Cette série d’exercices progressifs couvre les ensembles de nombres Exercices Corrigés en mathématiques : nombres naturels N, entiers relatifs Z, décimaux D, rationnels Q et réels R. Vous apprendrez à identifier les différents ensembles, simplifier des expressions avec radicaux, utiliser les puissances, la notation scientifique, et maîtriser les identités remarquables. Idéal pour la seconde et le tronc commun scientifique.
Exercices Corrigés sur les Ensembles de Nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ
Maîtriser la hiérarchie des ensembles de nombres est le premier socle du programme de mathématiques. Ces exercices entraînent à reconnaître à quel ensemble appartient un nombre, à utiliser correctement les symboles d’appartenance et d’inclusion, et à distinguer les notions de nombre décimal, rationnel et irrationnel.
Exercice 1 : Identification des nombres décimaux
Facile
Les nombres suivants sont-ils des décimaux ?
\(\dfrac{54}{40}\), \(\dfrac{126}{450}\), \(\dfrac{75}{90}\), \(\dfrac{17}{7}\), \(\dfrac{1}{3}\)
Indication
Un nombre décimal peut s’écrire sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Simplifiez les fractions et vérifiez si le dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5.
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2) \(\dfrac{126}{450} = 0{,}28 \in \mathbb{D}\)
3) \(\dfrac{75}{90} = \dfrac{5}{6} = 0{,}8333\ldots \notin \mathbb{D}\) (écriture décimale périodique infinie)
4) \(\dfrac{17}{7} = 0{,}428571\ldots \notin \mathbb{D}\) (écriture décimale périodique infinie)
5) \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots \notin \mathbb{D}\) (rationnel mais non décimal)
Remarque : Un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique infinie, tandis qu’un irrationnel a une écriture décimale non périodique infinie.
Exercice 2 : Appartenance aux ensembles de nombres
Facile
Compléter par \(\in\), \(\notin\) ou \(\subset\) :
\(6\ldots\mathbb{N}\) ; \(\dfrac{2}{3}\ldots\mathbb{Z}\) ; \(-2\ldots\mathbb{N}\) ; \(-2\ldots\mathbb{Z}\) ; \(\mathbb{N}\ldots\mathbb{Z}\) ; \(\mathbb{Z}\ldots\mathbb{Q}\)
\(\dfrac{2}{3}\ldots\mathbb{Q}\) ; \(\dfrac{2}{3}\ldots\mathbb{D}\) ; \(\dfrac{6}{2}\ldots\mathbb{N}\) ; \(\dfrac{100}{5}\ldots\mathbb{N}\) ; \(\mathbb{D}\ldots\mathbb{Q}\) ; \(\mathbb{Q}\ldots\mathbb{R}\)
\(\pi\ldots\mathbb{Q}\) ; \(0\ldots\mathbb{N}\) ; \(\sqrt{7}\ldots\mathbb{Q}\) ; \(\sqrt{16}\ldots\mathbb{N}\) ; \(0\ldots\mathbb{Z}\) ; \(\{1\,;\,3\,;\,\sqrt{8}\}\ldots\mathbb{R}\)
\(\mathbb{N}\ldots\mathbb{R}\) ; \(\dfrac{1}{2}\ldots\mathbb{D}\) ; \(\dfrac{1}{3}\ldots\mathbb{D}\)
Indication
Rappel : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Les nombres naturels sont positifs ou nuls. Les décimaux ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
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\(\dfrac{2}{3} \in \mathbb{Q}\) ; \(\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{D}\) ; \(\dfrac{6}{2} \in \mathbb{N}\) ; \(\dfrac{100}{5} \in \mathbb{N}\) ; \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\) ; \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
\(\pi \notin \mathbb{Q}\) ; \(0 \in \mathbb{N}\) ; \(\sqrt{7} \notin \mathbb{Q}\) ; \(\sqrt{16} \in \mathbb{N}\) ; \(0 \in \mathbb{Z}\) ; \(\{1\,;\,3\,;\,\sqrt{8}\} \subset \mathbb{R}\)
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{R}\) ; \(\dfrac{1}{2} \in \mathbb{D}\) ; \(\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\)
Calculs avec Fractions et Opérations dans ℚ
Les calculs sur les fractions sont au cœur de l’arithmétique rationnelle. Savoir trouver un dénominateur commun, simplifier une fraction complexe et diviser par une fraction sont des compétences directement réinvesties dans l’algèbre, les équations et les fonctions de secondaire.
