Distributivité 4ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur la distributivité en 4ème entraînent à développer quand il faut supprimer des parenthèses et à factoriser quand il faut faire apparaître un produit. Le cours sur le développement et la factorisation fournit les méthodes.

Les expressions s'appuient sur les acquis du calcul littéral. Chaque correction nomme le facteur commun ou le produit distribué afin de rendre le choix reproductible.

Développer avec la distributivité simple

Le facteur extérieur multiplie chacun des termes placés dans la parenthèse.

Exercice 1 : Premiers développements

Facile

Développer et réduire A=4(x+7)A=4(x+7), B=6(3x−5)B=6(3x-5) et C=−2(x+9)C=-2(x+9).

  1. Développer AA.
  2. Développer BB.
  3. Développer CC.
Indication

Multipliez le facteur extérieur par chaque terme, en conservant les signes.

Voir le corrigé
  1. A=4x+28A=4x+28.
  2. B=18x−30B=18x-30.
  3. C=−2x−18C=-2x-18.

Dans CC, le facteur négatif rend négatifs les deux produits.

Exercice 2 : Un signe moins devant la parenthèse

Moyen

Réduire D=7−(3x−4)D=7-(3x-4), E=5x−(2x+9)E=5x-(2x+9) et F=−(4a−3)+2aF=-(4a-3)+2a.

  1. Supprimer les parenthèses.
  2. Réduire les trois expressions.
  3. Expliquer le changement de signes.
Indication

Soustraire une parenthèse revient à la multiplier par −1-1.

Voir le corrigé
  1. D=7−3x+4D=7-3x+4, E=5x−2x−9E=5x-2x-9, F=−4a+3+2aF=-4a+3+2a.
  2. D=11−3xD=11-3x, E=3x−9E=3x-9, F=−2a+3F=-2a+3.
  3. Le facteur −1-1 multiplie chacun des termes de la parenthèse, donc tous leurs signes changent.

Exercice 3 : Développer puis évaluer

Moyen

Soit G=3(2x−5)+4(x+1)G=3(2x-5)+4(x+1).

  1. Développer GG.
  2. Réduire GG.
  3. Calculer GG pour x=−2x=-2.
  4. Vérifier avec l'expression initiale.
Indication

Développez séparément les deux produits, puis regroupez les termes en xx.

Voir le corrigé
  1. G=6x−15+4x+4G=6x-15+4x+4.
  2. G=10x−11G=10x-11.
  3. Pour x=−2x=-2, G=−20−11=−31G=-20-11=-31.
  4. Dans l'expression initiale, 3(−9)+4(−1)=−27−4=−313(-9)+4(-1)=-27-4=-31.

Maîtriser la double distributivité

Chaque terme du premier facteur doit multiplier chaque terme du second facteur.

Exercice 4 : Deux binômes positifs

Facile

Développer H=(x+3)(x+5)H=(x+3)(x+5) et K=(2x+1)(x+4)K=(2x+1)(x+4).

  1. Développer HH.
  2. Réduire HH.
  3. Développer et réduire KK.
Indication

Tracez mentalement quatre produits : premier par premier, premier par second, puis les deux produits issus du second terme.

Voir le corrigé
  1. H=x2+5x+3x+15H=x^2+5x+3x+15.
  2. H=x2+8x+15H=x^2+8x+15.
  3. K=2x2+8x+x+4=2x2+9x+4K=2x^2+8x+x+4=2x^2+9x+4.

Exercice 5 : Signes dans quatre produits

Moyen

Développer L=(x−6)(x+2)L=(x-6)(x+2) et M=(3x−4)(2x−5)M=(3x-4)(2x-5).

  1. Développer et réduire LL.
  2. Développer MM.
  3. Réduire MM.
  4. Contrôler les termes constants.
Indication

Le terme constant provient du produit des deux constantes ; son signe est un premier contrôle.

Voir le corrigé
  1. L=x2+2x−6x−12=x2−4x−12L=x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12.
  2. M=6x2−15x−8x+20M=6x^2-15x-8x+20.
  3. M=6x2−23x+20M=6x^2-23x+20.
  4. Les constantes valent (−6)×2=−12(-6)\times2=-12 et (−4)×(−5)=20(-4)\times(-5)=20, conformément aux résultats.

Exercice 6 : La diagonale oubliée

Moyen

Sara écrit (x+4)(x+7)=x2+28(x+4)(x+7)=x^2+28.

  1. Repérer les produits oubliés.
  2. Corriger le développement.
  3. Vérifier pour x=1x=1.
Indication

Deux termes par deux termes donnent quatre produits, pas seulement deux.

Voir le corrigé
  1. Les produits x×7x\times7 et 4×x4\times x ont été oubliés.
  2. (x+4)(x+7)=x2+7x+4x+28=x2+11x+28(x+4)(x+7)=x^2+7x+4x+28=x^2+11x+28.
  3. Pour x=1x=1, le produit initial vaut 5×8=405\times8=40 et la forme corrigée 1+11+28=401+11+28=40, tandis que la copie donne 2929.

Factoriser par un facteur commun

Factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en produit en extrayant ce qui est commun.

Exercice 7 : Facteurs numériques et littéraux

Facile

Factoriser N=6x+18N=6x+18, P=15a−25P=15a-25 et Q=8x2+12xQ=8x^2+12x.

