2a+3)2=4a2+12a+9(2a+3)^2=4a^2+12a+9, (7−a)(7+a)=49−a2(7-a)(7+a)=49-a^2.

  1. Tester rapidement la première avec a=0a=0.
  2. Développer chacune.
  3. Classer les égalités vraies et fausses.
  4. Corriger l'égalité fausse.
  5. Expliquer pourquoi un seul contre-exemple suffit.
Indication

La première oublie probablement le terme central.

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  1. Pour a=0a=0, les deux membres valent 1616 et −16-16, donc l'égalité est déjà réfutée.
  2. (a−4)2=a2−8a+16(a-4)^2=a^2-8a+16, (2a+3)2=4a2+12a+9(2a+3)^2=4a^2+12a+9, et (7−a)(7+a)=49−a2(7-a)(7+a)=49-a^2.
  3. Les deuxième et troisième sont des identités ; la première est fausse.
  4. La forme correcte est a2−8a+16a^2-8a+16.
  5. Une identité doit être vraie pour toute valeur ; un seul cas faux invalide cette universalité.

Développer puis réduire

L'identité remplace une double distributivité, mais la réduction qui suit reste indispensable.

Exercice 4 : Deux carrés à soustraire

Moyen

Développer et réduire D=(x+5)2−(x−3)2D=(x+5)^2-(x-3)^2.

  1. Développer séparément les deux carrés.
  2. Distribuer le signe moins.
  3. Réduire l'expression.
  4. Retrouver le résultat par factorisation.
Indication

Vous pouvez aussi reconnaître A2−B2A^2-B^2.

Voir le corrigé
  1. (x+5)2=x2+10x+25(x+5)^2=x^2+10x+25 et (x−3)2=x2−6x+9(x-3)^2=x^2-6x+9.
  2. D=x2+10x+25−x2+6x−9D=x^2+10x+25-x^2+6x-9.
  3. D=16x+16D=16x+16.
  4. D=[(x+5)−(x−3)][(x+5)+(x−3)]=8(2x+2)=16x+16D=[(x+5)-(x-3)][(x+5)+(x-3)]=8(2x+2)=16x+16.

Exercice 5 : Coefficient devant le carré

Difficile

Réduire E=3(2x−1)2−2(x+4)2E=3(2x-1)^2-2(x+4)^2.

  1. Développer les deux carrés.
  2. Multiplier par les coefficients extérieurs.
  3. Réduire.
  4. Calculer EE pour x=1x=1 dans les deux formes.
Indication

Le coefficient extérieur multiplie chacun des trois termes du carré développé.

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  1. (2x−1)2=4x2−4x+1(2x-1)^2=4x^2-4x+1 et (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2=x^2+8x+16.
  2. E=12x2−12x+3−2x2−16x−32E=12x^2-12x+3-2x^2-16x-32.
  3. E=10x2−28x−29E=10x^2-28x-29.
  4. Pour x=1x=1, la forme initiale donne 3−50=−473-50=-47, et la forme réduite 10−28−29=−4710-28-29=-47.

Exercice 6 : Rectangle et carré retiré

Moyen

Un grand carré a pour côté x+4x+4. On retire un carré de côté x−4x-4, avec x>4x\gt 4.

  1. Exprimer l'aire restante.
  2. Développer les deux carrés.
  3. Réduire l'aire.
  4. Interpréter la factorisation par différence de carrés.
Indication

L'aire restante est la différence des deux aires.

Voir le corrigé
  1. A=(x+4)2−(x−4)2A=(x+4)^2-(x-4)^2.
  2. Les aires valent x2+8x+16x^2+8x+16 et x2−8x+16x^2-8x+16.
  3. A=16xA=16x.
  4. La différence se factorise en 8×2x8\times2x, ce qui correspond aussi à une bande réorganisée de dimensions 88 et 2x2x.

Factoriser en reconnaissant un motif

La forme développée doit contenir exactement les trois termes d'un carré ou les deux carrés d'une différence.

Exercice 7 : Trois trinômes à factoriser

Facile

Factoriser x2+10x+25x^2+10x+25, 4x2−20x+254x^2-20x+25 et 49x2−1649x^2-16.

  1. Identifier les carrés aux extrémités.
  2. Vérifier le terme double dans les deux premiers.
  3. Écrire les trois factorisations.
Indication

25=5225=5^2, 4x2=(2x)24x^2=(2x)^2, 49x2=(7x)249x^2=(7x)^2.