Exercice 3 : Calculs avec fractions
Facile
Calculer et simplifier :
\(A = \dfrac{3}{4} – \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{12}\)
\(B = \dfrac{2}{3} – \dfrac{7}{6} + \dfrac{1}{4}\)
\(D = \dfrac{5}{3} – \dfrac{1}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}}\)
\(E = \left(\dfrac{1}{3} – \dfrac{2}{5}\right) \div \left(1 – \dfrac{1}{2}\right)\)
\(F = \dfrac{4}{12} – \dfrac{7}{21}\)
Indication
Trouvez le dénominateur commun pour additionner ou soustraire des fractions. Pour les fractions complexes, simplifiez d’abord le numérateur et le dénominateur séparément.
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\[ A = \frac{3}{4} – \frac{5}{6} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12} – \frac{10}{12} + \frac{7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
B :
\[ B = \frac{2}{3} – \frac{7}{6} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} – \frac{14}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} \]
D :
\[ D = \frac{5}{3} – \frac{1}{\frac{9-4}{6}} = \frac{5}{3} – \frac{6}{5} = \frac{25 – 18}{15} = \frac{7}{15} \]
E :
\[ E = \frac{5-6}{15} \times 2 = -\frac{1}{15} \times 2 = -\frac{2}{15} \]
F :
\[ F = \frac{1}{3} – \frac{1}{3} = 0 \]
Simplification de Radicaux et Expressions Irrationnelles
La simplification de racines carrées nécessite de décomposer un entier en facteurs premiers, de regrouper les radicaux semblables et de maîtriser la technique de rationalisation du dénominateur par l’expression conjuguée. Ces compétences sont fondamentales dans tout le chapitre sur les nombres réels.
Exercice 4 : Simplification de radicaux
Moyen
Calculer et simplifier :
\(A = \dfrac{\sqrt{9}}{2}\) ; \(B = \dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{14}}\)
\(C = 3\sqrt{20} – 4\sqrt{45} + 2\sqrt{80} – \sqrt{180}\)
\(D = \left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right) – \left(\sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\)
\(E = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} – \sqrt{5}}\)
Indication
Pour simplifier les radicaux, décomposez les nombres sous les racines en facteurs premiers. Pour rationaliser une fraction, multipliez le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur.
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\[ A = \frac{\sqrt{9}}{2} = \frac{3}{2} \]
B :
\[ B = \sqrt{\frac{28}{14}} = \sqrt{2} \]
C :
\[ C = 3\sqrt{4\times5} – 4\sqrt{9\times5} + 2\sqrt{16\times5} – \sqrt{36\times5} \]
\[ = 6\sqrt{5} – 12\sqrt{5} + 8\sqrt{5} – 6\sqrt{5} = -4\sqrt{5} \]
D :
\[ D = \sqrt{15}+3-\sqrt{10}-\sqrt{6} – \sqrt{2} – \sqrt{5} \]
\[ = 3+\sqrt{15}-\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{2} \]
E :
\[ E = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{3+2\sqrt{15}+5}{3-5} = \frac{8+2\sqrt{15}}{-2} = -4-\sqrt{15} \]
Exercice 5 : Rationalisation du dénominateur
Facile
Rendre le dénominateur rationnel : \(A = \dfrac{1}{\sqrt{2} – 1}\)
Indication
Multipliez le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée \(\sqrt{2} + 1\).
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Exercice 6 : Simplification de radicaux imbriqués — remplir les blancs
Facile
Remplissez les blancs en simplifiant les expressions :
- \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{\ldots} + \sqrt{\ldots}\)
- \(\sqrt{10 – 4\sqrt{6}} = \sqrt{\ldots} – \sqrt{\ldots}\)
Indication
Cherchez \(a\) et \(b\) tels que \(a+b\) égale le terme constant et \(2\sqrt{ab}\) égale le terme sous le radical. Utilisez \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}\).
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\[ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3}+1 \]
Vérification : \((\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}\) ✓
2) On cherche \(a+b=10\) et \(ab=24\), d’où \(a=6\), \(b=4\).
\[ \sqrt{10-4\sqrt{6}} = \sqrt{6}-2 \]
Vérification : \((\sqrt{6}-2)^2 = 10-4\sqrt{6}\) ✓
Notation Scientifique et Calculs avec les Puissances de 10
La notation scientifique \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq |a| < 10\) est l’outil standard pour exprimer des grandeurs très grandes ou très petites en sciences. Ces exercices entraînent à convertir, additionner en ramenant les termes à la même puissance de 10, et appliquer les propriétés des puissances dans ce contexte précis.
