Le calcul de dérivées constitue une compétence fondamentale en analyse mathématique. Cette page propose une série d’exercices corrigés permettant de maîtriser progressivement les différentes formules de dérivation : dérivées de fonctions polynomiales, produits, quotients, fonctions composées, exponentielles et logarithmes. Chaque exercice est accompagné d’indications méthodologiques et de solutions détaillées pour favoriser une compréhension approfondie des techniques de dérivation.
Dérivées de fonctions polynomiales et puissances
Exercice 1 : Dérivées de fonctions polynomiales simples
Facile
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\) :
- \( f(x) = 5x^3 – 2x^2 + 7x – 3 \)
- \( g(x) = -4x^4 + 8x^2 – 12 \)
- \( h(x) = \frac{1}{2}x^5 – 3x + 9 \)
Indication
Appliquez la formule \((x^n)’ = nx^{n-1}\) terme par terme. La dérivée d’une constante est nulle.
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\( f'(x) = 5 \times 3x^2 – 2 \times 2x + 7 = 15x^2 – 4x + 7 \)
Solution de la question 2 :
\( g'(x) = -4 \times 4x^3 + 8 \times 2x = -16x^3 + 16x \)
Solution de la question 3 :
\( h'(x) = \frac{1}{2} \times 5x^4 – 3 = \frac{5}{2}x^4 – 3 \)
Exercice 2 : Dérivées avec puissances négatives
Facile
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et calculer \( f'(x) \) :
- \( f(x) = \frac{3}{x} + 2x \)
- \( f(x) = \frac{5}{x^2} – \frac{1}{x^3} \)
- \( f(x) = 7x^2 + \frac{4}{x^4} \)
Indication
Réécrivez \(\frac{1}{x^n}\) sous la forme \(x^{-n}\), puis appliquez la formule de dérivation des puissances. Le domaine de dérivabilité exclut les valeurs qui annulent le dénominateur.
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Domaine de définition et de dérivabilité : \(\mathbb{R}^*\)
\( f(x) = 3x^{-1} + 2x \)
\( f'(x) = 3 \times (-1)x^{-2} + 2 = -\frac{3}{x^2} + 2 \)
Solution de la question 2 :
Domaine de définition et de dérivabilité : \(\mathbb{R}^*\)
\( f(x) = 5x^{-2} – x^{-3} \)
\( f'(x) = 5 \times (-2)x^{-3} – (-3)x^{-4} = -\frac{10}{x^3} + \frac{3}{x^4} \)
Solution de la question 3 :
Domaine de définition et de dérivabilité : \(\mathbb{R}^*\)
\( f(x) = 7x^2 + 4x^{-4} \)
\( f'(x) = 14x + 4 \times (-4)x^{-5} = 14x – \frac{16}{x^5} \)
Exercice 3 : Simplification et factorisation de dérivées
Moyen
Soit \( f(x) = x^4 – 6x^3 + 9x^2 \) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \( f'(x) \).
- Factoriser \( f'(x) \) au maximum.
- Déterminer les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f'(x) = 0 \).
Indication
Après avoir calculé la dérivée, mettez en facteur le terme commun de plus haut degré possible.
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\( f'(x) = 4x^3 – 18x^2 + 18x \)
Solution de la question 2 :
\( f'(x) = 2x(2x^2 – 9x + 9) = 2x(2x – 3)(x – 3) \)
Solution de la question 3 :
\( f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x(2x – 3)(x – 3) = 0 \)
Les solutions sont : \( x = 0 \), \( x = \frac{3}{2} \) et \( x = 3 \)
Dérivées de produits et quotients de fonctions
Exercice 4 : Dérivée d’un produit de fonctions
Facile
Calculer la dérivée des fonctions suivantes en utilisant la formule \((uv)’ = u’v + uv’\) :
- \( f(x) = (3x + 2)(x^2 – 5) \)
- \( g(x) = (2x^2 + 1)(4x – 7) \)
Indication
Identifiez les fonctions \(u\) et \(v\), calculez leurs dérivées, puis appliquez la formule du produit.
