Décomposition en éléments simples (cours)

Rappels : fractions rationnelles et polynômes irréductibles

Avant d'aborder la décomposition, il est indispensable de maîtriser quelques notions fondamentales sur les fractions rationnelles et la factorisation des polynômes.

Définition d’une fraction rationnelle

Le degré de $F = P/Q$ est défini par $\deg(F) = \deg(P) - \deg(Q) \in \mathbb{Z} \cup \{-\infty\}$. Lorsque $\deg(F) < 0$, on dit que $F$ est une fraction strictement propre (ou de partie entière nulle).

Pôles d’une fraction rationnelle

L'ordre du pôle joue un rôle central : il détermine le nombre de termes que la décomposition en éléments simples doit faire apparaître pour ce pôle.

Polynômes irréductibles sur ℝ

Sur $\mathbb{C}$, tout polynôme de degré $\geq 1$ admet une racine (théorème de d'Alembert–Gauss), donc tout polynôme se factorise en facteurs de degré 1. Sur $\mathbb{R}$, la situation est différente : les polynômes irréductibles sont soit de degré 1 (de la forme $X - a$, $a \in \mathbb{R}$), soit de degré 2 à discriminant strictement négatif (de la forme $X^2 + pX + q$ avec $p^2 - 4q < 0$). Cette distinction est à l'origine de la différence entre la décomposition sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$.

La partie entière d’une fraction rationnelle

La première étape systématique de toute décomposition en éléments simples consiste à extraire la partie entière de la fraction, c'est-à-dire la « partie polynomiale ».

Si $\deg(P) < \deg(Q)$, la division euclidienne donne $E = 0$ et $R = P$ : la partie entière est nulle et $F$ est déjà strictement propre. Si $\deg(P) \geq \deg(Q)$, il faut effectuer la division pour extraire $E$.

Erreur classique : tenter de décomposer une fraction dont le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur sans avoir préalablement extrait la partie entière. La forme a priori de la décomposition serait alors incorrecte.

Théorème de décomposition en éléments simples

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat central du cours.

Décomposition sur ℂ

Chaque fraction $\dfrac{a_{k,i}}{(X - a_k)^i}$ est appelée un élément simple (sur $\mathbb{C}$, tous les éléments simples sont de cette forme). L'unicité garantit qu'il n'y a qu'une seule décomposition possible, ce qui est fondamental pour les techniques de calcul.

Décomposition sur ℝ

Intuition : pourquoi cette forme ?

Voici une façon de comprendre intuitivement pourquoi la décomposition prend cette forme. Chaque pôle $a_k$ d'ordre $\alpha_k$ introduit une « singularité » dans $F$ : au voisinage de $a_k$, la fraction se comporte comme une combinaison de $\frac{1}{X - a_k}, \frac{1}{(X - a_k)^2}, \ldots, \frac{1}{(X - a_k)^{\alpha_k}}$. La décomposition en éléments simples isole précisément cette contribution locale de chaque pôle. Le reste, une fois toutes ces contributions soustraites, est un polynôme (la partie entière $E$).

Sur $\mathbb{R}$, un facteur irréductible quadratique $X^2 + pX + q$ correspond à une paire de racines complexes conjuguées. Plutôt que d'utiliser ces nombres complexes, on préfère regrouper leur contribution en un élément réel de la forme $\frac{bX + c}{(X^2 + pX + q)^j}$, ce qui reste entièrement dans $\mathbb{R}$.

Méthodes de calcul des coefficients

En pratique, l'étape la plus délicate est la détermination des coefficients $a_{k,j}$, $b_{l,j}$, $c_{l,j}$. Plusieurs techniques, complémentaires, sont à connaître.

Méthode de multiplication et substitution (pôles réels)

Pour un pôle simple $a$ (cas $m = 1$), cette formule se simplifie élégamment. Si $Q = (X - a) \cdot Q_1$ avec $Q_1(a) \neq 0$, alors :

C'est la formule du résidu en un pôle simple. Elle est extrêmement rapide à utiliser dès que $Q'(a)$ est facile à calculer.

Méthode d’identification des coefficients

On remet la forme a priori de la décomposition sur le dénominateur commun $Q$, et on identifie les coefficients de chaque puissance de $X$ des deux membres. On obtient un système linéaire dont les inconnues sont les coefficients cherchés. Cette méthode est universelle et toujours applicable, mais elle peut devenir fastidieuse si le nombre de coefficients est élevé.

Évaluation en des valeurs numériques

Une fois certains coefficients déterminés par les méthodes précédentes, il peut rester un ou quelques coefficients inconnus. On peut alors substituer une valeur numérique simple (par exemple $X = 0$, $X = 1$ ou $X = -1$) dans l'égalité entre $F$ et sa décomposition pour obtenir une équation supplémentaire reliant les coefficients restants.

Comportement à l’infini

Si $\deg(F) < 0$ (fraction strictement propre), on a $\lim_{X \to \infty} X \cdot F(X) = 0$ ou une valeur finie déterminée par les coefficients dominants. En multipliant l'égalité de décomposition par $X$ et en faisant tendre $X$ vers l'infini, on obtient une relation supplémentaire entre les coefficients. C'est particulièrement utile pour trouver un dernier coefficient sans résoudre un système.