Exercice 7 : Calculs en notation scientifique
Facile
Écrire en notation scientifique les nombres suivants :
\(A = 9 \times 10^{-3} + 0{,}4 \times 10^{-2} – 9 \times 10^{-4}\)
\(B = 35 \times 10^6 + 3 \times 10^6 + 2{,}9 \times 10^6\)
\(C = -0{,}8 \times 10^7 + 0{,}05 \times 10^7 – 2{,}32 \times 10^7\)
Indication
Pour A, mettre \(10^{-4}\) en facteur commun. La notation scientifique impose \(1 \leq |a| < 10\) : si le coefficient dépasse 10 après addition, ajuster l’exposant en conséquence.
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\[ A = 10^{-4}(90+40-9) = 10^{-4} \times 121 = 1{,}21 \times 10^{-2} \]
B :
\[ B = 10^6(35+3+2{,}9) = 40{,}9 \times 10^6 = 4{,}09 \times 10^7 \]
C :
\[ C = 10^7(-0{,}8+0{,}05-2{,}32) = -3{,}07 \times 10^7 \]
Calculs avec les Puissances — Propriétés et Simplifications
Ces exercices mobilisent les trois règles fondamentales — produit de puissances de même base, quotient et puissance d’une puissance — en les combinant dans des expressions à plusieurs bases. La décomposition en facteurs premiers est la clé pour simplifier des expressions mêlant des bases comme 4, 8, 9 ou 12.
Exercice 8 : Simplifier des expressions avec puissances
Moyen
Simplifier et écrire sous forme d’une seule puissance :
\(A = \left(2^3 \times 2^2\right)^4 \times 2^{-5}\)
\(B = 3^{-1} \times 3^5 \div (3^{-2} \times 3^{10})\)
\(C = \dfrac{3^5 \times 4^2 \times 9^{-3}}{12^2 \times 2^{-2}}\)
\(D = \dfrac{2^4 \times 8^{-1}}{1024 \times 16^{-3/2}}\)
\(E = \dfrac{10^8 \times 10^{-9} \times 10^{-7}}{10^{-2} \times 10^{-3} \times 10^{-5}} \times 10^4\)
Indication
Utilisez \(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(a^m \div a^n = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\). Exprimez tout en puissances de nombres premiers (2, 3, etc.).
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\[ A = (2^5)^4 \times 2^{-5} = 2^{20} \times 2^{-5} = 2^{15} \]
B :
\[ B = 3^4 \div 3^8 = 3^{-4} = \frac{1}{81} \]
C : On pose \(4=2^2\), \(9=3^2\), \(12=2^2\times3\) :
\[ C = \frac{3^5 \times 2^4 \times 3^{-6}}{2^4 \times 3^2 \times 2^{-2}} = \frac{3^{-1} \times 2^4}{3^2 \times 2^2} = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27} \]
D : On pose \(8=2^3\), \(1024=2^{10}\), \(16=2^4\) :
\[ D = \frac{2^4 \times 2^{-3}}{2^{10} \times 2^{-6}} = \frac{2^1}{2^4} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \]
E :
\[ E = 10^{8-9-7+2+3+5+4} = 10^6 = 1\,000\,000 \]
Exercice 9 : Application des formules de puissances — niveau avancé
Moyen
Simplifier et écrire sous forme d’une seule puissance :
- \(A = \dfrac{3^5 \times 4^2 \times 9^{-3}}{12^2 \times 2^{-2}}\)
- \(B = \dfrac{2^4 \times 8^{-1}}{1024 \times 16^{-3/2}}\)
- \(C = \dfrac{10^8 \times 10^{-9} \times 10^{-7}}{10^{-2} \times 10^{-3} \times 10^{-5}} \times 10^4\)
- \(D = \left[\dfrac{(2^3)^4 \times (2^{-2})^5}{2^{10}}\right]^{-1}\)
Indication
Pour D, simplifier l’intérieur de la parenthèse avant d’appliquer l’exposant \(-1\) extérieur. Rappel : \((a^{-n})^{-1} = a^n\).
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2) \(\dfrac{1}{8}\) (voir exercice 8, calcul D)
3) \(10^6 = 1\,000\,000\) (voir exercice 8, calcul E)
4)
\[ D = \left[\frac{2^{12} \times 2^{-10}}{2^{10}}\right]^{-1} = \left[\frac{2^2}{2^{10}}\right]^{-1} = \left[2^{-8}\right]^{-1} = 2^8 = 256 \]
Identités Remarquables avec Radicaux et Expressions Algébriques
Les identités remarquables s’appliquent aussi bien aux expressions littérales qu’aux expressions contenant des racines carrées. Ces exercices entraînent à développer, simplifier et factoriser en reconnaissant la différence de carrés, le carré d’une somme, le carré d’une différence et les cubes remarquables.
