Réaliser une étude de fonction est l’une des tâches centrales des mathématiques au lycée et en première année d’université. Loin d’être une simple liste de calculs à exécuter mécaniquement, l’étude de fonction est une enquête mathématique : on cherche à comprendre le comportement d’une fonction, à décrire sa courbe représentative, à localiser ses extremums et à anticiper son allure globale. Cette page vous guide à travers chaque étape de la méthode, avec des explications pédagogiques, des définitions rigoureuses et une intuition géométrique claire.
Qu’est-ce qu’une étude de fonction ?
Une étude de fonction désigne l’ensemble des procédures analytiques permettant de décrire complètement le comportement d’une fonction réelle \( f \). Elle aboutit à deux résultats essentiels : le tableau de variations, qui résume les intervalles de croissance et de décroissance, et la courbe représentative, qui visualise l’ensemble des informations recueillies.
Contrairement à ce que l’on pourrait croire, l’ordre des étapes n’est pas arbitraire : chaque étape prépare et éclaire la suivante. Déterminer le domaine de définition conditionne le calcul des limites ; les limites révèlent les asymptotes ; la dérivée dévoile les variations ; et les variations donnent les extremums. C’est un enchaînement logique, pas un simple catalogue de formules.
Définition – Fonction réelle d’une variable réelle
Une fonction réelle \( f \) est une application qui associe à tout réel \( x \) appartenant à son domaine de définition \( D_f \subset \mathbb{R} \) un unique réel \( f(x) \). On note :
f : D_f \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto f(x)
\]
La courbe représentative de \( f \) dans un repère orthogonal est l’ensemble des points \( M(x,\, f(x)) \) pour tout \( x \in D_f \).
Les étapes d’une étude de fonction complète
Une étude de fonction complète suit un plan structuré. Voici les grandes étapes, que nous détaillons chacune dans les sections suivantes.
- Détermination du domaine de définition \( D_f \)
- Étude de la parité, imparité ou périodicité éventuelle
- Calcul des limites aux bornes et recherche des asymptotes
- Calcul de la fonction dérivée \( f’ \)
- Étude du signe de \( f’ \) et détermination du sens de variation
- Construction du tableau de variations
- Calcul des extremums locaux
- Tracé de la courbe représentative
Étape 1 : Déterminer le domaine de définition
Le domaine de définition \( D_f \) est l’ensemble de tous les réels \( x \) pour lesquels l’expression de \( f(x) \) est définie, c’est-à-dire pour lesquels le calcul a un sens. C’est la première étape, et elle est non négociable : toute la suite de l’étude de fonction est restreinte à \( D_f \).
Règles de détermination du domaine de définition
- Fraction : le dénominateur ne doit pas s’annuler. Si \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \), alors \( D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid h(x) \neq 0 \} \).
- Racine carrée : l’expression sous le radical doit être positive ou nulle. Si \( f(x) = \sqrt{g(x)} \), alors \( D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \geq 0 \} \).
- Logarithme : l’argument doit être strictement positif. Si \( f(x) = \ln(g(x)) \), alors \( D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0 \} \).
- Fonction exponentielle, polynôme : \( D_f = \mathbb{R} \) dans la plupart des cas usuels.
Exemple
Soit \( f(x) = \dfrac{\ln(x+1)}{\sqrt{x-2}} \). Pour déterminer \( D_f \), on impose simultanément :
- \( x + 1 > 0 \), soit \( x > -1 \)
- \( x – 2 > 0 \) (strict, car au dénominateur), soit \( x > 2 \)
L’intersection de ces deux conditions donne :
D_f = \,]2,\, +\infty[
\]
Parité et imparité : un gain de temps précieux
Avant de se lancer dans les calculs de limites et de dérivée, il vaut la peine de vérifier si la fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
- \( f \) est paire si \( D_f \) est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout \( x \in D_f \), \( f(-x) = f(x) \). La courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- \( f \) est impaire si \( D_f \) est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout \( x \in D_f \), \( f(-x) = -f(x) \). La courbe est alors symétrique par rapport à l’origine \( O \).
Si la fonction est paire ou impaire, il suffit d’étudier \( f \) sur \( [0, +\infty[ \) puis de déduire le reste par symétrie. Cela réduit considérablement la quantité de travail.