  1. Factoriser NN.
  2. Factoriser PP.
  3. Factoriser QQ.
  4. Vérifier un résultat en développant.
Indication

Cherchez le plus grand facteur commun aux coefficients et la plus petite puissance commune de la lettre.

Voir le corrigé
  1. N=6(x+3)N=6(x+3).
  2. P=5(3a−5)P=5(3a-5).
  3. Q=4x(2x+3)Q=4x(2x+3).
  4. Par exemple, 4x(2x+3)=8x2+12x4x(2x+3)=8x^2+12x, ce qui retrouve QQ.

Exercice 8 : Faire apparaître le même facteur

Moyen

Factoriser R=(x+2)(3x−1)+5(x+2)R=(x+2)(3x-1)+5(x+2) et S=7(2x−3)−(x+4)(2x−3)S=7(2x-3)-(x+4)(2x-3).

  1. Nommer le facteur commun de RR.
  2. Factoriser et réduire RR.
  3. Nommer le facteur commun de SS.
  4. Factoriser SS.
  5. Vérifier la structure sans tout développer.
Indication

Considérez chaque expression parenthésée répétée comme un seul objet.

Voir le corrigé
  1. Le facteur commun de RR est x+2x+2.
  2. R=(x+2)[(3x−1)+5]=(x+2)(3x+4)R=(x+2)[(3x-1)+5]=(x+2)(3x+4).
  3. Le facteur commun de SS est 2x−32x-3.
  4. S=(2x−3)[7−(x+4)]=(2x−3)(3−x)S=(2x-3)[7-(x+4)]=(2x-3)(3-x).
  5. Chaque produit redonne les deux termes initiaux lorsqu'on le distribue.

Exercice 9 : Factorisation ou réduction

Difficile

On donne T=12x2−18x+6x−9T=12x^2-18x+6x-9.

  1. Réduire d'abord TT.
  2. Factoriser la forme réduite par le plus grand facteur commun.
  3. Regrouper autrement les quatre termes pour obtenir une factorisation en deux facteurs.
  4. Vérifier que les deux formes factorisées coïncident.
Indication

La réduction donne deux termes. Pour le regroupement, associez les deux premiers puis les deux derniers.

Voir le corrigé
  1. T=12x2−12x−9T=12x^2-12x-9.
  2. T=3(4x2−4x−3)T=3(4x^2-4x-3).
  3. En groupant, T=6x(2x−3)+3(2x−3)=(2x−3)(6x+3)=3(2x−3)(2x+1)T=6x(2x-3)+3(2x-3)=(2x-3)(6x+3)=3(2x-3)(2x+1).
  4. Développer 3(2x−3)(2x+1)3(2x-3)(2x+1) donne 3(4x2−4x−3)3(4x^2-4x-3), identique à la première factorisation.

Choisir une forme efficace

Développée, réduite ou factorisée, une même expression peut rendre un calcul ou une preuve plus simple.

Exercice 10 : Calcul mental avec distributivité

Facile

Calculer sans poser l'opération 37×9937\times99, 52×10152\times101 et 18×47+18×5318\times47+18\times53.

  1. Calculer les trois valeurs.
  2. Écrire pour chacune la distributivité utilisée.
Indication

Utilisez 99=100−199=100-1, 101=100+1101=100+1 et le facteur commun 1818.

Voir le corrigé

37×99=37(100−1)=3 700−37=3 66337\times99=37(100-1)=3\,700-37=3\,663. 52×101=52(100+1)=5 25252\times101=52(100+1)=5\,252. Enfin 18×47+18×53=18(47+53)=18×100=1 80018\times47+18\times53=18(47+53)=18\times100=1\,800.

Exercice 11 : Aire d’un cadre

Moyen

Un rectangle extérieur mesure x+6x+6 cm sur x+4x+4 cm. On retire à l'intérieur un rectangle de xx cm sur x−2x-2 cm.

  1. Écrire l'aire du cadre.
  2. Développer puis réduire.
  3. Calculer l'aire pour x=8x=8.
  4. Vérifier par les deux aires numériques.
Indication

L'aire du cadre est aire extérieure moins aire intérieure.

Voir le corrigé
  1. A=(x+6)(x+4)−x(x−2)A=(x+6)(x+4)-x(x-2).
  2. A=x2+10x+24−(x2−2x)=12x+24A=x^2+10x+24-(x^2-2x)=12x+24.
  3. Pour x=8x=8, A=120 cm2A=120\ \mathrm{cm}^2.
  4. L'extérieur vaut 14×12=16814\times12=168 et l'intérieur 8×6=488\times6=48, donc 168−48=120168-48=120.

Exercice 12 : Prouver une divisibilité

Difficile

Pour un entier nn, on considère U=(n+3)(n+5)−n(n+8)U=(n+3)(n+5)-n(n+8).

  1. Développer et réduire UU.
  2. Montrer que UU ne dépend pas de nn.
  3. En déduire que UU est divisible par 33.
  4. Vérifier pour deux valeurs entières de nn.
Indication

Développez les deux produits avec soin ; les termes en n2n^2 et en nn doivent s'annuler.

Voir le corrigé
  1. U=n2+8n+15−(n2+8n)=15U=n^2+8n+15-(n^2+8n)=15.
  2. Tous les termes contenant nn disparaissent, donc la valeur est constante.
  3. 15=3×515=3\times5, donc UU est toujours divisible par 33.
  4. Pour n=0n=0, U=15U=15 ; pour n=2n=2, U=5×7−2×10=35−20=15U=5\times7-2\times10=35-20=15.
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