Le cours sur les durées en 6ème apprend à convertir heures, minutes et secondes, à lire un horaire et à calculer un temps écoulé. Le système n’est pas décimal : une heure contient \(60\) minutes et une minute \(60\) secondes. C’est la source principale des erreurs.
On distinguera un instant d’une durée, puis on utilisera plusieurs méthodes : conversion dans une seule unité, addition avec retenue, soustraction et ligne du temps.
Horaire, instant et durée
Horaire ou instant
Un horaire indique un moment précis de la journée, par exemple \(8\ \text{h}\ 25\) ou \(17\ \text{h}\ 05\).
Durée
Une durée mesure le temps qui s’écoule entre deux instants, par exemple \(45\ \text{min}\), \(2\ \text{h}\ 10\ \text{min}\) ou \(3\) jours.
La phrase « le train part à \(14\ \text{h}\ 30\) » donne un horaire. La phrase « le trajet dure \(2\ \text{h}\ 15\) » donne une durée. On peut additionner une durée à un horaire pour trouver un nouvel horaire.
Ne pas confondre : \(16\ \text{h}\) peut désigner l’horaire « seize heures », tandis qu’une durée de seize heures s’écrit et se lit selon le contexte « pendant \(16\) heures ».
Unités de durée à connaître
| Égalité | Utilisation |
|---|---|
| \(1\ \text{min}=60\ \text{s}\) | Chronométrage court |
| \(1\ \text{h}=60\ \text{min}\) | Horaires et trajets |
| \(1\ \text{jour}=24\ \text{h}\) | Durées de plusieurs jours |
| \(1\ \text{semaine}=7\ \text{jours}\) | Calendrier |
| \(1\ \text{an}=12\ \text{mois}\) | Durées longues |
| \(1\ \text{siècle}=100\ \text{ans}\) | Repérage historique |
Le nombre de jours des mois varie : \(28\) ou \(29\) pour février, \(30\) ou \(31\) pour les autres. On ne convertit donc pas toujours un mois en un nombre fixe de jours sans connaître le calendrier concerné.
Un système en base 60
Entre heures et minutes, on multiplie ou on divise par \(60\), pas par \(10\) ni par \(100\). Il en va de même entre minutes et secondes.
Une écriture comme \(2\ \text{h}\ 30\ \text{min}\) n’est pas le nombre décimal \(2,30\ \text{h}\). Les \(30\) minutes représentent la moitié d’une heure, donc \(2\ \text{h}\ 30\ \text{min}=2,5\ \text{h}\).
Erreur fréquente : \(1,5\ \text{h}\) signifie une heure et la moitié d’une heure, soit \(1\ \text{h}\ 30\ \text{min}\), et non \(1\ \text{h}\ 50\ \text{min}\).
Convertir des heures en minutes
Pour passer des heures aux minutes, on multiplie le nombre d’heures par \(60\).
Pour une durée composée, on convertit les heures puis on ajoute les minutes restantes. Ainsi :
Cette conversion dans une seule unité facilite les comparaisons et certaines additions.
Convertir des minutes en heures et minutes
On effectue la division euclidienne du nombre de minutes par \(60\). Le quotient donne le nombre d’heures et le reste donne les minutes.
Pour \(197\ \text{min}\) :
Donc \(197\ \text{min}=3\ \text{h}\ 17\ \text{min}\). Le reste doit être inférieur à \(60\). La méthode de quotient et de reste est expliquée dans le cours sur la division euclidienne en 6ème.
Convertir des minutes et secondes
La même méthode s’applique entre minutes et secondes. Pour convertir \(4\ \text{min}\ 25\ \text{s}\) en secondes :
Pour convertir \(502\ \text{s}\) en minutes et secondes, on écrit :
donc \(502\ \text{s}=8\ \text{min}\ 22\ \text{s}\).
Passer à une écriture décimale en heures
Pour exprimer une durée entièrement en heures, on divise les minutes par \(60\). Par exemple :
| Minutes | Fraction d’heure | Écriture décimale |
|---|---|---|
| \(15\) | \(\frac14\ \text{h}\) | \(0,25\ \text{h}\) |
| \(30\) | \(\frac12\ \text{h}\) | \(0,5\ \text{h}\) |
| \(45\) | \(\frac34\ \text{h}\) | \(0,75\ \text{h}\) |
Pour revenir de \(2,4\ \text{h}\) à une écriture en heures et minutes, on conserve \(2\) heures et on calcule \(0,4\times60=24\) minutes. On obtient \(2\ \text{h}\ 24\ \text{min}\).