Étape 2 : Limites aux bornes et asymptotes
Les limites aux bornes du domaine de définition décrivent le comportement de la fonction « aux extrémités » de son domaine : que se passe-t-il quand \( x \) tend vers \( +\infty \), vers \( -\infty \), ou vers une valeur interdite ? Ces limites permettent de repérer les asymptotes de la courbe représentative.
Intuition géométrique
Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment sans nécessairement la toucher. Visuellement, elle guide le tracé de la courbe « à grande distance ». Comprendre les asymptotes avant de dessiner la courbe, c’est poser le cadre dans lequel la courbe va évoluer.
Les trois types d’asymptotes
Asymptote verticale
La droite \( x = a \) est une asymptote verticale à la courbe de \( f \) si \( \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \).
\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty
\]
Asymptote horizontale
La droite \( y = \ell \) est une asymptote horizontale en \( \pm\infty \) si :
\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell
\]
Asymptote oblique
La droite \( y = mx + p \) est une asymptote oblique si :
\lim_{x \to \pm\infty} \bigl[ f(x) – (mx + p) \bigr] = 0
\]
Pour la trouver, on calcule d’abord \( m = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} \), puis \( p = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \bigl[f(x) – mx\bigr] \).
Exemple : Asymptote oblique
Soit \( f(x) = \dfrac{x^2 + 2x – 1}{x – 1} \). On cherche une éventuelle asymptote oblique en \( +\infty \).
On effectue la division euclidienne de \( x^2 + 2x – 1 \) par \( x – 1 \) :
f(x) = x + 3 + \frac{2}{x-1}
\]
Puisque \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x-1} = 0 \), la droite \( y = x + 3 \) est une asymptote oblique en \( +\infty \) et en \( -\infty \).
Étude de fonction : dérivée et sens de variation
La fonction dérivée \( f’ \) est l’outil central de l’étude de fonction. Son signe sur un intervalle détermine directement si la fonction est croissante ou décroissante sur cet intervalle. C’est le lien fondamental entre l’algèbre (le calcul de \( f’ \)) et la géométrie (la forme de la courbe).
Théorème : Lien entre signe de la dérivée et sens de variation
Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \).
- Si \( f'(x) > 0 \) pour tout \( x \in I \), alors \( f \) est strictement croissante sur \( I \).
- Si \( f'(x) < 0 \) pour tout \( x \in I \), alors \( f \) est strictement décroissante sur \( I \).
- Si \( f'(x) = 0 \) pour tout \( x \in I \), alors \( f \) est constante sur \( I \).
Intuition géométrique
La dérivée \( f'(x_0) \) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \( x_0 \). Une tangente qui « monte de gauche à droite » (pente positive) correspond à une fonction croissante. Une tangente qui « descend » (pente négative) correspond à une décroissance. La dérivée, c’est la pente instantanée de la courbe.
Formules de dérivation usuelles
| Fonction \( f(x) \) | Dérivée \( f'(x) \) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| \( x^n \) (\( n \in \mathbb{Z} \)) | \( n\,x^{n-1} \) | \( \mathbb{R} \) (ou \( \mathbb{R}^* \) si \( n < 0 \)) |
| \( \sqrt{x} \) | \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) | \( ]0, +\infty[ \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \ln x \) | \( \dfrac{1}{x} \) | \( ]0, +\infty[ \) |
| \( \sin x \) | \( \cos x \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( u \cdot v \) | \( u’v + uv’ \) | domaine commun |
| \( \dfrac{u}{v} \) | \( \dfrac{u’v – uv’}{v^2} \) | domaine commun avec \( v \neq 0 \) |
| \( u \circ v \) (composée) | \( v’ \cdot (u’ \circ v) \) | domaine commun |
Comment dresser le tableau de variations
Le tableau de variations synthétise en quelques lignes toute l’information sur le comportement de la fonction : il indique, pour chaque intervalle, si \( f \) monte ou descend, et les valeurs particulières aux bornes et aux extremums. C’est le cœur du compte-rendu d’une étude de fonction.
Structure du tableau
Un tableau de variations comporte trois lignes :
- Ligne \( x \) : les bornes du domaine de définition et les valeurs critiques (où \( f'(x) = 0 \) ou \( f’ \) n’existe pas), rangées dans l’ordre croissant.
- Ligne \( f'(x) \) : le signe de la dérivée sur chaque intervalle, avec un \( 0 \) sous les valeurs critiques (ou une double barre \( \| \) aux valeurs exclues du domaine).