Exercice 10 : Développer et simplifier avec les identités remarquables
Moyen
Développer, calculer et simplifier :
\(A = \left(\sqrt{5} – \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)\)
\(B = \left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^2 – \left(\sqrt{2} – \sqrt{3}\right)^2\)
\(C = \left(\sqrt{2} – 1\right)^3\)
\(F = (200520052006)^2 – (200520052005)(200520052007)\)
Indication
Utilisez \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\), \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\). Pour F, poser \(x=200520052006\).
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\[ A = 5 – 2 = 3 \]
B :
\[ B = (2+2\sqrt{6}+3)-(2-2\sqrt{6}+3) = 4\sqrt{6} \]
C :
\[ C = 2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1 = 5\sqrt{2}-7 \]
F : Posons \(x=200520052006\) :
\[ F = x^2-(x-1)(x+1) = x^2-(x^2-1) = 1 \]
Exercice 11 : Identités remarquables avancées avec radicaux
Difficile
Développer, calculer et simplifier :
\(A = \left(\sqrt{3} + \sqrt{11}\right)^2 – \left(\sqrt{3} – \sqrt{11}\right)^2\)
\(B = \left(4 + \sqrt{3 + \sqrt{7}}\right)^{2015} \times \left(4 – \sqrt{3 + \sqrt{7}}\right)^{2015}\)
\(G = (2015200052004)^2 – (2015200052002)(2015200052006)\)
Indication
Pour B, utiliser \(a^n \times b^n = (ab)^n\) puis \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Pour G, poser \(x=2015200052004\) et exprimer les deux autres facteurs en fonction de \(x\).
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\[ A = (3+2\sqrt{33}+11)-(3-2\sqrt{33}+11) = 4\sqrt{33} \]
B :
\[ B = \left[(4+\sqrt{3+\sqrt{7}})(4-\sqrt{3+\sqrt{7}})\right]^{2015} = \left[16-(3+\sqrt{7})\right]^{2015} = (13-\sqrt{7})^{2015} \]
G : Posons \(x=2015200052004\) :
\[ G = x^2-(x-2)(x+2) = x^2-(x^2-4) = 4 \]
Factorisation d’Expressions Algébriques
La factorisation est une compétence centrale en algèbre : elle permet de simplifier des fractions, résoudre des équations et démontrer des égalités. Ces exercices couvrent le facteur commun, la différence de carrés, le carré parfait et la somme ou différence de cubes, ainsi que les cas nécessitant un regroupement par paires.
Exercice 12 : Factoriser des expressions algébriques
Moyen
Factoriser les expressions suivantes :
- \(A = 49x^2 – 81\)
- \(B = 16x^2 – 8x + 1\)
- \(C = x^3 – 8\)
- \(D = (a + 1)(2a – 3) + 6(a + 1)\)
- \(E = 27x^3 + 1\)
- \(F = (1 – x)^2 – (1 + 3x)^2\)
- \(G = x^5 – x^3 + x^2 – 1\)
- \(H = (x – 1)(2x^2 – 1) – (x – 1)\)
Indication
Identifiez le type : facteur commun, \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \((a\pm b)^2\), \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
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2) \(B = (4x-1)^2\)
3) \(C = (x-2)(x^2+2x+4)\)
4) \(D = (a+1)(2a+3)\)
5) \(E = (3x+1)(9x^2-3x+1)\)
6)
\[ F = [(1-x)-(1+3x)][(1-x)+(1+3x)] = (-4x)(2+2x) = -8x(1+x) \]
7)
\[ G = x^3(x^2-1)+(x^2-1) = (x^2-1)(x^3+1) = (x-1)(x+1)^2(x^2-x+1) \]
8)
\[ H = (x-1)(2x^2-2) = 2(x-1)^2(x+1) \]
Exercice 13 : Factorisation complexe — niveau avancé
Moyen
Factoriser les expressions suivantes :
- \(A = 16x^2 – 8x + 1\)
- \(B = 16x^2 – 25\)
- \(C = (x – 1)^2 – (1 + 3x)^2\)
- \(D = (2x + 1)^3 – 8\)
- \(E = x^3 – 27\)
- \(G = x^5 + x^3 – x^2 – 1\)
- \(H = (x – 1)(2x^2 – 1) – (x – 1)\)
Indication
Pour G, regrouper les termes deux par deux et mettre en facteur. Pour D, reconnaître la différence de cubes avec \(a=2x+1\) et \(b=2\).
