Les fractions rationnelles constituent un outil mathématique fondamental en algèbre, permettant d’étendre les opérations polynomiales à un cadre plus riche. Utilisées dans de nombreux domaines, de l’analyse mathématique au calcul intégral, elles représentent le quotient de deux polynômes et offrent des propriétés remarquables qui en font des objets d’étude essentiels pour les étudiants du secondaire et du supérieur.
Ce cours complet vous guidera à travers la théorie des fractions rationnelles, de leur définition formelle jusqu’à leur décomposition en éléments simples, en passant par les opérations fondamentales et les applications pratiques.
Définition et Corps des Fractions Rationnelles
Définition formelle
Une fraction rationnelle à coefficients dans un corps \(\mathbb{K}\) (où \(\mathbb{K}\) peut être \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) est le quotient de deux polynômes de \(\mathbb{K}[X]\). Elle s’écrit sous la forme :
où \(P(X)\) et \(Q(X)\) sont des polynômes de \(\mathbb{K}[X]\) avec \(Q(X) \neq 0\).
Par définition, deux fractions rationnelles \(\frac{P}{Q}\) et \(\frac{R}{S}\) sont égales si et seulement si \(PS = QR\). Cette relation d’équivalence permet de définir l’ensemble \(\mathbb{K}(X)\) comme l’ensemble de toutes les fractions rationnelles à coefficients dans \(\mathbb{K}\).
Structure algébrique
L’ensemble \(\mathbb{K}(X)\) possède une structure remarquable. On y définit deux opérations naturelles :
\[ \frac{P}{Q} \times \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS} \]
Muni de ces opérations, \(\mathbb{K}(X)\) forme un corps commutatif, appelé corps des fractions rationnelles. Cette structure garantit que toute fraction rationnelle non nulle possède un inverse, et que les règles usuelles de calcul s’appliquent.
Forme Irréductible et Représentant d’une Fraction Rationnelle
Unicité de la forme irréductible
Toute fraction rationnelle peut s’écrire sous une forme irréductible unique. Cette propriété fondamentale assure qu’il existe une représentation canonique pour chaque fraction.
Théorème : Soit \(F \in \mathbb{K}(X)\) une fraction rationnelle non nulle. Alors \(F\) s’écrit de manière unique sous la forme :
où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes premiers entre eux (c’est-à-dire \(\text{pgcd}(P, Q) = 1\)) et \(Q\) est unitaire (son coefficient dominant vaut 1).
Cette écriture irréductible s’obtient en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, puis en normalisant le dénominateur pour le rendre unitaire.
Exemple de simplification
Considérons la fraction rationnelle :
On remarque que le numérateur est \((X-1)^3\) et le dénominateur est \((X-1)^2\). La forme irréductible est donc :
Degré d’une Fraction Rationnelle
Le degré d’une fraction rationnelle \(F = \frac{P}{Q}\) est défini par :
Ce degré appartient à \(\mathbb{Z} \cup \{-\infty\}\). Il vérifie des propriétés importantes :
- Pour toutes fractions \(F\) et \(G\) : \(\deg(F \times G) = \deg(F) + \deg(G)\)
- Pour toutes fractions \(F\) et \(G\) : \(\deg(F + G) \leq \max(\deg(F), \deg(G))\)
- Le degré ne dépend pas du représentant choisi pour la fraction
Une fraction rationnelle est dite propre si son degré est strictement négatif, c’est-à-dire si \(\deg(P) < \deg(Q)\).
Racines et Pôles des Fractions Rationnelles
Les concepts de racines et de pôles sont centraux dans l’étude des fractions rationnelles, car ils caractérisent leur comportement et déterminent leur domaine de définition.
Racines (ou zéros)
Soit \(F = \frac{P}{Q}\) une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. Un élément \(\alpha \in \mathbb{K}\) est appelé racine ou zéro de \(F\) si \(P(\alpha) = 0\). L’ordre de multiplicité de cette racine est son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme \(P\).
Pôles
Un élément \(\alpha \in \mathbb{K}\) est appelé pôle de \(F\) si \(Q(\alpha) = 0\). On dit que \(\alpha\) est un pôle d’ordre \(m\) si \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m\) du polynôme \(Q\). Si \(m = 1\), on parle de pôle simple.