- Ligne \( f(x) \) : les flèches de variation (↗ si \( f’ > 0 \), ↘ si \( f’ < 0 \)) avec les valeurs de \( f \) aux extremums, aux limites et aux bornes.
Exemple complet f(x) = x³ – 3x + 1
Considérons la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \).
1. Domaine de définition
\( f \) est un polynôme, donc \( D_f = \mathbb{R} \).
2. Limites aux bornes
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
\]
Pas d’asymptote (comportement polynômial classique).
3. Calcul de la dérivée
f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x-1)(x+1)
\]
4. Étude du signe de \( f’ \)
\( f'(x) = 0 \) pour \( x = -1 \) et \( x = 1 \). Puisque le coefficient de \( x^2 \) est positif, la parabole \( f'(x) = 3(x^2 – 1) \) est négative entre ses racines :
- \( f'(x) > 0 \) sur \( ]-\infty, -1[ \) et sur \( ]1, +\infty[ \)
- \( f'(x) < 0 \) sur \( ]-1, 1[ \)
5. Valeurs aux points critiques
f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3
\]
\[
f(1) = 1 – 3 + 1 = -1
\]
6. Tableau de variations
| \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | ||
| \( f(x) \) | \( -\infty \) | ↗ | \( 3 \) | ↘ | \( -1 \) | ↗ | \( +\infty \) |
On lit directement : \( f \) admet un maximum local de valeur \( 3 \) en \( x = -1 \) et un minimum local de valeur \( -1 \) en \( x = 1 \).
Extremums locaux : maxima et minima
Soit \( x_0 \in D_f \). On dit que \( f(x_0) \) est un maximum local de \( f \) s’il existe un intervalle ouvert \( I \) contenant \( x_0 \) tel que, pour tout \( x \in I \cap D_f \), \( f(x) \leq f(x_0) \). La définition est analogue pour un minimum local.
Condition nécessaire d’extremum (condition de Fermat)
Si \( f \) est dérivable en \( x_0 \) et si \( f(x_0) \) est un extremum local, alors nécessairement :
f'(x_0) = 0
\]
Attention : la réciproque est fausse. Le fait que \( f'(x_0) = 0 \) ne garantit pas l’existence d’un extremum en \( x_0 \). Il faut vérifier que \( f’ \) change de signe en \( x_0 \).
Critère pratique du changement de signe
- Si \( f’ \) passe de \( + \) à \( – \) en \( x_0 \) : maximum local en \( x_0 \).
- Si \( f’ \) passe de \( – \) à \( + \) en \( x_0 \) : minimum local en \( x_0 \).
- Si \( f’ \) ne change pas de signe en \( x_0 \) (par exemple \( f'(x) = x^3 \) en \( x_0 = 0 \)) : pas d’extremum, mais un point d’inflexion possible.
Interprétation graphique de l’étude de fonction
Une fois le tableau de variations dressé, on dispose de toutes les informations nécessaires pour esquisser la courbe représentative. Le tracé n’est pas une étape facultative : il permet de vérifier la cohérence des calculs et de donner un sens visuel aux résultats.
Ce que l’on peut lire sur la courbe
- Signe de \( f \) : si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, la fonction est positive sur cet intervalle ; si elle est en dessous, elle est négative.
- Monotonie : les intervalles de croissance et de décroissance correspondent aux portions ascendantes et descendantes de la courbe.
- Asymptotes : les droites dont la courbe se rapproche sans jamais les rejoindre (dans certains cas).
- Extremums : les « sommets » (maxima locaux) et les « creux » (minima locaux) de la courbe.
Position relative par rapport à une asymptote oblique
Lorsque l’on a trouvé une asymptote oblique \( y = mx + p \), il est souvent demandé d’étudier la position relative de la courbe par rapport à cette droite. Pour cela, on étudie le signe de la différence :
f(x) – (mx + p)
\]
Si cette différence est positive, la courbe est au-dessus de l’asymptote ; si elle est négative, la courbe est en dessous.
Cas particuliers fréquents en terminale et en première année universitaire
Fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Son domaine de définition exclut les zéros du dénominateur, qui sont souvent des asymptotes verticales. La recherche d’une asymptote oblique passe par la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Fonctions avec exponentielle
Les fonctions de la forme \( f(x) = P(x)\,e^x \) ou \( f(x) = e^{g(x)} \) nécessitent l’application de la règle de dérivation des fonctions composées. Leur domaine est généralement \( \mathbb{R} \). Les limites en \( \pm\infty \) exploitent les croissances comparées de l’exponentielle face aux polynômes.