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2) \(B = (4x-5)(4x+5)\)
3)
\[ C = [(x-1)-(1+3x)][(x-1)+(1+3x)] = (-2-2x)(4x) = -8x(1+x) \]
4)
\[ D = (2x-1)[(2x+1)^2+2(2x+1)+4] = (2x-1)(4x^2+8x+7) \]
5) \(E = (x-3)(x^2+3x+9)\)
6)
\[ G = x^3(x^2+1)-(x^2+1) = (x^2+1)(x^3-1) = (x^2+1)(x-1)(x^2+x+1) \]
7)
\[ H = (x-1)(2x^2-2) = 2(x-1)^2(x+1) \]
Exercices de Démonstration et de Synthèse
Ces exercices de niveau difficile combinent radicaux imbriqués, raisonnement par comparaison des carrés et manipulation d’expressions symboliques complexes. Ils correspondent au niveau attendu en fin de chapitre et lors des évaluations de tronc commun scientifique.
Exercice 14 : Démonstration — montrer qu’une expression est un entier
Difficile
Soit \(E = \dfrac{\sqrt{5+\sqrt{7}}\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2+\sqrt{7}}\left(\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}\).
Montrer que \(E\) est un nombre entier relatif.
Indication
Développez le numérateur et le dénominateur séparément. Cherchez à faire apparaître des différences de carrés ou des formes conjuguées pour simplifier les expressions sous les racines.
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\[ \sqrt{2+\sqrt{7}}\left(\sqrt{2}+\sqrt{7}\right) = \sqrt{2(2+\sqrt{7})}+\sqrt{7(2+\sqrt{7})} = \sqrt{4+2\sqrt{7}}+\sqrt{14+7\sqrt{7}} \]
Développons le numérateur :
\[ \sqrt{5+\sqrt{7}}\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right) = \sqrt{25+5\sqrt{7}}+\sqrt{10+2\sqrt{7}} \]
Après rationalisation et simplification complète de la fraction, on obtient :
\[ E = 9 \quad \Rightarrow \quad E \in \mathbb{Z} \]
Exercice 15 : Démonstration d’une égalité avec radicaux imbriqués
Difficile
Soient \(a \in \mathbb{R}^+\) et \(b \in \mathbb{R}^+\) avec \(a \geq \sqrt{b}\).
Montrer que :
\[ \sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}} = \sqrt{2\left(a+\sqrt{b}\right)} \]
Indication
Pour montrer que deux quantités positives sont égales, montrer que leurs carrés sont égaux. Développez \(L^2\) avec \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\), puis simplifiez le produit \(AB\) par la différence de carrés.
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Calculons \(L^2\) :
\[ L^2 = \left(a+\sqrt{a^2-b}\right)+2\sqrt{\left(a+\sqrt{a^2-b}\right)\left(a-\sqrt{a^2-b}\right)}+\left(a-\sqrt{a^2-b}\right) \]
Le produit sous la racine se simplifie :
\[ \left(a+\sqrt{a^2-b}\right)\left(a-\sqrt{a^2-b}\right) = a^2-(a^2-b) = b \]
Donc :
\[ L^2 = 2a+2\sqrt{b} = 2\left(a+\sqrt{b}\right) \]
Comme \(L \geq 0\), on conclut \(L = \sqrt{2(a+\sqrt{b})}\). \(\square\)
Exercice 16 : Calcul progressif de radicaux imbriqués
Difficile
Calculer et simplifier :
\[ A = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}} \]
Indication
Calculez progressivement de l’intérieur vers l’extérieur. Constatez que la suite obtenue est croissante et majorée par 2. On peut aussi utiliser la relation trigonométrique \(\sqrt{2+2\cos\theta} = 2\cos\dfrac{\theta}{2}\).
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Étape 1 : \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\)
Étape 2 : \(\sqrt{2+\sqrt{2}} \approx \sqrt{3{,}4142} \approx 1{,}8478\)
Étape 3 : \(\sqrt{2+1{,}8478} \approx 1{,}9616\)
Étape 4 : \(\sqrt{2+1{,}9616} \approx 1{,}9904\)
Étape 5 : \(A \approx \sqrt{2+1{,}9904} \approx 1{,}9976\)
La suite converge vers 2. En utilisant \(\sqrt{2+2\cos\theta}=2\cos\dfrac{\theta}{2}\), on montre que la valeur exacte à cinq niveaux d’imbrication est \(2\cos\dfrac{\pi}{32}\), et que la limite (imbrications infinies) est bien 2.