Durées 6ème : conversions, horaires et calculs

Horaire, instant et durée

La phrase « le train part à $14\ \text{h}\ 30$ » donne un horaire. La phrase « le trajet dure $2\ \text{h}\ 15$ » donne une durée. On peut additionner une durée à un horaire pour trouver un nouvel horaire.

Ne pas confondre : $16\ \text{h}$ peut désigner l’horaire « seize heures », tandis qu’une durée de seize heures s’écrit et se lit selon le contexte « pendant $16$ heures ».

Unités de durée à connaître

Le nombre de jours des mois varie : $28$ ou $29$ pour février, $30$ ou $31$ pour les autres. On ne convertit donc pas toujours un mois en un nombre fixe de jours sans connaître le calendrier concerné.

Un système en base 60

Entre heures et minutes, on multiplie ou on divise par $60$, pas par $10$ ni par $100$. Il en va de même entre minutes et secondes.

Une écriture comme $2\ \text{h}\ 30\ \text{min}$ n’est pas le nombre décimal $2,30\ \text{h}$. Les $30$ minutes représentent la moitié d’une heure, donc $2\ \text{h}\ 30\ \text{min}=2,5\ \text{h}$.

Erreur fréquente : $1,5\ \text{h}$ signifie une heure et la moitié d’une heure, soit $1\ \text{h}\ 30\ \text{min}$, et non $1\ \text{h}\ 50\ \text{min}$.

Convertir des heures en minutes

Pour passer des heures aux minutes, on multiplie le nombre d’heures par $60$.

Pour une durée composée, on convertit les heures puis on ajoute les minutes restantes. Ainsi :

Cette conversion dans une seule unité facilite les comparaisons et certaines additions.

Convertir des minutes en heures et minutes

On effectue la division euclidienne du nombre de minutes par $60$. Le quotient donne le nombre d’heures et le reste donne les minutes.

Pour $197\ \text{min}$ :

Donc $197\ \text{min}=3\ \text{h}\ 17\ \text{min}$. Le reste doit être inférieur à $60$. La méthode de quotient et de reste est expliquée dans le cours sur la division euclidienne en 6ème.

Convertir des minutes et secondes

La même méthode s’applique entre minutes et secondes. Pour convertir $4\ \text{min}\ 25\ \text{s}$ en secondes :

Pour convertir $502\ \text{s}$ en minutes et secondes, on écrit :

donc $502\ \text{s}=8\ \text{min}\ 22\ \text{s}$.

Passer à une écriture décimale en heures

Pour exprimer une durée entièrement en heures, on divise les minutes par $60$. Par exemple :

Pour revenir de $2,4\ \text{h}$ à une écriture en heures et minutes, on conserve $2$ heures et on calcule $0,4\times60=24$ minutes. On obtient $2\ \text{h}\ 24\ \text{min}$.

Additionner des durées

On additionne séparément les heures, les minutes et les secondes, puis on convertit les quantités qui atteignent $60$.

Calculons $2\ \text{h}\ 48\ \text{min}+1\ \text{h}\ 37\ \text{min}$.

Comme $85\ \text{min}=1\ \text{h}\ 25\ \text{min}$, le résultat est $4\ \text{h}\ 25\ \text{min}$.

Méthode en minutes

On peut aussi convertir : $2\ \text{h}\ 48=168\ \text{min}$ et $1\ \text{h}\ 37=97\ \text{min}$. La somme vaut $265\ \text{min}=4\ \text{h}\ 25\ \text{min}$. Les deux méthodes fournissent un contrôle réciproque.

Soustraire des durées

Lorsque les minutes du premier nombre sont inférieures à celles que l’on soustrait, on échange une heure contre $60$ minutes.

Calculons $5\ \text{h}\ 10\ \text{min}-2\ \text{h}\ 35\ \text{min}$. On écrit :

On peut alors soustraire :

Calculer une durée entre deux horaires

La méthode par étapes est souvent la plus sûre. On avance de l’horaire de départ jusqu’à une heure ronde, puis jusqu’à l’horaire d’arrivée.

Cette méthode réduit les emprunts et rend le raisonnement visible. On contrôle en ajoutant la durée trouvée à l’horaire de départ.

Trouver l’horaire d’arrivée

Un film commence à $18\ \text{h}\ 50$ et dure $2\ \text{h}\ 25$. On ajoute d’abord $2$ heures, puis $25$ minutes :

Le film se termine à $21\ \text{h}\ 15$. Les $75$ minutes obtenues lors de l’addition sont transformées en $1$ heure et $15$ minutes.

Trouver l’horaire de départ

Un train arrive à $16\ \text{h}\ 10$ après un trajet de $2\ \text{h}\ 35$. On soustrait la durée à l’horaire d’arrivée.

Comme $10<35$, on transforme $16\ \text{h}\ 10$ en $15\ \text{h}\ 70$. Puis :

Le départ a lieu à $13\ \text{h}\ 35$. La vérification consiste à ajouter $2\ \text{h}\ 35$ et à retrouver $16\ \text{h}\ 10$.

Calculer une durée qui franchit minuit

Entre $22\ \text{h}\ 40$ et $1\ \text{h}\ 15$ le lendemain, l’horaire d’arrivée semble plus petit parce que la journée a changé. On avance jusqu’à minuit, puis après minuit.

