Fractions 5ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les fractions en 5ème consolident l’interprétation d’un quotient, les fractions égales, la simplification et la comparaison. Le cours sur les fractions en 5ème présente les méthodes mobilisées.

Les additions et soustractions de fractions sont volontairement laissées à une série distincte. Ici, la progression s’inscrit dans le parcours de mathématiques de 5ème.

Table des Matières

Interpréter une fraction comme quotient

La fraction $\frac{a}{b}$ avec $b\neq0$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ .

Exercice 1 : Passer d’une écriture à l’autre

Facile

Écrire sous forme de quotient ou de fraction : $\frac{7}{4}$ , $13\div5$ , $\frac{21}{3}$ , $0{,}8\div2$ .

Transformer les deux fractions en quotients.
Transformer les deux quotients en fractions.
Calculer seulement les quotients décimaux exacts.

Indication

Une barre de fraction joue le rôle du signe de division.

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$\frac{7}{4}=7\div4$ et $\frac{21}{3}=21\div3$ . Inversement, $13\div5=\frac{13}{5}$ et $0{,}8\div2=\frac{0{,}8}{2}$ . Les quotients exacts demandés sont $\frac{21}{3}=7$ et $\frac{0{,}8}{2}=0{,}4$ .

Exercice 2 : Fractions et partage

Facile

Cinq personnes se partagent équitablement $12$ litres de jus.

Écrire la quantité reçue par une personne sous forme de fraction.
Donner son écriture décimale.
Expliquer pourquoi $5\times\frac{12}{5}=12$ .
Donner la part de trois personnes.

Indication

Un partage équitable se traduit par quantité totale divisée par nombre de personnes.

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Une personne reçoit $\frac{12}{5}$ L, soit $2{,}4$ L. Cinq parts identiques reconstituent la quantité totale : $5\times\frac{12}{5}=12$ . Trois personnes reçoivent $3\times\frac{12}{5}=\frac{36}{5}=7{,}2$ L.

Produire et reconnaître des fractions égales

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul conserve le quotient.

Exercice 3 : Compléter des égalités

Facile

Compléter : $\frac{3}{5}=\frac{\square}{20}$ , $\frac{7}{9}=\frac{35}{\square}$ , $\frac{18}{24}=\frac{3}{\square}$ .

Compléter la première égalité.
Compléter la deuxième.
Compléter la troisième.
Indiquer le facteur utilisé à chaque fois.
Vérifier une égalité par produits en croix.

Indication

Le même multiplicateur ou diviseur doit être appliqué en haut et en bas.

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$\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$ , facteur $4$ .
$\frac{7}{9}=\frac{35}{45}$ , facteur $5$ .
$\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ , division par $6$ .
Les facteurs sont donc $4,5$ et $6$ en simplification.
Par exemple, $3\times20=60$ et $5\times12=60$ , donc la première égalité est vérifiée.

Exercice 4 : Repérer les égalités véritables

Moyen

Décider si $\frac{4}{6}=\frac{10}{15}$ , $\frac{7}{12}=\frac{21}{38}$ , $\frac{9}{14}=\frac{27}{42}$ et $\frac{5}{8}=\frac{20}{30}$ .

Étudier les deux premières égalités.
Étudier les deux dernières.

Indication

Comparez les produits en croix sans convertir en nombres décimaux.

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$\frac{4}{6}=\frac{10}{15}$ , car $4\times15=60=6\times10$ . $\frac{7}{12}\ne\frac{21}{38}$ , car $7\times38=266$ alors que $12\times21=252$ . $\frac{9}{14}=\frac{27}{42}$ , facteur $3$ . Enfin $\frac{5}{8}\ne\frac{20}{30}$ , car $150\ne160$ .

Exercice 5 : Réparer une amplification

Moyen

Emma écrit $\frac{5}{7}=\frac{15}{14}$ , car elle a multiplié le numérateur par $3$ et le dénominateur par $2$ .

Expliquer l’erreur et proposer deux fractions réellement égales à $\frac{5}{7}$ .

Indication

Une fraction conserve sa valeur uniquement si les deux termes subissent la même opération.

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Emma utilise deux facteurs différents, donc le quotient change. En multipliant les deux termes par $2$ , on obtient $\frac{10}{14}$ . En les multipliant par $3$ , on obtient $\frac{15}{21}$ . Ces deux fractions sont égales à $\frac{5}{7}$ .

Simplifier jusqu’à une fraction irréductible

Une fraction irréductible n’a plus de diviseur commun au numérateur et au dénominateur autre que 1.

Exercice 6 : Simplifications immédiates

Facile

Simplifier $\frac{18}{24}$ , $\frac{35}{50}$ , $\frac{42}{63}$ et $\frac{45}{12}$ .

Simplifier les deux premières fractions.
Simplifier les deux dernières.
Justifier que chaque résultat est irréductible.

Indication

Divisez par un diviseur commun aussi grand que possible, ou procédez en plusieurs étapes contrôlées.

