Division euclidienne et décimale 6ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de division en 6ème distinguent division euclidienne et division décimale, font utiliser dividende, diviseur, quotient et reste, puis appliquent la division à des partages et groupements. Le cours sur les deux divisions explique les techniques posées. Ils prolongent le parcours de mathématiques de 6ème.

Division euclidienne : quotient, reste et vérification

Une division euclidienne d’entiers vérifie toujours dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste plus petit que le diviseur.

Exercice 1 : Identifier les quatre termes

Facile

On sait que \(347=12\times28+11\).

  1. Donner le dividende.
  2. a. Donner le diviseur et le quotient. b. Donner le reste et vérifier sa condition.
Indication

Comparez l’égalité à \(a=b\times q+r\).

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  1. Question 1. Le dividende est \(347\).
  2. Question 2. a. Le diviseur est \(12\) et le quotient est \(28\). b. Le reste est \(11\) et \(0\leq11<12\).

Exercice 2 : Effectuer et contrôler des divisions

Facile

Effectuer les divisions euclidiennes demandées.

  1. Diviser \(185\) par \(7\).
  2. Diviser \(1\,024\) par \(15\).
  3. Écrire les égalités de contrôle.
Indication

Cherchez le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende.

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  1. Question 1. \(7\times26=182\), donc quotient \(26\), reste \(3\).
  2. Question 2. \(15\times68=1\,020\), donc quotient \(68\), reste \(4\).
  3. Question 3. \(185=7\times26+3\) et \(1\,024=15\times68+4\).

Exercice 3 : Retrouver un nombre manquant

Moyen

Compléter des divisions à partir de leur égalité de contrôle.

  1. Quelle information de l’énoncé faut-il exploiter en premier dans « retrouver un nombre manquant » ?
  2. Trouver \(a\) si \(a=9\times34+5\).
  3. Trouver \(q\) si \(278=13\times q+5\).
  4. Expliquer pourquoi \(278=12\times22+14\) n’est pas une division euclidienne par \(12\).
Indication

Dans la dernière égalité, comparez le reste au diviseur.

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  1. Question 1. Dans la dernière égalité, comparez le reste au diviseur.
  2. Question 2. \(a=306+5=311\).
  3. Question 3. \(278-5=273\), puis \(273\div13=21\), donc \(q=21\).
  4. Question 4. Le reste \(14\) n’est pas inférieur au diviseur \(12\).

Division décimale et valeur approchée

La division décimale se poursuit après la virgule afin d’obtenir un quotient exact ou approché.

Exercice 4 : Quotients décimaux simples

Facile

Calculer les quotients suivants.

  1. Calculer \(45\div4\).
  2. a. Calculer \(17,5\div5\). b. Calculer \(8,4\div0,7\).
Indication

Pour le dernier quotient, multipliez dividende et diviseur par \(10\).

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  1. Question 1. \(45\div4=11,25\).
  2. Question 2. a. \(17,5\div5=3,5\). b. \(8,4\div0,7=84\div7=12\).

Exercice 5 : Donner un quotient approché

Moyen

On considère la division \(53\div6\).

  1. Donner le quotient au dixième par défaut.
  2. Donner le quotient au dixième par excès.
  3. Donner l’arrondi au dixième.
Indication

\(53\div6=8,8333\ldots\). Distinguez encadrement et arrondi.

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  1. Question 1. Par défaut au dixième : \(8,8\).
  2. Question 2. Par excès au dixième : \(8,9\).
  3. Question 3. Le chiffre des centièmes est \(3\), donc l’arrondi est \(8,8\).

Choisir la bonne division dans un problème

Le contexte décide si le reste doit être conservé, si l’on arrondit ou si l’on cherche un prix unitaire.

Exercice 6 : Former des équipes complètes

Moyen

Un tournoi réunit \(143\) élèves. Les équipes doivent compter \(8\) joueurs.

