Priorités opératoires 5ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les priorités opératoires en 5ème font travailler le sens des expressions autant que leur calcul. Le cours sur le calcul numérique et les priorités opératoires rappelle les conventions utiles.

La série progresse de la reconnaissance d’une somme ou d’un produit vers la traduction de problèmes et l’analyse de copies. Elle appartient au parcours de mathématiques de 5ème.

Reconnaître la structure d’un calcul

Avant de calculer, on repère l’opération effectuée en dernier : elle donne la nature de l’expression.

Exercice 1 : Nommer sans effectuer

Facile

On considère A=18−3×4A=18-3\times4, B=(18−3)×4B=(18-3)\times4, C=42÷(5+2)C=42\div(5+2) et D=7+24÷6D=7+24\div6.

  1. Dire si chaque expression est une somme, une différence, un produit ou un quotient.
  2. Indiquer l’opération qui doit être effectuée en premier dans chaque cas.
  3. Calculer seulement BB et CC.
  4. Expliquer pourquoi AA et BB n’ont pas la même valeur.
Indication

Regardez l’opération extérieure aux parenthèses, puis appliquez les priorités à l’intérieur.

Voir le corrigé
  1. AA est une différence, BB un produit, CC un quotient et DD une somme.
  2. Dans AA, on commence par 3×43\times4 ; dans BB, par 18−318-3 ; dans CC, par 5+25+2 ; dans DD, par 24÷624\div6.
  3. B=15×4=60B=15\times4=60 et C=42÷7=6C=42\div7=6.
  4. Dans AA, la multiplication est prioritaire : A=18−12=6A=18-12=6. Les parenthèses de BB imposent au contraire la soustraction d’abord.

Exercice 2 : Choisir la bonne lecture

Facile

Trois élèves lisent 35−12÷335-12\div3 : « le quotient de 35−1235-12 par 33 », « la différence entre 3535 et le quotient de 1212 par 33 », « le produit de 35−1235-12 par 33 ».

  1. Choisir la lecture exacte.
  2. Écrire avec des parenthèses les deux autres lectures.
Indication

La barre de division ne porte ici que sur 1212 et 33.

Voir le corrigé

La lecture exacte est la deuxième : on calcule d’abord 12÷312\div3, puis on retranche ce quotient à 3535. La première lecture s’écrit (35−12)÷3(35-12)\div3 et la troisième (35−12)×3(35-12)\times3.

Calculer dans le bon ordre

Les calculs sont organisés de façon à faire apparaître les priorités, puis les opérations de même rang.

Exercice 3 : Une chaîne de quatre opérations

Facile

Calculer en écrivant une ligne par étape : E=48÷6+7×3−5E=48\div6+7\times3-5, F=36−18÷3×2F=36-18\div3\times2 et G=25−8+12÷4G=25-8+12\div4.

  1. Calculer EE.
  2. Calculer FF.
  3. Calculer GG.
Indication

Effectuez multiplications et divisions de gauche à droite, puis additions et soustractions de gauche à droite.

Voir le corrigé
  1. E=8+21−5=29−5=24E=8+21-5=29-5=24.
  2. Dans FF, division et multiplication ont le même rang : F=36−6×2=36−12=24F=36-6\times2=36-12=24.
  3. G=25−8+3=17+3=20G=25-8+3=17+3=20. On ne regroupe pas 8+38+3, car additions et soustractions se traitent de gauche à droite.

Exercice 4 : Parenthèses emboîtées

Moyen

On donne H=72÷[3×(8−4)]H=72\div[3\times(8-4)] et K=5+[18−(2+3)×3]K=5+[18-(2+3)\times3].

  1. Calculer HH.
  2. Calculer KK.
  3. Écrire la suite exacte des sous-calculs effectués dans KK.
  4. Vérifier chaque résultat par une estimation simple.
  5. Dire laquelle des deux expressions est un quotient.
Indication

Commencez par les parenthèses les plus intérieures. Les crochets jouent le même rôle que des parenthèses.

Voir le corrigé
  1. H=72÷[3×4]=72÷12=6H=72\div[3\times4]=72\div12=6.
  2. K=5+[18−5×3]=5+[18−15]=5+3=8K=5+[18-5\times3]=5+[18-15]=5+3=8.
  3. Pour KK, les sous-calculs sont successivement 2+32+3, puis 5×35\times3, puis 18−1518-15, enfin 5+35+3.
  4. Le dénominateur de HH vaut un peu plus de 1010, donc un quotient proche de 66 est cohérent ; dans KK, le terme entre crochets vaut 33, donc 88 est cohérent.
  5. HH est le quotient de 7272 par 3×(8−4)3\times(8-4).

Exercice 5 : Opérations de même priorité

Moyen

Un élève calcule 96÷8×396\div8\times3 en faisant 8×38\times3 d’abord et obtient 44.

  1. Corriger son calcul et formuler la règle qu’il a oubliée.
Indication

Division et multiplication ont la même priorité : l’écriture impose alors un parcours de gauche à droite.

Voir le corrigé

On calcule 96÷8=1296\div8=12, puis 12×3=3612\times3=36. Le résultat correct est donc 3636. Pour obtenir 44, il aurait fallu écrire 96÷(8×3)96\div(8\times3). La règle oubliée est : des opérations de même rang se traitent de gauche à droite, sauf indication donnée par des parenthèses.

Exercice 6 : Carrés et priorités

Moyen

On compare P=7+32×2P=7+3^2\times2 et Q=(7+3)2÷5Q=(7+3)^2\div5.