La durée totale vaut $1\ \text{h}\ 20+1\ \text{h}\ 15=2\ \text{h}\ 35$.

Comparer et ranger des durées

Pour comparer des écritures différentes, on les convertit dans une même unité. Comparons $2\ \text{h}\ 20$ et $135\ \text{min}$ :

Donc $2\ \text{h}\ 20>135\ \text{min}$. Le choix de l’unité dépend des valeurs : les minutes conviennent ici, tandis que les secondes sont utiles pour des chronomètres courts.

Les calculs avec les nombres décimaux nécessaires aux heures décimales sont expliqués dans le cours sur les opérations décimales en 6ème.

Lire un tableau d’horaires

Un tableau de bus ou de trains croise souvent des arrêts en lignes et des trajets en colonnes. Pour calculer la durée, on doit lire les deux horaires dans la même colonne.

Un changement de jour peut être signalé par une note. Les temps d’attente lors d’une correspondance s’ajoutent à la durée des trajets. On distingue donc le temps passé dans chaque véhicule et la durée totale du voyage.

Les méthodes de lecture de tableaux sont approfondies dans le cours sur l’organisation et la gestion de données en 6ème.

Calculer avec heures, minutes et secondes

Lorsqu’une durée comporte trois unités, on aligne les heures, les minutes et les secondes. On commence par les secondes, puis on effectue les échanges nécessaires avant de traiter les minutes.

Additionnons $1\ \text{h}\ 48\ \text{min}\ 35\ \text{s}$ et $2\ \text{h}\ 26\ \text{min}\ 50\ \text{s}$. Les secondes donnent $35+50=85\ \text{s}=1\ \text{min}\ 25\ \text{s}$. Les minutes donnent ensuite $48+26+1=75\ \text{min}=1\ \text{h}\ 15\ \text{min}$. Le total vaut donc $4\ \text{h}\ 15\ \text{min}\ 25\ \text{s}$.

Pour une soustraction, on peut échanger $1$ minute contre $60$ secondes, puis si nécessaire $1$ heure contre $60$ minutes. Chaque échange conserve exactement la durée totale.

Écriture posée

Une écriture en colonnes est possible à condition d’indiquer les unités au-dessus de chaque colonne. Contrairement à une addition décimale, les retenues ne valent pas $10$ : elles correspondent à $60$ secondes ou à $60$ minutes.

Durées sur plusieurs jours

Pour un événement qui commence un jour et finit un autre, on peut avancer jusqu’à minuit, compter les jours complets, puis ajouter la partie du dernier jour. Cette méthode évite de confondre le changement de date avec une durée supplémentaire.

Une randonnée commence le lundi à $9\ \text{h}$ et se termine le mardi à $14\ \text{h}\ 30$. Du lundi $9\ \text{h}$ au mardi $9\ \text{h}$, il s’écoule $24$ heures. Il reste ensuite $5\ \text{h}\ 30$. La durée totale est $29\ \text{h}\ 30$, soit $1$ jour $5\ \text{h}\ 30$.

Pour des dates, on utilise le nombre réel de jours de chaque mois. Du 28 février au 1er mars, la durée dépend notamment du fait que l’année soit bissextile ou non si l’on compte des journées complètes.

Estimer et contrôler un résultat de durée

Avant de calculer, on estime l’ordre de grandeur. Entre $8\ \text{h}\ 50$ et $12\ \text{h}\ 10$, la durée est un peu supérieure à $3$ heures. Un résultat de $4\ \text{h}\ 40$ ou de $2\ \text{h}$ doit donc être revu.

Après un calcul, on utilise l’opération inverse. Si l’on a trouvé une durée entre un départ et une arrivée, on l’ajoute au départ. Si l’on a déterminé un horaire de départ, on lui ajoute la durée et on doit retrouver l’arrivée.

Résoudre un problème avec plusieurs étapes

Un voyage comporte $1\ \text{h}\ 35$ de bus, $25$ minutes d’attente et $2\ \text{h}\ 10$ de train. La durée totale du voyage n’est pas seulement la somme des déplacements : l’attente fait aussi partie du temps écoulé.

Si le départ a lieu à $7\ \text{h}\ 50$, l’arrivée a lieu à $12\ \text{h}$. On peut avancer de $10$ minutes jusqu’à $8\ \text{h}$, puis ajouter les $4$ heures restantes.

Dans un énoncé long, on souligne les horaires d’une couleur et les durées d’une autre. On trace ensuite une ligne du temps dans l’ordre réel des événements. Cette organisation empêche d’additionner par erreur deux horaires ou de soustraire une durée dans le mauvais sens.

À retenir sur les durées en 6ème

• Un horaire est un instant ; une durée mesure un temps écoulé.
• $1\ \text{h}=60\ \text{min}$ et $1\ \text{min}=60\ \text{s}$.
• Pour convertir heures en minutes, on multiplie par $60$.
• Pour convertir minutes en heures et minutes, on effectue une division euclidienne par $60$.
• Dans une addition ou une soustraction, $60$ minutes s’échangent contre $1$ heure.
• Une ligne du temps aide à franchir une heure ronde ou minuit.
• Une heure décimale n’est pas une écriture en heures et minutes.

Ces compétences s’inscrivent dans le programme officiel de mathématiques du cycle 3 sur les grandeurs, les conversions et la résolution de problèmes de durées.