  1. Quelle première étape permet d’aborder « former des équipes complètes » sans tâtonner ?
  2. Combien d’équipes complètes peut-on former ?
  3. Combien d’élèves restent sans équipe complète ?
  4. Combien d’équipes faut-il prévoir pour faire participer tout le monde ?
Indication

Effectuez une division euclidienne, puis interprétez le reste pour la dernière question.

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  1. Question 1. Effectuez une division euclidienne, puis interprétez le reste pour la dernière question.
  2. Question 2. \(143=8\times17+7\), donc \(17\) équipes complètes.
  3. Question 3. Il reste \(7\) élèves.
  4. Question 4. Il faut prévoir une dix-huitième équipe, même incomplète.

Exercice 7 : Partager une somme d’argent

Moyen

Cinq amis partagent équitablement une dépense de \(73,50\) €.

  1. Quelle opération faut-il effectuer ?
  2. a. Calculer la part de chacun. b. Vérifier le résultat par une multiplication.
Indication

Un partage équitable conduit à une division décimale.

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  1. Question 1. Il faut calculer \(73,50\div5\).
  2. Question 2. a. Chaque ami paie \(14,70\) €. b. \(14,70\times5=73,50\) €.

Exercice 8 : Conditionner des bouteilles

Difficile

Une usine doit ranger \(1\,250\) bouteilles dans des cartons de \(24\), puis transporter les cartons par palettes de \(10\).

  1. Combien de cartons complets obtient-on et combien de bouteilles restent ?
  2. Combien de cartons sont nécessaires pour tout ranger ?
  3. Combien de palettes sont nécessaires pour tous les cartons ?
Indication

Chaque reste non nul impose un contenant supplémentaire.

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  1. Question 1. \(1\,250=24\times52+2\) : \(52\) cartons complets et \(2\) bouteilles.
  2. Question 2. Il faut \(53\) cartons.
  3. Question 3. \(53=10\times5+3\), donc il faut \(6\) palettes.

Quotients, valeurs unitaires et interprétation

Ces situations finales obligent à distinguer résultat exact, valeur décimale et réponse adaptée au contexte.

Exercice 9 : Diviser par 10, 100 ou 1 000

Facile

Calculer mentalement \(458\div10\), \(73,2\div100\) et \(6\,500\div1\,000\).

  1. Avant de répondre, quel élément important faut-il identifier dans « diviser par 10, 100 ou 1 000 » ?
  2. Donner les trois quotients.
  3. Expliquer le déplacement de la virgule pour \(73,2\div100\).
  4. Vérifier \(6\,500\div1\,000\) par une multiplication.
Indication

Diviser par \(100\) rend le nombre cent fois plus petit.

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  1. Question 1. Diviser par \(100\) rend le nombre cent fois plus petit.
  2. Question 2. \(45,8\), \(0,732\) et \(6,5\).
  3. Question 3. La virgule est déplacée de deux rangs vers la gauche.
  4. Question 4. \(6,5\times1\,000=6\,500\).

Exercice 10 : Calculer un prix à l’unité

Moyen

Six cahiers identiques coûtent \(14,70\) €.

  1. Quelle opération donne le prix d’un cahier ?
  2. a. Calculer ce prix. b. Combien coûtent \(9\) cahiers au même prix ?
Indication

Le prix unitaire est le prix total divisé par le nombre d’objets.

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  1. Question 1. \(14,70\div6\).
  2. Question 2. a. Un cahier coûte \(2,45\) €. b. \(9\times2,45=22,05\) €.

Exercice 11 : Interpréter quotient et reste

Difficile

Un club transporte \(173\) élèves dans des minibus de \(12\) places.

  1. Effectuer la division euclidienne de \(173\) par \(12\).
  2. Combien de minibus seront complètement remplis ?
  3. Combien faut-il réserver de minibus au total et pourquoi ?
Indication

Un reste non nul impose un véhicule supplémentaire.

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  1. Question 1. \(173=12\times14+5\).
  2. Question 2. \(14\) minibus seront complets.
  3. Question 3. Il faut \(15\) minibus, car les \(5\) élèves restants doivent aussi être transportés.
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