Additionner des durées
On additionne séparément les heures, les minutes et les secondes, puis on convertit les quantités qui atteignent \(60\).
Calculons \(2\ \text{h}\ 48\ \text{min}+1\ \text{h}\ 37\ \text{min}\).
Comme \(85\ \text{min}=1\ \text{h}\ 25\ \text{min}\), le résultat est \(4\ \text{h}\ 25\ \text{min}\).
Méthode en minutes
On peut aussi convertir : \(2\ \text{h}\ 48=168\ \text{min}\) et \(1\ \text{h}\ 37=97\ \text{min}\). La somme vaut \(265\ \text{min}=4\ \text{h}\ 25\ \text{min}\). Les deux méthodes fournissent un contrôle réciproque.
Soustraire des durées
Lorsque les minutes du premier nombre sont inférieures à celles que l’on soustrait, on échange une heure contre \(60\) minutes.
Calculons \(5\ \text{h}\ 10\ \text{min}-2\ \text{h}\ 35\ \text{min}\). On écrit :
On peut alors soustraire :
Calculer une durée entre deux horaires
La méthode par étapes est souvent la plus sûre. On avance de l’horaire de départ jusqu’à une heure ronde, puis jusqu’à l’horaire d’arrivée.
Cette méthode réduit les emprunts et rend le raisonnement visible. On contrôle en ajoutant la durée trouvée à l’horaire de départ.
Trouver l’horaire d’arrivée
Un film commence à \(18\ \text{h}\ 50\) et dure \(2\ \text{h}\ 25\). On ajoute d’abord \(2\) heures, puis \(25\) minutes :
\[ 20\ \text{h}\ 50+25\ \text{min}=21\ \text{h}\ 15. \]
Le film se termine à \(21\ \text{h}\ 15\). Les \(75\) minutes obtenues lors de l’addition sont transformées en \(1\) heure et \(15\) minutes.
Trouver l’horaire de départ
Un train arrive à \(16\ \text{h}\ 10\) après un trajet de \(2\ \text{h}\ 35\). On soustrait la durée à l’horaire d’arrivée.
Comme \(10<35\), on transforme \(16\ \text{h}\ 10\) en \(15\ \text{h}\ 70\). Puis :
Le départ a lieu à \(13\ \text{h}\ 35\). La vérification consiste à ajouter \(2\ \text{h}\ 35\) et à retrouver \(16\ \text{h}\ 10\).
Calculer une durée qui franchit minuit
Entre \(22\ \text{h}\ 40\) et \(1\ \text{h}\ 15\) le lendemain, l’horaire d’arrivée semble plus petit parce que la journée a changé. On avance jusqu’à minuit, puis après minuit.
\[ 0\ \text{h}\longrightarrow1\ \text{h}\ 15 \quad:1\ \text{h}\ 15. \]
La durée totale vaut \(1\ \text{h}\ 20+1\ \text{h}\ 15=2\ \text{h}\ 35\).
Comparer et ranger des durées
Pour comparer des écritures différentes, on les convertit dans une même unité. Comparons \(2\ \text{h}\ 20\) et \(135\ \text{min}\) :
Donc \(2\ \text{h}\ 20>135\ \text{min}\). Le choix de l’unité dépend des valeurs : les minutes conviennent ici, tandis que les secondes sont utiles pour des chronomètres courts.
Les calculs avec les nombres décimaux nécessaires aux heures décimales sont expliqués dans le cours sur les opérations décimales en 6ème.
Lire un tableau d’horaires
Un tableau de bus ou de trains croise souvent des arrêts en lignes et des trajets en colonnes. Pour calculer la durée, on doit lire les deux horaires dans la même colonne.
Un changement de jour peut être signalé par une note. Les temps d’attente lors d’une correspondance s’ajoutent à la durée des trajets. On distingue donc le temps passé dans chaque véhicule et la durée totale du voyage.
Les méthodes de lecture de tableaux sont approfondies dans le cours sur l’organisation et la gestion de données en 6ème.
Calculer avec heures, minutes et secondes
Lorsqu’une durée comporte trois unités, on aligne les heures, les minutes et les secondes. On commence par les secondes, puis on effectue les échanges nécessaires avant de traiter les minutes.