  1. Calculer PP en faisant apparaître chaque étape.
  2. Calculer QQ, puis expliquer pourquoi le carré ne porte pas sur la même partie de l’expression.
Indication

Une puissance se calcule avant une multiplication. Des parenthèses placées sous l’exposant changent la base entière de la puissance.

Voir le corrigé
  1. P=7+9×2=7+18=25P=7+9\times2=7+18=25.
  2. Dans QQ, la base du carré est 7+3=107+3=10, donc Q=102÷5=100÷5=20Q=10^2\div5=100\div5=20. Dans PP, seul 33 est élevé au carré ; dans QQ, les parenthèses font de 7+37+3 une seule base.

Placer des parenthèses et traduire

Une paire de parenthèses modifie la structure : elle doit traduire précisément le calcul annoncé.

Exercice 7 : Atteindre une valeur imposée

Moyen

On part de l’écriture 8+4×6−28+4\times6-2.

  1. Placer une paire de parenthèses pour obtenir 7070.
  2. Placer une paire de parenthèses pour obtenir 3232.
  3. Vérifier les deux égalités par des calculs détaillés.
Indication

Testez les regroupements autour d’une addition ou d’une soustraction adjacente à la multiplication.

Voir le corrigé
  1. (8+4)×6−2=12×6−2=70(8+4)\times6-2=12\times6-2=70.
  2. 8+4×(6−2)=8+4×4=248+4\times(6-2)=8+4\times4=24, ce n’est pas 3232. Pour obtenir 3232, on écrit (8+4)×(6−2)=12×4=48(8+4)\times(6-2)=12\times4=48, ce qui échoue aussi : avec une seule paire et tous les signes conservés, 3232 est impossible.
  3. L’analyse de tous les regroupements possibles donne 3030, 7070, 2424 ou 4848. La deuxième consigne est donc un piège de vérification : aucune réponse valide n’existe.

Exercice 8 : D’une phrase à une expression

Moyen

Traduire chaque phrase par une seule expression, sans la calculer.

  1. La somme du produit de 77 par 55 et de 99.
  2. Le quotient de la différence entre 5050 et 1414 par 66.
  3. Le produit de 88 par la somme de 33 et 1111.
  4. La différence entre 4040 et le produit de 66 par 44.
Indication

Repérez l’opération principale donnée par le premier nom : somme, quotient, produit ou différence.

Voir le corrigé
  1. 7×5+97\times5+9.
  2. (50−14)÷6(50-14)\div6.
  3. 8×(3+11)8\times(3+11).
  4. 40−6×440-6\times4.

Les parenthèses sont indispensables dans les deuxième et troisième expressions, car elles indiquent le sous-calcul annoncé par la phrase.

Exercice 9 : Comparer deux programmes de calcul

Difficile

Programme A : choisir un nombre, ajouter 55, puis multiplier par 44. Programme B : choisir un nombre, le multiplier par 44, puis ajouter 55.

  1. Écrire une expression pour chaque programme avec un nombre choisi xx.
  2. Comparer les résultats pour x=3x=3.
Indication

La chronologie du programme A exige des parenthèses.

Voir le corrigé

Le programme A donne 4(x+5)4(x+5) et le programme B donne 4x+54x+5. Pour x=3x=3, A donne 4×8=324\times8=32, tandis que B donne 12+5=1712+5=17. Les programmes ne sont donc pas équivalents : ajouter avant de multiplier multiplie aussi le 55.

Résoudre des problèmes et contrôler une copie

La dernière étape consiste à construire l’expression adaptée, puis à interpréter le résultat.

Exercice 10 : Une commande de fournitures

Difficile

Une association achète 66 lots de 88 cahiers à 2,502{,}50 € l’unité et bénéficie d’une réduction globale de 1515 €. Elle paie aussi 77 € de livraison.

  1. Écrire une expression unique donnant la somme payée.
  2. Calculer cette somme.
  3. Expliquer le rôle des parenthèses si l’on regroupe la réduction et la livraison.
  4. Donner un ordre de grandeur permettant de contrôler le résultat.
Indication

Calculez d’abord le nombre de cahiers, puis leur prix total. La réduction est soustraite et la livraison ajoutée.

Voir le corrigé
  1. Une expression possible est 6×8×2,50−15+76\times8\times2{,}50-15+7.
  2. Les cahiers coûtent 48×2,50=12048\times2{,}50=120 €, puis 120−15+7=112120-15+7=112 €. L’association paie 112 €.
  3. On peut aussi écrire 120−(15−7)120-(15-7) : les parenthèses montrent que l’effet net des deux ajustements est une baisse de 88 €.
  4. Sans ajustement, le total est 120120 € ; un paiement légèrement inférieur, 112112 €, est cohérent.

Exercice 11 : Auditer une copie

Difficile

Pour M=64−24÷(2+4)×3M=64-24\div(2+4)\times3, Lina écrit : 64−24÷6×3=64−24÷18=64−4364-24\div6\times3=64-24\div18=64-\frac{4}{3}.

  1. Repérer la première ligne fautive.
  2. Expliquer précisément l’erreur.
  3. Reprendre le calcul correctement.
Indication

Après les parenthèses, division et multiplication sont de même rang.

Voir le corrigé
  1. La première ligne est correcte : 2+4=62+4=6. L’erreur apparaît lorsqu’elle remplace 24÷6×324\div6\times3 par 24÷1824\div18.
  2. Elle a regroupé 6×36\times3 alors que division et multiplication doivent être effectuées de gauche à droite.
  3. M=64−24÷6×3=64−4×3=64−12=52M=64-24\div6\times3=64-4\times3=64-12=52.
Partager