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Posons \( u(x) = 3x + 2 \) et \( v(x) = x^2 – 5 \)
\( u'(x) = 3 \) et \( v'(x) = 2x \)
\( f'(x) = 3(x^2 – 5) + (3x + 2)(2x) \)
\( f'(x) = 3x^2 – 15 + 6x^2 + 4x = 9x^2 + 4x – 15 \)
Solution de la question 2 :
Posons \( u(x) = 2x^2 + 1 \) et \( v(x) = 4x – 7 \)
\( u'(x) = 4x \) et \( v'(x) = 4 \)
\( g'(x) = 4x(4x – 7) + (2x^2 + 1)(4) \)
\( g'(x) = 16x^2 – 28x + 8x^2 + 4 = 24x^2 – 28x + 4 \)
Exercice 5 : Dérivée d’un quotient de fonctions
Moyen
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée en utilisant la formule \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\) :
- \( f(x) = \frac{x + 3}{2x – 1} \)
- \( g(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 4} \)
Indication
Le domaine de dérivabilité exclut les valeurs qui annulent le dénominateur. Simplifiez le résultat final si possible.
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Domaine de dérivabilité : \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\)
Posons \( u(x) = x + 3 \) et \( v(x) = 2x – 1 \)
\( u'(x) = 1 \) et \( v'(x) = 2 \)
\( f'(x) = \frac{1 \times (2x – 1) – (x + 3) \times 2}{(2x – 1)^2} \)
\( f'(x) = \frac{2x – 1 – 2x – 6}{(2x – 1)^2} = \frac{-7}{(2x – 1)^2} \)
Solution de la question 2 :
Domaine de dérivabilité : \(\mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\)
Posons \( u(x) = x^2 + 1 \) et \( v(x) = x^2 – 4 \)
\( u'(x) = 2x \) et \( v'(x) = 2x \)
\( g'(x) = \frac{2x(x^2 – 4) – (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 – 4)^2} \)
\( g'(x) = \frac{2x^3 – 8x – 2x^3 – 2x}{(x^2 – 4)^2} = \frac{-10x}{(x^2 – 4)^2} \)
Exercice 6 : Dérivée combinant produit et quotient
Difficile
Soit \( f(x) = \frac{x^2(3x – 1)}{x + 2} \) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).
- Calculer \( f'(x) \).
- Simplifier l’expression obtenue en la mettant sous la forme d’une fraction irréductible.
- Étudier le signe de \( f'(x) \) sur le domaine de définition.
Indication
Posez \( u(x) = x^2(3x – 1) \) et \( v(x) = x + 2 \). Calculez d’abord \( u'(x) \) en utilisant la formule du produit, puis appliquez la formule du quotient.
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Posons \( u(x) = x^2(3x – 1) \) et \( v(x) = x + 2 \)
Calculons d’abord \( u'(x) \) :
\( u'(x) = 2x(3x – 1) + x^2 \times 3 = 6x^2 – 2x + 3x^2 = 9x^2 – 2x \)
\( v'(x) = 1 \)
\( f'(x) = \frac{(9x^2 – 2x)(x + 2) – x^2(3x – 1) \times 1}{(x + 2)^2} \)
Solution de la question 2 :
\( f'(x) = \frac{9x^3 + 18x^2 – 2x^2 – 4x – 3x^3 + x^2}{(x + 2)^2} \)
\( f'(x) = \frac{6x^3 + 17x^2 – 4x}{(x + 2)^2} = \frac{x(6x^2 + 17x – 4)}{(x + 2)^2} \)
Solution de la question 3 :
Le dénominateur \((x + 2)^2\) est toujours strictement positif sur le domaine.
Le signe de \( f'(x) \) dépend de \( x(6x^2 + 17x – 4) \).
Résolvons \( 6x^2 + 17x – 4 = 0 \) : \(\Delta = 289 + 96 = 385\)
Les racines sont \( x_1 = \frac{-17 – \sqrt{385}}{12} \approx -2,05 \) et \( x_2 = \frac{-17 + \sqrt{385}}{12} \approx 0,22 \)
\( f'(x) > 0 \) sur \( ]-2; 0[ \cup ]x_2; +\infty[ \) et \( f'(x) < 0 \) sur \( ]-\infty; x_1[ \cup ]0; x_2[ \)
Dérivées de fonctions composées
Exercice 7 : Dérivée de fonctions composées de type (ax + b)^n
Facile
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- \( f(x) = (2x + 3)^4 \)
- \( g(x) = (5 – 3x)^6 \)
- \( h(x) = (7x + 1)^{-2} \)
Indication
Utilisez la formule \((u^n)’ = nu’ \times u^{n-1}\) où \(u(x) = ax + b\).