Utilisation de la parité

Si la fraction $F$ est paire ($F(-X) = F(X)$) ou impaire ($F(-X) = -F(X)$), l'unicité de la décomposition impose des relations entre les coefficients associés à $a_k$ et $-a_k$. Cela permet souvent de diviser par deux le nombre de coefficients à calculer.

Méthode générale pas à pas

Voici la procédure complète à suivre pour toute décomposition en éléments simples :

1. Vérifier que la fraction est irréductible. Si $P$ et $Q$ ont des facteurs communs, les simplifier avant tout.
2. Calculer la partie entière. Si $\deg(P) \geq \deg(Q)$, effectuer la division euclidienne de $P$ par $Q$. Écrire $F = E + R/Q$ avec $\deg(R) < \deg(Q)$. Si $\deg(P) < \deg(Q)$, la partie entière est nulle.
3. Factoriser le dénominateur $Q$ en facteurs irréductibles sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$ selon le corps de travail).
4. Écrire la forme a priori de la décomposition. Pour chaque pôle réel $a_k$ d'ordre $\alpha_k$, on place les termes $\frac{a_{k,1}}{X - a_k} + \frac{a_{k,2}}{(X-a_k)^2} + \cdots + \frac{a_{k,\alpha_k}}{(X - a_k)^{\alpha_k}}$. Pour chaque facteur quadratique irréductible $(X^2 + p_l X + q_l)^{\beta_l}$, on place les termes analogues à numérateur linéaire.
5. Déterminer les coefficients en combinant les méthodes : multiplication-substitution pour les coefficients associés aux puissances maximales de chaque pôle, puis évaluation numérique ou identification pour les coefficients restants.
6. Vérifier en repassant au même dénominateur (au moins partiellement) pour confirmer la cohérence.

Décomposition sur ℂ puis passage sur ℝ

Lorsque le dénominateur possède des facteurs irréductibles quadratiques sur $\mathbb{R}$, une stratégie efficace consiste à d'abord travailler sur $\mathbb{C}$, puis à revenir sur $\mathbb{R}$ en regroupant les termes conjugués.

Concrètement : si $z_0 = \alpha + i\beta$ (avec $\beta \neq 0$) est un pôle simple de $F \in \mathbb{R}(X)$, son conjugué $\overline{z_0} = \alpha - i\beta$ est aussi pôle simple. Les coefficients associés dans la décomposition complexe sont conjugués. La somme des deux éléments simples complexes correspondants est :

avec $b, c \in \mathbb{R}$. Ce regroupement est toujours possible et légitime pour des fractions à coefficients réels.

Preuve du théorème d’existence et d’unicité

Existence (schéma de la preuve)

La preuve repose sur le lemme suivant, démontré par récurrence.

En appliquant ce lemme successivement à chacun des facteurs irréductibles de $Q$, et en itérant sur les puissances, on extrait terme à terme tous les éléments simples. L'existence est ainsi constructive.

Unicité

Supposons deux décompositions $D_1$ et $D_2$ de la même fraction. Leur différence $D_1 - D_2 = 0$ est une somme d'éléments simples égale à zéro. En multipliant par $(X - a_k)^{e_k}$ et en évaluant en $X = a_k$, on montre que chaque coefficient est nul. On conclut que $D_1 = D_2$. L'unicité découle directement de l'indépendance des éléments simples dans l'espace des fractions rationnelles.

Application : calcul de primitives de fractions rationnelles

L'intérêt majeur de la décomposition en éléments simples est de ramener le calcul d'une primitive d'une fraction rationnelle quelconque à une liste finie de primitives connues.

Ainsi, quelle que soit la fraction rationnelle, sa primitive se calcule en un nombre fini d'opérations algébriques dès lors que l'on sait factoriser le dénominateur.

Conclusion

La décomposition en éléments simples est un outil central de l'algèbre et de l'analyse mathématique. Elle repose sur un théorème d'existence et d'unicité solide, fondé sur la factorisation des polynômes et la division euclidienne. Sa mise en œuvre suit une méthode rigoureuse en plusieurs étapes : simplification de la fraction, extraction de la partie entière, factorisation du dénominateur, écriture de la forme a priori, puis calcul des coefficients par des techniques complémentaires (résidu, identification, évaluation, limite).

Sur $\mathbb{R}$, la présence possible de facteurs quadratiques irréductibles enrichit la décomposition avec des éléments de deuxième espèce, dont la primitive fait intervenir l'arc tangente. Sur $\mathbb{C}$, la décomposition est plus homogène mais nécessite de travailler avec des nombres complexes.

Maîtriser la décomposition en éléments simples, c'est acquérir la clé qui ouvre le calcul intégral des fractions rationnelles, la résolution d'équations différentielles à coefficients constants, et la sommation de certaines séries. C'est une technique que l'on retrouve à chaque niveau du cursus mathématique, du CPGE au Master.