Attention : Un élément ne peut pas être simultanément racine et pôle d’une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible, car cela contredirait l’hypothèse que \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux.
Exemple d’analyse
Considérons la fraction :
Le numérateur se factorise : \(X^2 – 3X + 2 = (X-1)(X-2)\). Les racines de \(F\) sont donc \(1\) et \(2\), toutes deux simples.
Pour le dénominateur : \(X^3 + X^2 + X + 1 = X^2(X+1) + (X+1) = (X^2+1)(X+1)\). Dans \(\mathbb{R}\), \(F\) admet \(-1\) comme unique pôle réel simple. Dans \(\mathbb{C}\), elle admet trois pôles simples : \(-1\), \(i\) et \(-i\).
Fonction Rationnelle Associée
À toute fraction rationnelle \(F = \frac{P}{Q}\) écrite sous forme irréductible, on peut associer une fonction rationnelle définie sur \(\mathbb{K} \setminus \mathcal{P}\), où \(\mathcal{P}\) désigne l’ensemble des pôles de \(F\) :
Cette fonction est définie en tout point où le dénominateur ne s’annule pas. Elle hérite des propriétés algébriques de la fraction rationnelle et permet d’étudier le comportement analytique de \(F\).
Distinction importante
Il est crucial de distinguer la fraction rationnelle (objet algébrique formel) de la fonction rationnelle (application concrète). Deux fractions rationnelles distinctes peuvent définir la même fonction sur un ensemble infini de points, mais elles restent algébriquement différentes.
Partie Entière d’une Fraction Rationnelle
La décomposition d’une fraction rationnelle commence par l’extraction de sa partie entière, qui est un polynôme.
Définition : Soit \(F = \frac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)\). La partie entière de \(F\), notée \(E\), est le quotient de la division euclidienne de \(P\) par \(Q\).
Autrement dit, on peut écrire de manière unique :
où \(\deg(R) < \deg(Q)\). La fraction \(\frac{R}{Q}\) est alors propre (de degré strictement négatif).
Méthode de calcul
- Si \(\deg(P) < \deg(Q)\), alors \(E = 0\) (la partie entière est nulle)
- Si \(\deg(P) \geq \deg(Q)\), effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(Q\)
- Le quotient obtenu est la partie entière \(E\)
Exemple détaillé
Calculons la partie entière de :
Effectuons la division euclidienne :
2X^4 + 3X^3 – X + 1 &= (X^2 – 3X + 1)(2X^2 + 9X + 25) + 65X – 24
\end{align*}
Donc :
La partie entière est \(E(X) = 2X^2 + 9X + 25\).
Décomposition en Éléments Simples
La décomposition en éléments simples est une technique fondamentale permettant d’exprimer une fraction rationnelle comme somme de fractions plus simples. Cette méthode est essentielle pour le calcul intégral et l’analyse de fonctions complexes.
Théorème de décomposition sur \(\mathbb{C}\)
Théorème : Soit \(F = \frac{P}{Q} \in \mathbb{C}(X)\) une fraction rationnelle non nulle écrite sous forme irréductible, avec \(Q(X) = \lambda(X-a_1)^{\alpha_1}(X-a_2)^{\alpha_2} \cdots (X-a_r)^{\alpha_r}\), où les \(a_i\) sont les pôles distincts de \(F\) et \(\alpha_i\) leurs multiplicités. Alors il existe une décomposition unique :
où \(E\) est la partie entière et les \(c_{i,j}\) sont des constantes complexes.
Théorème de décomposition sur \(\mathbb{R}\)
Sur \(\mathbb{R}\), la décomposition tient compte des polynômes irréductibles de degré 2. Si \(Q(X) = \lambda \prod_{i=1}^{r}(X-a_i)^{\alpha_i} \prod_{j=1}^{s}(X^2+p_jX+q_j)^{\beta_j}\) où les \(X^2+p_jX+q_j\) sont irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\), alors :
Méthodes de calcul des coefficients
1. Méthode de multiplication et évaluation (pôles simples)
Pour un pôle simple \(a\), le coefficient \(\lambda\) devant \(\frac{1}{X-a}\) se calcule par :
où \(Q'(a)\) est la dérivée de \(Q\) évaluée en \(a\).