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Posons \( u(x) = 2x + 3 \), alors \( u'(x) = 2 \)
\( f'(x) = 4 \times 2 \times (2x + 3)^3 = 8(2x + 3)^3 \)
Solution de la question 2 :
Posons \( u(x) = 5 – 3x \), alors \( u'(x) = -3 \)
\( g'(x) = 6 \times (-3) \times (5 – 3x)^5 = -18(5 – 3x)^5 \)
Solution de la question 3 :
Domaine de dérivabilité : \(\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{7}\right\}\)
Posons \( u(x) = 7x + 1 \), alors \( u'(x) = 7 \)
\( h'(x) = -2 \times 7 \times (7x + 1)^{-3} = \frac{-14}{(7x + 1)^3} \)
Exercice 8 : Dérivée de racines carrées composées
Moyen
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée :
- \( f(x) = \sqrt{3x + 7} \)
- \( g(x) = \sqrt{x^2 – 9} \)
- \( h(x) = 2x\sqrt{4x + 1} \)
Indication
Pour \(\sqrt{u}\), la formule est \((\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}\). Le domaine de dérivabilité exige \(u(x) > 0\).
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Domaine de dérivabilité : \( 3x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{7}{3} \), soit \( \left]-\frac{7}{3}; +\infty\right[ \)
Posons \( u(x) = 3x + 7 \), alors \( u'(x) = 3 \)
\( f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 7}} \)
Solution de la question 2 :
Domaine de dérivabilité : \( x^2 – 9 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 9 \), soit \( ]-\infty; -3[ \cup ]3; +\infty[ \)
Posons \( u(x) = x^2 – 9 \), alors \( u'(x) = 2x \)
\( g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 – 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 – 9}} \)
Solution de la question 3 :
Domaine de dérivabilité : \( \left]-\frac{1}{4}; +\infty\right[ \)
Il s’agit d’un produit : \( h(x) = 2x \times \sqrt{4x + 1} \)
\( h'(x) = 2\sqrt{4x + 1} + 2x \times \frac{4}{2\sqrt{4x + 1}} \)
\( h'(x) = 2\sqrt{4x + 1} + \frac{4x}{\sqrt{4x + 1}} = \frac{2(4x + 1) + 4x}{\sqrt{4x + 1}} = \frac{12x + 2}{\sqrt{4x + 1}} \)
Exercice 9 : Compositions multiples
Difficile
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- \( f(x) = \sqrt{(2x – 1)^3} \)
- \( g(x) = \left(\frac{3x + 2}{x – 1}\right)^4 \)
Indication
Identifiez les compositions successives et appliquez la formule de dérivation en chaîne. Pour la question 1, vous pouvez aussi simplifier \(\sqrt{u^3} = u^{3/2}\).
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Méthode 1 : \( f(x) = \sqrt{(2x – 1)^3} = (2x – 1)^{3/2} \)
\( f'(x) = \frac{3}{2} \times 2 \times (2x – 1)^{1/2} = 3\sqrt{2x – 1} \)
Méthode 2 : Posons \( v(x) = (2x – 1)^3 \), alors \( v'(x) = 3 \times 2 \times (2x – 1)^2 = 6(2x – 1)^2 \)
\( f'(x) = \frac{6(2x – 1)^2}{2\sqrt{(2x – 1)^3}} = \frac{3(2x – 1)^2}{(2x – 1)^{3/2}} = 3\sqrt{2x – 1} \)
Solution de la question 2 :
Domaine de dérivabilité : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\)
Posons \( u(x) = \frac{3x + 2}{x – 1} \)
\( u'(x) = \frac{3(x – 1) – (3x + 2)}{(x – 1)^2} = \frac{3x – 3 – 3x – 2}{(x – 1)^2} = \frac{-5}{(x – 1)^2} \)
\( g'(x) = 4 \times \frac{-5}{(x – 1)^2} \times \left(\frac{3x + 2}{x – 1}\right)^3 = \frac{-20(3x + 2)^3}{(x – 1)^5} \)
Dérivées de fonctions exponentielles
Exercice 10 : Dérivées d’exponentielles composées simples
Facile
Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\) :
- \( f(x) = e^{3x + 5} \)
- \( g(x) = e^{-2x} \)
- \( h(x) = 4e^{7x – 1} \)
Indication
Utilisez la formule \((e^u)’ = u’e^u\) où \(u(x) = ax + b\).
