Imagine que tu verses de l’eau sur deux courbes différentes : sur la première, l’eau s’écoule ; sur la seconde, elle reste au creux. Cette image résume l’essentiel des fonctions convexes et concaves. En mathématiques, étudier la convexité d’une fonction, c’est comprendre la forme de sa courbe – pas seulement si elle monte ou descend, mais comment elle monte ou descend : en accélérant ou en ralentissant ?
Ce chapitre, au programme de la Terminale spécialité mathématiques, prolonge naturellement l’étude des variations. Il introduit la dérivée seconde, le concept de point d’inflexion, et des inégalités puissantes (comme \( e^x \geq 1 + x \)) qui reviennent régulièrement au bac et en classes préparatoires.
Dans ce cours, tu trouveras les définitions rigoureuses, une intuition géométrique claire, les critères de la dérivée seconde, des démonstrations détaillées et des exercices corrigés pas à pas. Tout ce qu’il faut pour maîtriser ce chapitre.
Définitions : fonction convexe et fonction concave
Avant d’utiliser la dérivée seconde, il faut disposer d’une définition géométrique précise. Tout repose sur la comparaison entre la courbe et les cordes (segments reliant deux points de la courbe).
Définition : Fonction convexe
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) est convexe sur \( I \) si, pour tous points \( A \) et \( B \) distincts de la courbe représentative \( \mathscr{C}_f \), le segment \( [AB] \) est situé au-dessus (ou sur) la courbe entre \( A \) et \( B \).
Formellement, pour tous \( a, b \in I \) et tout \( t \in [0, 1] \) :
f\bigl(ta + (1-t)b\bigr) \leq t\,f(a) + (1-t)\,f(b)
\]
Définition : Fonction concave
On dit que \( f \) est concave sur \( I \) si \( -f \) est convexe sur \( I \), c’est-à-dire si, pour tous points \( A \) et \( B \) de \( \mathscr{C}_f \), le segment \( [AB] \) est situé en dessous (ou sur) la courbe entre \( A \) et \( B \).
f\bigl(ta + (1-t)b\bigr) \geq t\,f(a) + (1-t)\,f(b)
\]
Remarque fondamentale. Une fonction affine (\( f(x) = ax + b \)) est à la fois convexe et concave : la corde coïncide exactement avec la courbe.
Intuition géométrique et interprétation graphique
L’image du bol et du dôme
Voici l’image la plus utile pour ne jamais confondre les deux :
- Une courbe convexe ressemble à un bol ou à la lettre ∪. Si tu verses de l’eau dessus, elle s’accumule dans le creux. La courbe « creuse » vers le bas.
- Une courbe concave ressemble à un dôme ou à la lettre ∩. L’eau coule sur les côtés. La courbe « bombe » vers le haut.
Astuce mnémotechnique : le mot concave contient le mot cave → pense à la voûte d’une grotte → forme en ∩. À l’inverse, convexe → creux, bol, ∪.
Lien avec les tangentes
Lorsque \( f \) est dérivable sur \( I \), la convexité se traduit directement par la position de la courbe par rapport à ses tangentes :
Soit \( f \) dérivable sur \( I \). Alors :
- \( f \) est convexe sur \( I \) \( \iff \) \( \mathscr{C}_f \) est au-dessus de chacune de ses tangentes sur \( I \).
- \( f \) est concave sur \( I \) \( \iff \) \( \mathscr{C}_f \) est en dessous de chacune de ses tangentes sur \( I \).
En d’autres termes : pour une fonction convexe, la tangente en tout point \( a \) donne une valeur inférieure ou égale à la valeur réelle de \( f \) :
\forall x \in I,\quad f(x) \geq f(a) + f'(a)(x – a)
\]
C’est précisément cette inégalité qui permet de démontrer \( e^x \geq 1 + x \) pour tout réel \( x \) (en appliquant la convexité de l’exponentielle au point \( a = 0 \)).
Lien avec les variations de \( f’ \)
Il existe un troisième éclairage, très opérationnel : la convexité décrit l’évolution du taux de variation instantané.
- Si \( f \) est convexe, sa pente \( f'(x) \) est croissante : la fonction accélère (ou ralentit de moins en moins).