2. Méthode d’identification
On met les deux membres au même dénominateur et on identifie les coefficients des polynômes obtenus.
3. Méthode par substitution
On choisit des valeurs particulières de \(X\) pour obtenir un système d’équations simples.
Exercices Résolus : Décomposition en Éléments Simples
Exercice 1 : Pôles simples réels
Énoncé : Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
Solution :
Étape 1 : Calcul de la partie entière. Puisque les degrés sont égaux, effectuons la division :
Donc \(F(X) = 1 + \frac{5X + 3}{X^2 – 3X + 2}\)
Étape 2 : Factorisation du dénominateur :
Étape 3 : Forme de la décomposition :
Étape 4 : Calcul des coefficients. Posons \(P(X) = 5X + 3\) et \(Q(X) = X^2 – 3X + 2\), donc \(Q'(X) = 2X – 3\).
Résultat final :
Exercice 2 : Pôle multiple
Énoncé : Décomposer :
Solution :
Étape 1 : Division euclidienne (car \(\deg(X^3+1) = \deg((X-1)^3)\)) :
Étape 2 : Forme de la décomposition pour le pôle triple :
Étape 3 : Pour trouver \(a\), on multiplie par \((X-1)^3\) et on évalue en \(X=1\) :
Étape 4 : On soustrait \(\frac{2}{(X-1)^3}\) et on simplifie pour trouver \(b\) et \(c\) :
\frac{3X^2 – 3X + 2}{(X-1)^3} – \frac{2}{(X-1)^3} &= \frac{3X^2 – 3X}{(X-1)^3} = \frac{3X(X-1)}{(X-1)^3} = \frac{3X}{(X-1)^2}
\end{align*}
En multipliant par \((X-1)^2\) et évaluant en \(X=1\) : \(b = 3\)
Finalement, \(\frac{3X}{(X-1)^2} – \frac{3}{(X-1)^2} = \frac{3}{X-1}\), donc \(c = 3\).
Résultat final :
Comment Simplifier une Fraction Rationnelle
La simplification d’une fraction rationnelle est une compétence fondamentale nécessitant la maîtrise des techniques de factorisation.
Méthode générale de simplification
- Factoriser complètement le numérateur et le dénominateur
- Identifier les restrictions : déterminer les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur initial)
- Simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur
- Conserver les restrictions dans la réponse finale
Important : Les restrictions doivent toujours être établies avant la simplification, car elles dépendent de la forme originale de la fraction, pas de sa forme simplifiée.
Exemple de simplification avec restrictions
Simplifions :
Solution :
Étape 1 : Factorisation du numérateur (trinôme carré parfait) :
Étape 2 : Factorisation du dénominateur (mise en évidence) :
Étape 3 : Restrictions. Le dénominateur s’annule pour \(X = 0\) et \(X = -5\).
Restrictions : \(X \neq 0\) et \(X \neq -5\)
Étape 4 : Simplification :
Applications Pratiques des Fractions Rationnelles
1. Calcul intégral
La décomposition en éléments simples permet de calculer les primitives de fonctions rationnelles. Chaque élément simple possède une primitive connue :
| Élément simple | Primitive |
|---|---|
| \(\frac{1}{X-a}\) | \(\ln|X-a| + C\) |
| \(\frac{1}{(X-a)^n}\) avec \(n \geq 2\) | \(\frac{-1}{(n-1)(X-a)^{n-1}} + C\) |
| \(\frac{aX+b}{X^2+pX+q}\) | Combinaison de \(\ln\) et \(\arctan\) |
2. Résolution d’équations différentielles
Les fractions rationnelles apparaissent naturellement dans la résolution d’équations différentielles linéaires avec la méthode de la transformée de Laplace.
3. Théorie des systèmes
En automatique et traitement du signal, les fonctions de transfert sont des fractions rationnelles dont les pôles et zéros déterminent le comportement dynamique du système.
Opérations sur les Fractions Rationnelles
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles, on réduit au même dénominateur :
En pratique, il est souvent plus efficace de trouver le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs plutôt que leur simple produit.