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\( f'(x) = 3e^{3x + 5} \)
Solution de la question 2 :
\( g'(x) = -2e^{-2x} \)
Solution de la question 3 :
\( h'(x) = 4 \times 7e^{7x – 1} = 28e^{7x – 1} \)
Exercice 11 : Produits avec exponentielle
Moyen
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- \( f(x) = xe^x \)
- \( g(x) = (2x^2 – 3)e^{4x} \)
- \( h(x) = (x^2 + x – 1)e^{-x} \)
Indication
Appliquez la formule du produit \((uv)’ = u’v + uv’\) en identifiant correctement les dérivées de la partie exponentielle.
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\( f'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = e^x(1 + x) \)
Solution de la question 2 :
\( g'(x) = 4x \times e^{4x} + (2x^2 – 3) \times 4e^{4x} \)
\( g'(x) = e^{4x}(4x + 8x^2 – 12) = e^{4x}(8x^2 + 4x – 12) \)
Solution de la question 3 :
\( h'(x) = (2x + 1)e^{-x} + (x^2 + x – 1) \times (-1)e^{-x} \)
\( h'(x) = e^{-x}(2x + 1 – x^2 – x + 1) = e^{-x}(-x^2 + x + 2) \)
Exercice 12 : Quotients et exponentielles
Difficile
Soit \( f(x) = \frac{e^{2x}}{x^2 + 1} \) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \( f'(x) \).
- Simplifier l’expression en factorisant par \( e^{2x} \).
- Étudier le signe de \( f'(x) \) et en déduire les variations de \( f \).
Indication
Appliquez la formule du quotient. Pour étudier le signe, notez que \( e^{2x} \) et \( (x^2 + 1)^2 \) sont toujours strictement positifs.
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Posons \( u(x) = e^{2x} \) et \( v(x) = x^2 + 1 \)
\( u'(x) = 2e^{2x} \) et \( v'(x) = 2x \)
\( f'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 + 1) – e^{2x} \times 2x}{(x^2 + 1)^2} \)
Solution de la question 2 :
\( f'(x) = \frac{e^{2x}(2x^2 + 2 – 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^{2x}(2x^2 – 2x + 2)}{(x^2 + 1)^2} \)
\( f'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 – x + 1)}{(x^2 + 1)^2} \)
Solution de la question 3 :
Étudions le signe de \( x^2 – x + 1 \) :
\( \Delta = 1 – 4 = -3 < 0 \), donc ce trinôme est toujours strictement positif.
Puisque \( e^{2x} > 0 \) et \( (x^2 + 1)^2 > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a \( f'(x) > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
La fonction \( f \) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Dérivées de fonctions logarithmes
Exercice 13 : Dérivées de logarithmes composés
Facile
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée :
- \( f(x) = \ln(3x + 5) \)
- \( g(x) = \ln(x^2) \)
- \( h(x) = \ln(4 – 2x) \)
Indication
Utilisez la formule \((\ln u)’ = \frac{u’}{u}\). Le domaine de dérivabilité exige \(u(x) > 0\).
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Domaine de dérivabilité : \( 3x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{5}{3} \), soit \( \left]-\frac{5}{3}; +\infty\right[ \)
\( f'(x) = \frac{3}{3x + 5} \)
Solution de la question 2 :
Domaine de dérivabilité : \( x^2 > 0 \Leftrightarrow x \neq 0 \), soit \(\mathbb{R}^*\)
\( g'(x) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \)
Solution de la question 3 :
Domaine de dérivabilité : \( 4 – 2x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \), soit \( ]-\infty; 2[ \)
\( h'(x) = \frac{-2}{4 – 2x} = \frac{-1}{2 – x} \)
Exercice 14 : Produits et quotients avec logarithme
Moyen
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- \( f(x) = x\ln(x) \) sur \( ]0; +\infty[ \)
- \( g(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) sur \( ]0; +\infty[ \)
- \( h(x) = x^2\ln(2x + 1) \) sur \( ]-\frac{1}{2}; +\infty[ \)
Indication
Appliquez les formules du produit ou du quotient selon les cas. Pour le logarithme, \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\).