- Si \( f \) est concave, sa pente \( f'(x) \) est décroissante : la fonction ralentit (ou accélère de moins en moins).
Exemple concret : Une voiture qui accélère a une vitesse croissante → son déplacement est une fonction convexe du temps. Une voiture qui freine a une vitesse décroissante → son déplacement devient concave.
La dérivée seconde : outil clé pour étudier la convexité
Définition de la dérivée seconde
Soit \( f \) dérivable sur \( I \), de dérivée \( f’ \) elle-même dérivable sur \( I \). On appelle dérivée seconde de \( f \) la dérivée de \( f’ \), notée \( f^{\prime\prime} \) (ou \( \dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} \)).
Exemples de calcul :
- \( f(x) = x^3 \) : \( f'(x) = 3x^2 \), donc \( f^{\prime\prime}(x) = 6x \).
- \( f(x) = e^x \) : \( f'(x) = e^x \), donc \( f^{\prime\prime}(x) = e^x \).
- \( f(x) = \ln x \) (sur \( ]0;+\infty[ \)) : \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \), donc \( f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^2} \).
Critère de la dérivée seconde pour les fonctions convexes et concaves
Théorème : Caractérisation par la dérivée seconde
Soit \( f \) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \( I \). Alors :
- \( f \) est convexe sur \( I \) \( \iff \) \( f^{\prime\prime}(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in I \).
- \( f \) est concave sur \( I \) \( \iff \) \( f^{\prime\prime}(x) \leq 0 \) pour tout \( x \in I \).
Pourquoi est-ce logique ? La convexité équivaut à ce que \( f’ \) soit croissante sur \( I \). Or une fonction est croissante exactement quand sa dérivée est positive. La dérivée de \( f’ \) étant \( f^{\prime\prime} \), on obtient bien \( f^{\prime\prime} \geq 0 \).
Tableau de synthèse : fonctions usuelles
| Fonction | Intervalle | \( f^{\prime\prime}(x) \) | Convexité |
|---|---|---|---|
| \( x^2 \) | \( \mathbb{R} \) | \( 2 > 0 \) | Convexe |
| \( x^3 \) | \( ]-\infty\,; 0] \) | \( 6x \leq 0 \) | Concave |
| \( x^3 \) | \( [0\,; +\infty[ \) | \( 6x \geq 0 \) | Convexe |
| \( e^x \) | \( \mathbb{R} \) | \( e^x > 0 \) | Convexe |
| \( \ln x \) | \( ]0\,; +\infty[ \) | \( -\dfrac{1}{x^2} < 0 \) | Concave |
| \( \sqrt{x} \) | \( ]0\,; +\infty[ \) | \( -\dfrac{1}{4}x^{-3/2} < 0 \) | Concave |
| \( \sin x \) | \( [0\,; \pi] \) | \( -\sin x \leq 0 \) | Concave |
Le point d’inflexion : quand la courbe change de forme
Définition : Point d’inflexion
Un point \( I_0 = (x_0,\, f(x_0)) \) de la courbe \( \mathscr{C}_f \) est un point d’inflexion si \( f \) change de convexité en \( x_0 \) : la fonction passe de convexe à concave (ou de concave à convexe) en traversant \( x_0 \).
Propriété Condition nécessaire
Si \( f \) est deux fois dérivable et si \( x_0 \) est un point d’inflexion, alors \( f^{\prime\prime}(x_0) = 0 \).
Attention : réciproque fausse ! Si \( f^{\prime\prime}(x_0) = 0 \), il n’y a pas forcément de point d’inflexion en \( x_0 \). Il faut vérifier que \( f^{\prime\prime} \) change de signe en \( x_0 \).
Contre-exemple : Pour \( f(x) = x^4 \), on a \( f^{\prime\prime}(x) = 12x^2 \), donc \( f^{\prime\prime}(0) = 0 \). Pourtant, \( f^{\prime\prime} \geq 0 \) partout : la fonction reste convexe. Il n’y a pas de point d’inflexion en \( 0 \).