Additionnons \(1\ \text{h}\ 48\ \text{min}\ 35\ \text{s}\) et \(2\ \text{h}\ 26\ \text{min}\ 50\ \text{s}\). Les secondes donnent \(35+50=85\ \text{s}=1\ \text{min}\ 25\ \text{s}\). Les minutes donnent ensuite \(48+26+1=75\ \text{min}=1\ \text{h}\ 15\ \text{min}\). Le total vaut donc \(4\ \text{h}\ 15\ \text{min}\ 25\ \text{s}\).
Pour une soustraction, on peut échanger \(1\) minute contre \(60\) secondes, puis si nécessaire \(1\) heure contre \(60\) minutes. Chaque échange conserve exactement la durée totale.
Écriture posée
Une écriture en colonnes est possible à condition d’indiquer les unités au-dessus de chaque colonne. Contrairement à une addition décimale, les retenues ne valent pas \(10\) : elles correspondent à \(60\) secondes ou à \(60\) minutes.
Durées sur plusieurs jours
Pour un événement qui commence un jour et finit un autre, on peut avancer jusqu’à minuit, compter les jours complets, puis ajouter la partie du dernier jour. Cette méthode évite de confondre le changement de date avec une durée supplémentaire.
Une randonnée commence le lundi à \(9\ \text{h}\) et se termine le mardi à \(14\ \text{h}\ 30\). Du lundi \(9\ \text{h}\) au mardi \(9\ \text{h}\), il s’écoule \(24\) heures. Il reste ensuite \(5\ \text{h}\ 30\). La durée totale est \(29\ \text{h}\ 30\), soit \(1\) jour \(5\ \text{h}\ 30\).
Pour des dates, on utilise le nombre réel de jours de chaque mois. Du 28 février au 1er mars, la durée dépend notamment du fait que l’année soit bissextile ou non si l’on compte des journées complètes.
Estimer et contrôler un résultat de durée
Avant de calculer, on estime l’ordre de grandeur. Entre \(8\ \text{h}\ 50\) et \(12\ \text{h}\ 10\), la durée est un peu supérieure à \(3\) heures. Un résultat de \(4\ \text{h}\ 40\) ou de \(2\ \text{h}\) doit donc être revu.
Après un calcul, on utilise l’opération inverse. Si l’on a trouvé une durée entre un départ et une arrivée, on l’ajoute au départ. Si l’on a déterminé un horaire de départ, on lui ajoute la durée et on doit retrouver l’arrivée.
| Résultat cherché | Calcul principal | Contrôle |
|---|---|---|
| Durée | Arrivée moins départ | Départ plus durée |
| Arrivée | Départ plus durée | Arrivée moins durée |
| Départ | Arrivée moins durée | Départ plus durée |
Résoudre un problème avec plusieurs étapes
Un voyage comporte \(1\ \text{h}\ 35\) de bus, \(25\) minutes d’attente et \(2\ \text{h}\ 10\) de train. La durée totale du voyage n’est pas seulement la somme des déplacements : l’attente fait aussi partie du temps écoulé.
Si le départ a lieu à \(7\ \text{h}\ 50\), l’arrivée a lieu à \(12\ \text{h}\). On peut avancer de \(10\) minutes jusqu’à \(8\ \text{h}\), puis ajouter les \(4\) heures restantes.
Dans un énoncé long, on souligne les horaires d’une couleur et les durées d’une autre. On trace ensuite une ligne du temps dans l’ordre réel des événements. Cette organisation empêche d’additionner par erreur deux horaires ou de soustraire une durée dans le mauvais sens.
À retenir sur les durées en 6ème
- Un horaire est un instant ; une durée mesure un temps écoulé.
- \(1\ \text{h}=60\ \text{min}\) et \(1\ \text{min}=60\ \text{s}\).
- Pour convertir heures en minutes, on multiplie par \(60\).
- Pour convertir minutes en heures et minutes, on effectue une division euclidienne par \(60\).
- Dans une addition ou une soustraction, \(60\) minutes s’échangent contre \(1\) heure.
- Une ligne du temps aide à franchir une heure ronde ou minuit.
- Une heure décimale n’est pas une écriture en heures et minutes.
Ces compétences s’inscrivent dans le programme officiel de mathématiques du cycle 3 sur les grandeurs, les conversions et la résolution de problèmes de durées.