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\( f'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \)
Solution de la question 2 :
\( g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x – \ln(x) \times 1}{x^2} = \frac{1 – \ln(x)}{x^2} \)
Solution de la question 3 :
\( h'(x) = 2x \times \ln(2x + 1) + x^2 \times \frac{2}{2x + 1} \)
\( h'(x) = 2x\ln(2x + 1) + \frac{2x^2}{2x + 1} \)
Exercice 15 : Logarithme et composition complexe
Difficile
Soit \( f(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{x – 1}\right) \) définie sur \( ]1; +\infty[ \).
- Calculer \( f'(x) \) en utilisant la formule de dérivation du logarithme d’un quotient.
- Simplifier l’expression obtenue.
- Montrer que \( f'(x) < 0 \) sur le domaine de définition.
Indication
Posez \( u(x) = \frac{x + 1}{x – 1} \) et calculez \( u'(x) \) avec la formule du quotient. Ensuite, \( f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \).
Voir le corrigé
Posons \( u(x) = \frac{x + 1}{x – 1} \)
\( u'(x) = \frac{1 \times (x – 1) – (x + 1) \times 1}{(x – 1)^2} = \frac{x – 1 – x – 1}{(x – 1)^2} = \frac{-2}{(x – 1)^2} \)
\( f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\frac{-2}{(x – 1)^2}}{\frac{x + 1}{x – 1}} \)
Solution de la question 2 :
\( f'(x) = \frac{-2}{(x – 1)^2} \times \frac{x – 1}{x + 1} = \frac{-2}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{-2}{x^2 – 1} \)
Solution de la question 3 :
Sur \( ]1; +\infty[ \), on a \( x > 1 \), donc \( x^2 – 1 > 0 \).
Par conséquent, \( f'(x) = \frac{-2}{x^2 – 1} < 0 \) pour tout \( x \in ]1; +\infty[ \).
La fonction \( f \) est donc strictement décroissante sur son domaine de définition.
Dérivées secondes et applications
Exercice 16 : Calcul de dérivées secondes
Facile
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée première \( f'(x) \) puis la dérivée seconde \( f^{\prime\prime}(x) \) :
- \( f(x) = 2x^4 – 3x^3 + 5x – 1 \)
- \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)
- \( f(x) = e^{3x} \)
Indication
La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première. Calculez d’abord \( f'(x) \), puis dérivez à nouveau.
Voir le corrigé
\( f'(x) = 8x^3 – 9x^2 + 5 \)
\( f^{\prime\prime}(x) = 24x^2 – 18x \)
Solution de la question 2 :
\( f(x) = x^{-2} \)
\( f'(x) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} \)
\( f^{\prime\prime}(x) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4} \)
Solution de la question 3 :
\( f'(x) = 3e^{3x} \)
\( f^{\prime\prime}(x) = 9e^{3x} \)
Exercice 17 : Étude de variations avec la dérivée
Moyen
Soit \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2 \) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \( f'(x) \) et factoriser l’expression obtenue.
- Étudier le signe de \( f'(x) \).
- En déduire le tableau de variations de \( f \).
- Calculer les extrema locaux de \( f \).
Indication
La dérivée sera un trinôme du second degré. Factorisez-le pour trouver ses racines et étudier son signe.
Voir le corrigé
\( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 1)(x – 3) \)
Solution de la question 2 :
\( f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \) ou \( x = 3 \)
Pour \( x < 1 \) : \( f'(x) > 0 \) (les deux facteurs sont négatifs)
Pour \( 1 < x < 3 \) : \( f'(x) < 0 \)
Pour \( x > 3 \) : \( f'(x) > 0 \) (les deux facteurs sont positifs)
Solution de la question 3 :
| \(x\) | \(-\infty\) | 1 | 3 | \(+\infty\) | |||
| \(f'(x)\) | + | 0 | – | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | 6 | ↘ | 2 | ↗ | \(+\infty\) |
Solution de la question 4 :
\( f(1) = 1 – 6 + 9 + 2 = 6 \) : maximum local en \( x = 1 \)
\( f(3) = 27 – 54 + 27 + 2 = 2 \) : minimum local en \( x = 3 \)
Exercice 18 : Étude complète avec dérivée seconde
Difficile
Soit \( f(x) = xe^{-x} \) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \( f'(x) \) et étudier son signe.