Fonctions avec logarithme
Les fonctions logarithmiques \( f(x) = \ln(g(x)) \) imposent \( g(x) > 0 \) pour le domaine. Les limites en 0 par valeurs supérieures donnent \( -\infty \), ce qui génère des asymptotes verticales. Les croissances comparées permettent de calculer les limites en \( +\infty \).
Point d’inflexion et dérivée seconde
Un point d’inflexion est un point où la courbe change de concavité (de convexe à concave, ou inversement). Il est associé à un changement de signe de la dérivée seconde \( f^{\prime\prime} \). Si \( f^{\prime\prime}(x_0) = 0 \) et \( f^{\prime\prime} \) change de signe en \( x_0 \), alors le point \( (x_0, f(x_0)) \) est un point d’inflexion.
Conclusion
L’étude de fonction est bien plus qu’une liste de calculs : c’est une démarche analytique cohérente qui permet de reconstituer l’image complète d’une fonction à partir de son expression algébrique. Domaine de définition, limites, asymptotes, dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations, extremums – chaque étape apporte une information précise et complémentaire.
Questions fréquentes sur l’étude de fonction
Quelles sont les étapes d’une étude de fonction ?
Une étude de fonction complète comprend les étapes suivantes, dans l’ordre : (1) détermination du domaine de définition \( D_f \) ; (2) étude de la parité ou de l’imparité éventuelle ; (3) calcul des limites aux bornes de \( D_f \) et recherche des asymptotes ; (4) calcul de la dérivée \( f’ \) ; (5) étude du signe de \( f’ \) pour en déduire le sens de variation ; (6) construction du tableau de variations avec les extremums ; (7) tracé de la courbe représentative.
Comment trouver le domaine de définition d’une fonction ?
Le domaine de définition \( D_f \) est l’ensemble des réels pour lesquels l’expression de \( f(x) \) est définie. Les principales contraintes à respecter sont : le dénominateur d’une fraction ne peut pas s’annuler ; l’expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle ; l’argument d’un logarithme doit être strictement positif. On détermine \( D_f \) en résolvant les inégalités ou inéquations correspondantes, puis en prenant l’intersection de toutes les contraintes.
Comment dresser le tableau de variations d’une fonction ?
Pour dresser un tableau de variations, on suit quatre étapes : (1) calculer la dérivée \( f’ \) ; (2) résoudre \( f'(x) = 0 \) pour trouver les valeurs critiques, et repérer les valeurs exclues du domaine ; (3) étudier le signe de \( f’ \) sur chaque intervalle délimité par ces valeurs ; (4) remplir le tableau avec les flèches montantes (↗) là où \( f’ > 0 \) et descendantes (↘) là où \( f’ < 0 \), en indiquant les valeurs de \( f \) aux points critiques et aux bornes du domaine.
Comment trouver les asymptotes d’une courbe ?
Pour les asymptotes verticales, on cherche les valeurs \( a \) où \( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) : ce sont généralement les valeurs exclues du domaine de définition. Pour les asymptotes horizontales, on calcule \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) \) : si cette limite est un réel fini \( \ell \), la droite \( y = \ell \) est asymptote horizontale. Pour les asymptotes obliques \( y = mx + p \), on calcule d’abord \( m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \), puis \( p = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – mx] \).
Quelle est la différence entre un maximum local et un maximum global ?
Un maximum local (ou relatif) en \( x_0 \) signifie que \( f(x_0) \) est la plus grande valeur de \( f \) dans un voisinage de \( x_0 \), mais pas nécessairement sur tout le domaine. Un maximum global (ou absolu) signifie que \( f(x_0) \geq f(x) \) pour tout \( x \in D_f \). Un maximum global est toujours un maximum local, mais la réciproque est fausse. Pour trouver les extremums globaux sur un intervalle fermé borné, on compare les valeurs aux extremums locaux et aux valeurs en bout d’intervalle.
Qu’est-ce qu’un point d’inflexion dans une étude de fonction ?
Un point d’inflexion est un point de la courbe où la concavité change : la courbe passe de convexe à concave (ou inversement). Formellement, c’est un point \( (x_0, f(x_0)) \) où la dérivée seconde \( f^{\prime\prime} \) s’annule et change de signe. Au point d’inflexion, la tangente à la courbe traverse la courbe. C’est un concept important en terminale spécialité et en première année universitaire, car il permet de préciser la forme locale de la courbe.