Multiplication
La multiplication est directe :
Il est recommandé de simplifier avant d’effectuer le produit en factorisant et en éliminant les facteurs communs entre numérateurs et dénominateurs.
Division
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
Cette opération n’est définie que si \(P_2 \neq 0\).
Composition
On peut composer une fraction rationnelle \(F\) avec un polynôme ou une autre fraction \(G\) pour obtenir \(F \circ G\). Cette opération est utile dans l’étude des transformations algébriques.
Exercices Supplémentaires avec Corrections
Exercice 3 : Décomposition avec polynôme irréductible (sur R)
Énoncé : Décomposer dans \(\mathbb{R}(X)\) :
Solution :
Étape 1 : La fraction est déjà propre (degré du numérateur inférieur au degré du dénominateur), donc la partie entière est nulle.
Étape 2 : Factorisation du dénominateur :
Étape 3 : Forme de la décomposition (trois pôles simples réels) :
Étape 4 : Calcul des coefficients. Posons \(P(X) = X^2 + 1\) et \(Q(X) = X^3 – X\), donc \(Q'(X) = 3X^2 – 1\).
a &= \frac{P(0)}{Q'(0)} = \frac{1}{-1} = -1 \\
b &= \frac{P(1)}{Q'(1)} = \frac{2}{2} = 1 \\
c &= \frac{P(-1)}{Q'(-1)} = \frac{2}{2} = 1
\end{align*}
Résultat final :
Exercice 4 : Fraction avec partie entière non triviale
Énoncé : Décomposer :
Solution :
Étape 1 : Division euclidienne :
X^3 + 2X^2 + 3X + 1 &= (X^2 + X)(X + 1) + 2X + 1
\end{align*}
Donc \(F(X) = X + 1 + \frac{2X + 1}{X^2 + X}\)
Étape 2 : Décomposition de la partie propre. Factorisons : \(X^2 + X = X(X+1)\)
Étape 3 : Calcul des coefficients avec \(P(X) = 2X + 1\) et \(Q(X) = X^2 + X\), donc \(Q'(X) = 2X + 1\) :
a &= \frac{P(0)}{Q'(0)} = \frac{1}{1} = 1 \\
b &= \frac{P(-1)}{Q'(-1)} = \frac{-1}{-1} = 1
\end{align*}
Résultat final :
Propriétés Avancées des Fractions Rationnelles
Dérivée d’une fraction rationnelle
La dérivée d’une fraction rationnelle est elle-même une fraction rationnelle. On applique la règle du quotient :
Cette propriété est utile notamment pour l’étude des variations de fonctions rationnelles et pour calculer certains coefficients de décomposition.
Limite et comportement asymptotique
Le comportement d’une fraction rationnelle à l’infini est déterminé par sa partie entière. Si \(F = E + \frac{R}{Q}\) avec \(\deg(R) < \deg(Q)\), alors :
Au voisinage d’un pôle \(a\) d’ordre \(m\), la fraction admet un développement limité dont le terme principal est de la forme \(\frac{\lambda}{(X-a)^m}\).
Fractions rationnelles paires et impaires
Une fraction rationnelle \(F\) est dite :
- Paire si \(F(-X) = F(X)\) pour tout \(X\)
- Impaire si \(F(-X) = -F(X)\) pour tout \(X\)
Ces propriétés de symétrie simplifient souvent les calculs de décomposition.
Lien avec d’Autres Domaines Mathématiques
Analyse complexe
En analyse complexe, les fractions rationnelles sont les fonctions méromorphes les plus simples. Le théorème des résidus permet de calculer des intégrales complexes en utilisant les pôles et leurs résidus (coefficients devant \(\frac{1}{X-a}\) dans la décomposition).
Algèbre linéaire
La décomposition en éléments simples est liée à la réduction de Jordan des matrices. Les pôles correspondent aux valeurs propres, et leur multiplicité à la structure des blocs de Jordan.
Théorie des nombres
Les fractions continues, qui généralisent les fractions rationnelles, sont utilisées pour approximer les nombres réels et résoudre certaines équations diophantiennes.
Méthodes de Factorisation Essentielles
La maîtrise des techniques de factorisation est indispensable pour travailler efficacement avec les fractions rationnelles.