- Calculer \( f^{\prime\prime}(x) \) et étudier son signe.
- Construire le tableau de variations complet de \( f \).
- Déterminer les points d’inflexion de la courbe représentative de \( f \).
Indication
Les points d’inflexion correspondent aux valeurs où \( f^{\prime\prime}(x) = 0 \) et où \( f^{\prime\prime} \) change de signe.
Voir le corrigé
\( f'(x) = 1 \times e^{-x} + x \times (-1)e^{-x} = e^{-x}(1 – x) \)
Puisque \( e^{-x} > 0 \) pour tout \( x \), le signe de \( f'(x) \) est celui de \( 1 – x \).
\( f'(x) > 0 \Leftrightarrow x < 1 \) et \( f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 1 \)
Solution de la question 2 :
\( f^{\prime\prime}(x) = -e^{-x}(1 – x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(-1 + x – 1) = e^{-x}(x – 2) \)
Le signe de \( f^{\prime\prime}(x) \) est celui de \( x – 2 \).
\( f^{\prime\prime}(x) < 0 \Leftrightarrow x < 2 \) et \( f^{\prime\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow x > 2 \)
Solution de la question 3 :
| \(x\) | \(-\infty\) | 1 | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | + | 0 | – | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↗ | \(e^{-1}\) | ↘ | 0 |
Solution de la question 4 :
\( f^{\prime\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \)
\( f(2) = 2e^{-2} \)
La courbe admet un point d’inflexion en \( \left(2, 2e^{-2}\right) \).
La concavité change en ce point : concave vers le bas pour \( x < 2 \), concave vers le haut pour \( x > 2 \).
Équation de tangente et approximation affine
Exercice 19 : Équation de tangente à une courbe
Facile
Soit \( f(x) = x^3 – 2x + 1 \) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \( f(2) \) et \( f'(2) \).
- Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d’abscisse \( x = 2 \).
Indication
L’équation de la tangente en \( a \) est : \( y = f'(a)(x – a) + f(a) \).
Voir le corrigé
\( f(2) = 8 – 4 + 1 = 5 \)
\( f'(x) = 3x^2 – 2 \)
\( f'(2) = 3 \times 4 – 2 = 10 \)
Solution de la question 2 :
\( y = 10(x – 2) + 5 = 10x – 20 + 5 = 10x – 15 \)
L’équation de la tangente est : \( y = 10x – 15 \)
Exercice 20 : Tangente horizontale
Moyen
Soit \( f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x – 1} \) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
- Simplifier l’expression de \( f(x) \) en factorisant le numérateur.
- Calculer \( f'(x) \).
- Déterminer les points où la tangente à la courbe est horizontale.
Indication
Une tangente est horizontale lorsque \( f'(x) = 0 \). Factoriser le numérateur avant de simplifier peut faciliter les calculs.
Voir le corrigé
\( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \)
\( f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{x – 1} = x – 2 \) pour \( x \neq 1 \)
Solution de la question 2 :
\( f'(x) = 1 \) pour tout \( x \neq 1 \)
Solution de la question 3 :
Puisque \( f'(x) = 1 \neq 0 \) pour tout \( x \) du domaine, il n’existe aucun point où la tangente est horizontale.
La fonction simplifiée est en fait une fonction affine (avec un trou en \( x = 1 \)), donc toutes les tangentes ont le même coefficient directeur égal à 1.
Exercice 21 : Approximation affine
Difficile
Soit \( f(x) = \sqrt{x} \) définie sur \( ]0; +\infty[ \).
- Déterminer l’approximation affine de \( f \) au voisinage de \( x = 4 \).
- Utiliser cette approximation pour estimer la valeur de \( \sqrt{4{,}1} \).
- Comparer avec la valeur exacte et calculer l’erreur relative en pourcentage.