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  1. Les carrés sont x2,52x^2,5^2, puis (2x)2,52(2x)^2,5^2, enfin (7x)2,42(7x)^2,4^2.
  2. 2×x×5=10x2\times x\times5=10x et −2×2x×5=−20x-2\times2x\times5=-20x.
  3. On obtient (x+5)2(x+5)^2, (2x−5)2(2x-5)^2 et (7x−4)(7x+4)(7x-4)(7x+4).

Exercice 8 : Facteur commun puis identité

Difficile

Factoriser F=3x2−75F=3x^2-75.

  1. Mettre le facteur commun en évidence.
  2. Reconnaître ensuite une différence de carrés.
  3. Donner la factorisation complète.
  4. Vérifier en redéveloppant.
Indication

Après avoir sorti 33, il reste x2−25x^2-25.

Voir le corrigé
  1. F=3(x2−25)F=3(x^2-25).
  2. x2−25=x2−52x^2-25=x^2-5^2.
  3. F=3(x−5)(x+5)F=3(x-5)(x+5).
  4. (x−5)(x+5)=x2−25(x-5)(x+5)=x^2-25, puis la multiplication par 33 redonne 3x2−753x^2-75.

Exercice 9 : Forme presque remarquable

Difficile

On souhaite factoriser G=x2+8x+12G=x^2+8x+12. Un élève propose (x+4)2(x+4)^2.

  1. Développer sa proposition.
  2. Montrer l'écart avec GG.
  3. Écrire GG sous la forme (x+4)2−c(x+4)^2-c.
  4. Factoriser finalement GG.
  5. Contrôler le résultat.
Indication

Compléter le carré fait apparaître une différence de carrés.

Voir le corrigé
  1. (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2=x^2+8x+16.
  2. Cette expression dépasse GG de 44.
  3. G=(x+4)2−4G=(x+4)^2-4.
  4. G=(x+4−2)(x+4+2)=(x+2)(x+6)G=(x+4-2)(x+4+2)=(x+2)(x+6).
  5. Le produit donne x2+8x+12x^2+8x+12.

Calculer vite et prouver

Les identités remarquables donnent des calculs exacts et des preuves courtes lorsque les nombres sont proches d'une référence.

Exercice 10 : Carré de 999

Facile

Calculer mentalement 9992999^2.

  1. Écrire 999=1000−1999=1000-1.
  2. Appliquer le carré d'une différence.
  3. Donner le résultat exact.
Indication

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

Voir le corrigé
  1. 9992=(1000−1)2999^2=(1000-1)^2.
  2. 9992=1 000 000−2 000+1999^2=1\,000\,000-2\,000+1.
  3. Le résultat est 998 001998\,001.

Exercice 11 : Produit autour de 50

Moyen

Calculer 47×5347\times53 sans multiplication posée.

  1. Écrire les facteurs autour de 5050.
  2. Utiliser une différence de carrés.
  3. Calculer exactement.
  4. Donner un second exemple construit sur le même principe.
Indication

47=50−347=50-3 et 53=50+353=50+3.

Voir le corrigé
  1. 47×53=(50−3)(50+3)47\times53=(50-3)(50+3).
  2. Le produit vaut 502−3250^2-3^2.
  3. 2500−9=24912500-9=2491.
  4. Par exemple, 98×102=1002−22=999698\times102=100^2-2^2=9996.

Exercice 12 : Impair au carré

Difficile

Démontrer que le carré de tout nombre impair est impair.

  1. Écrire un entier impair sous la forme 2n+12n+1.
  2. Développer son carré.
  3. Factoriser la partie paire.
  4. Conclure avec la définition d'un impair.
  5. Tester la formule pour n=3n=3.
Indication

Une expression de la forme 2k+12k+1 est impaire.

Voir le corrigé
  1. Un impair s'écrit 2n+12n+1.
  2. (2n+1)2=4n2+4n+1(2n+1)^2=4n^2+4n+1.
  3. 4n2+4n=2(2n2+2n)4n^2+4n=2(2n^2+2n).
  4. Le carré vaut donc 2k+12k+1 avec k=2n2+2nk=2n^2+2n, entier ; il est impair.
  5. Pour n=3n=3, le nombre est 77 et son carré 49=2×24+149=2\times24+1.
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