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$\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ après division par $6$ . $\frac{35}{50}=\frac{7}{10}$ après division par $5$ . $\frac{42}{63}=\frac{2}{3}$ après division par $21$ . Enfin $\frac{45}{12}=\frac{15}{4}$ après division par $3$ . Dans chaque résultat, le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun supérieur à $1$ .

Exercice 7 : Deux chemins de simplification

Moyen

On veut simplifier $\frac{84}{126}$ . Léa divise directement par $42$ . Sami divise d’abord par $2$ , puis par $3$ , puis par $7$ .

Effectuer la méthode de Léa.
Effectuer celle de Sami.
Comparer les résultats et les étapes.
Expliquer pourquoi les deux méthodes sont valides.

Indication

Le produit des diviseurs successifs de Sami vaut $42$ .

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Léa obtient directement $\frac{84\div42}{126\div42}=\frac{2}{3}$ . Sami obtient $\frac{42}{63}$ , puis $\frac{14}{21}$ , puis $\frac{2}{3}$ . Les deux chemins aboutissent au même résultat irréductible, car diviser successivement par $2$ , $3$ et $7$ revient à diviser par $2\times3\times7=42$ .

Exercice 8 : Retrouver la fraction initiale

Difficile

Une fraction a été simplifiée par $8$ et a donné $\frac{7}{11}$ .

Retrouver la fraction avant cette simplification.
Donner une autre fraction qui se simplifie en $\frac{7}{11}$ , mais pas par $8$ .

Indication

Pour remonter une simplification, multipliez les deux termes par le facteur annoncé.

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La fraction initiale est $\frac{7\times8}{11\times8}=\frac{56}{88}$ . Une autre réponse possible est $\frac{21}{33}$ , obtenue en multipliant les deux termes par $3$ . Elle se simplifie par $3$ , et non par $8$ .

Comparer et raisonner avec des fractions

On choisit la méthode adaptée : même dénominateur, même numérateur, comparaison à 1 ou dénominateur commun.

Exercice 9 : Choisir une méthode de comparaison

Moyen

Comparer $\frac{5}{9}$ et $\frac{7}{9}$ , $\frac{4}{7}$ et $\frac{4}{5}$ , $\frac{11}{8}$ et $1$ , puis $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$ .

Comparer les deux premières paires.
Comparer $\frac{11}{8}$ à $1$ .
Comparer la dernière paire avec un dénominateur commun.
Nommer la méthode utilisée dans chaque cas.

Indication

Ne réduisez au même dénominateur que lorsque les comparaisons immédiates ne suffisent pas.

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$\frac{5}{9}\lt \frac{7}{9}$ : même dénominateur. $\frac{4}{7}\lt \frac{4}{5}$ : à numérateur égal, la plus grande part correspond au plus petit dénominateur. $\frac{11}{8}\gt 1$ , car $11\gt 8$ . Enfin $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$ et $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$ , donc $\frac{3}{4}\lt \frac{5}{6}$ .

Exercice 10 : Ranger cinq fractions

Difficile

Ranger $\frac{2}{3}$ , $\frac{7}{12}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{3}{4}$ et $\frac{1}{2}$ par ordre croissant.

Choisir un dénominateur commun pertinent.
Transformer les cinq fractions.
Donner le rangement.

Indication

Le nombre $12$ est un multiple commun de $2$ , $3$ , $4$ , $6$ et $12$ .

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Avec le dénominateur $12$ , on obtient $\frac{8}{12}$ , $\frac{7}{12}$ , $\frac{10}{12}$ , $\frac{9}{12}$ et $\frac{6}{12}$ . Ainsi $\frac{1}{2}\lt \frac{7}{12}\lt \frac{2}{3}\lt \frac{3}{4}\lt \frac{5}{6}$ . Le dénominateur commun transforme la comparaison en comparaison des numérateurs.

Exercice 11 : Une recette à comparer

Difficile

Dans la recette A, le cacao représente $\frac{3}{8}$ de la masse. Dans la recette B, il représente $\frac{5}{12}$ .

Déterminer quelle recette est la plus riche en cacao.
Calculer l’écart sous forme d’une fraction simplifiée.
Expliquer pourquoi comparer seulement $3$ et $5$ serait incorrect.
Proposer une troisième fraction située entre les deux proportions.
Vérifier cette proposition.

Indication

Utilisez le dénominateur commun $24$ , puis cherchez une fraction intermédiaire.

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$\frac{3}{8}=\frac{9}{24}$ et $\frac{5}{12}=\frac{10}{24}$ : la recette B est plus riche. L’écart vaut $\frac{1}{24}$ . Comparer seulement les numérateurs ignore la taille des parts fixée par les dénominateurs. Une proportion intermédiaire est par exemple $\frac{19}{48}$ , car $\frac{3}{8}=\frac{18}{48}\lt \frac{19}{48}\lt \frac{20}{48}=\frac{5}{12}$ .