Rappels des identités remarquables
| Identité | Factorisation |
|---|---|
| \(a^2 – b^2\) | \((a-b)(a+b)\) |
| \(a^2 + 2ab + b^2\) | \((a+b)^2\) |
| \(a^2 – 2ab + b^2\) | \((a-b)^2\) |
| \(a^3 – b^3\) | \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) |
| \(a^3 + b^3\) | \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) |
Méthode de Horner pour la factorisation
Lorsqu’on connaît une racine \(r\) d’un polynôme \(P\), on peut factoriser par \((X-r)\) en utilisant la division synthétique de Horner, qui est plus rapide que la division euclidienne classique.
Critère de factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\)
Un polynôme du second degré \(aX^2 + bX + c\) est irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\) si et seulement si son discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) est strictement négatif.
Conclusion
Les fractions rationnelles constituent un pilier fondamental de l’algèbre et de l’analyse mathématique. Leur étude combine habilement la théorie des polynômes, les techniques de factorisation et les concepts d’analyse, offrant ainsi un terrain riche pour développer le raisonnement mathématique.
Nous avons exploré les principaux aspects des fractions rationnelles : leur définition formelle et leur structure de corps, les concepts essentiels de pôles et racines, les méthodes de simplification, et surtout la technique puissante de décomposition en éléments simples. Cette dernière trouve des applications concrètes dans de nombreux domaines, du calcul intégral à la théorie des systèmes dynamiques.
La maîtrise des fractions rationnelles nécessite une pratique régulière et une attention particulière aux détails techniques. Les erreurs courantes, comme l’oubli des restrictions ou les confusions entre pôles et racines, peuvent être évitées par une méthode rigoureuse et systématique.
Pour progresser, il est recommandé de :
- Pratiquer régulièrement les exercices de décomposition en éléments simples
- Vérifier systématiquement ses résultats en remettant au même dénominateur
- Comprendre la théorie sous-jacente plutôt que d’apprendre mécaniquement les procédures
- Explorer les liens avec d’autres domaines mathématiques pour une compréhension globale
Les fractions rationnelles ouvrent la porte à des concepts plus avancés en mathématiques supérieures et constituent un excellent exemple de la puissance de l’abstraction algébrique appliquée à des problèmes concrets.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu’est-ce qu’une fraction rationnelle ?
Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes, s’écrivant sous la forme \(\frac{P(X)}{Q(X)}\) où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes et \(Q\) est non nul. Elle généralise la notion de fraction usuelle au contexte des polynômes et forme un corps noté \(\mathbb{K}(X)\).
Comment décomposer une fraction rationnelle en éléments simples ?
La décomposition en éléments simples suit plusieurs étapes : d’abord, extraire la partie entière par division euclidienne si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur. Ensuite, factoriser complètement le dénominateur pour identifier les pôles et leurs multiplicités. Enfin, exprimer la fraction comme somme d’éléments simples et calculer les coefficients par identification ou par la formule des résidus pour les pôles simples.
Quelle est la différence entre un pôle et une racine ?
Un pôle est une valeur qui annule le dénominateur de la fraction rationnelle (écrite sous forme irréductible), tandis qu’une racine est une valeur qui annule le numérateur. Les pôles correspondent aux points où la fonction rationnelle associée n’est pas définie, alors que les racines sont les zéros de cette fonction. Dans la forme irréductible, un nombre ne peut être simultanément pôle et racine.
Comment simplifier une fraction rationnelle ?
Pour simplifier une fraction rationnelle, il faut d’abord factoriser complètement le numérateur et le dénominateur, puis identifier et éliminer les facteurs communs. Il est crucial de noter les restrictions (valeurs qui annulent le dénominateur initial) avant la simplification, car ces restrictions restent valables même après simplification. La forme finale est la forme irréductible où numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.
À quoi servent les fractions rationnelles ?
Les fractions rationnelles ont de nombreuses applications pratiques : en calcul intégral pour déterminer les primitives de fonctions complexes grâce à la décomposition en éléments simples, en automatique et traitement du signal où elles représentent les fonctions de transfert des systèmes linéaires, en résolution d’équations différentielles via la transformée de Laplace, et en analyse complexe dans l’étude des fonctions méromorphes et le calcul de résidus.