Propriété géométrique remarquable
En un point d’inflexion, la tangente à la courbe traverse la courbe : elle passe de « en dessous » à « au-dessus » (ou inversement). C’est une façon de repérer visuellement les points d’inflexion sur un graphique.
Démonstration : la courbe convexe est au-dessus de ses tangentes
Voici la démonstration du résultat clé utilisé pour établir des inégalités classiques. Elle illustre la puissance de la convexité.
Théorème à démontrer
Soit \( f \) deux fois dérivable sur \( I \), avec \( f^{\prime\prime}(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in I \) (donc \( f \) convexe). Alors pour tout \( a \in I \) :
\forall x \in I,\quad f(x) \geq f(a) + f'(a)(x – a)
\]
Démonstration (développée pas à pas)
Étape 1 : Poser la fonction auxiliaire.
Fixons \( a \in I \) et posons, pour tout \( x \in I \) :
g(x) = f(x) – f(a) – f'(a)(x – a)
\]
Montrer que \( g(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in I \) est équivalent à la propriété voulue.
Étape 2 : Calculer \( g’ \) et \( g^{\prime\prime} \).
g'(x) = f'(x) – f'(a)
\]
g^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x) \geq 0
\]
Étape 3 : Étudier le signe de \( g’ \).
Puisque \( g^{\prime\prime} \geq 0 \), la fonction \( g’ \) est croissante sur \( I \). De plus, \( g'(a) = f'(a) – f'(a) = 0 \). Donc :
- Pour \( x \geq a \) : \( g'(x) \geq g'(a) = 0 \), so \( g \) est croissante sur \( [a, +\infty[ \cap I \).
- Pour \( x \leq a \) : \( g'(x) \leq g'(a) = 0 \), so \( g \) est décroissante sur \( ]-\infty, a] \cap I \).
Étape 4 : Conclure.
Dans les deux cas, \( g \) admet un minimum global en \( x = a \), et \( g(a) = f(a) – f(a) – 0 = 0 \). Donc :
\forall x \in I,\quad g(x) \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a) \quad
\]
Application immédiate : l’inégalité \( e^x \geq 1 + x \)
L’exponentielle vérifie \( (e^x)^{\prime\prime} = e^x > 0 \), donc elle est convexe sur \( \mathbb{R} \). En appliquant le théorème en \( a = 0 \) :
\forall x \in \mathbb{R},\quad e^x \geq e^0 + e^0 \cdot (x – 0) = 1 + x
\]
Méthode complète pour étudier la convexité d’une fonction
Voici la procédure à suivre systématiquement :
- Calculer \( f'(x) \) (dérivée première).
- Calculer \( f^{\prime\prime}(x) \) (dérivée seconde = dérivée de \( f’ \)).
- Dresser le tableau de signe de \( f^{\prime\prime}(x) \) sur l’intervalle d’étude.
- Conclure :
- Là où \( f^{\prime\prime} > 0 \) : \( f \) est convexe.
- Là où \( f^{\prime\prime} < 0 \) : \( f \) est concave.
- Là où \( f^{\prime\prime} \) change de signe : point d’inflexion.
- Calculer les coordonnées des points d’inflexion : \( (x_0,\, f(x_0)) \).
Conclusion
Les fonctions convexes et concaves enrichissent considérablement l’étude des fonctions. Là où le tableau de variations dit « la fonction monte ou descend », la convexité dit « elle accélère ou ralentit ». Ce niveau de précision supplémentaire est indispensable pour :
- comprendre la forme géométrique d’une courbe (bol ou dôme, tangentes en dessous ou au-dessus) ;
- détecter les points d’inflexion, là où la courbe change de forme ;
- démontrer des inégalités classiques comme \( e^x \geq 1 + x \) ou \( \ln x \leq x – 1 \) ;
- poser les bases de l’optimisation en mathématiques appliquées et en intelligence artificielle.
Pour maîtriser ce chapitre, la démarche est toujours la même : calculer \( f^{\prime\prime} \), dresser son tableau de signes, et conclure sur la convexité et les éventuels points d’inflexion. Pratique-la régulièrement sur des fonctions variées — polynômes, exponentielles, logarithmes — et les automatismes viendront naturellement.