Indication
L’approximation affine au voisinage de \( a \) est donnée par la tangente : \( f(x) \approx f(a) + f'(a)(x – a) \).
Voir le corrigé
\( f(4) = 2 \)
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f'(4) = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4} \)
L’approximation affine est : \( f(x) \approx 2 + \frac{1}{4}(x – 4) = \frac{1}{4}x + 1 \)
Solution de la question 2 :
\( \sqrt{4{,}1} \approx \frac{1}{4} \times 4{,}1 + 1 = 1{,}025 + 1 = 2{,}025 \)
Solution de la question 3 :
Valeur exacte : \( \sqrt{4{,}1} \approx 2{,}024846 \)
Erreur absolue : \( |2{,}025 – 2{,}024846| \approx 0{,}000154 \)
Erreur relative : \( \frac{0{,}000154}{2{,}024846} \times 100 \approx 0{,}0076\% \)
L’approximation est donc très précise au voisinage de 4.
Applications et problèmes concrets
Exercice 22 : Optimisation d’une aire
Moyen
Un rectangle a un périmètre de 40 mètres. On note \( x \) la longueur d’un côté (en mètres) et \( A(x) \) l’aire du rectangle.
- Exprimer \( A(x) \) en fonction de \( x \).
- Déterminer le domaine de définition de \( A \).
- Calculer \( A'(x) \) et déterminer pour quelle valeur de \( x \) l’aire est maximale.
- Quelle est la forme du rectangle d’aire maximale ?
Indication
Si le périmètre est 40, alors \( 2x + 2y = 40 \), d’où \( y = 20 – x \). L’aire est \( A = xy \).
Voir le corrigé
Périmètre : \( 2x + 2y = 40 \Rightarrow y = 20 – x \)
Aire : \( A(x) = xy = x(20 – x) = 20x – x^2 \)
Solution de la question 2 :
Pour que le rectangle existe : \( x > 0 \) et \( y > 0 \)
\( y > 0 \Leftrightarrow 20 – x > 0 \Leftrightarrow x < 20 \)
Domaine : \( ]0; 20[ \)
Solution de la question 3 :
\( A'(x) = 20 – 2x \)
\( A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10 \)
Pour \( x < 10 \) : \( A'(x) > 0 \) (fonction croissante)
Pour \( x > 10 \) : \( A'(x) < 0 \) (fonction décroissante)
L’aire est maximale pour \( x = 10 \) mètres.
Solution de la question 4 :
Si \( x = 10 \), alors \( y = 20 – 10 = 10 \)
Le rectangle d’aire maximale est un carré de côté 10 mètres.
Aire maximale : \( A(10) = 100 \) m²
Exercice 23 : Coût marginal en économie
Moyen
Le coût de production de \( x \) objets (en centaines) est modélisé par la fonction \( C(x) = 0{,}5x^3 – 6x^2 + 30x + 50 \) (en milliers d’euros), définie sur \( [0; 15] \).
- Calculer le coût marginal \( C'(x) \).
- Déterminer pour quelle quantité le coût marginal est minimal.
- Interpréter économiquement ce résultat.
Indication
Le coût marginal minimal correspond au minimum de \( C'(x) \), c’est-à-dire aux valeurs où \( C^{\prime\prime}(x) = 0 \).
Voir le corrigé
\( C'(x) = 1{,}5x^2 – 12x + 30 \)
Solution de la question 2 :
\( C^{\prime\prime}(x) = 3x – 12 \)
\( C^{\prime\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4 \)
Pour \( x < 4 \) : \( C^{\prime\prime}(x) < 0 \) (coût marginal décroissant)
Pour \( x > 4 \) : \( C^{\prime\prime}(x) > 0 \) (coût marginal croissant)
Le coût marginal est minimal pour \( x = 4 \), soit 400 objets.
\( C'(4) = 1{,}5 \times 16 – 48 + 30 = 6 \) milliers d’euros
Solution de la question 3 :
Jusqu’à une production de 400 objets, le coût de production d’une unité supplémentaire diminue grâce aux économies d’échelle.
Au-delà de 400 objets, le coût marginal augmente, signalant une perte d’efficacité (saturation des capacités de production).
Le point \( x = 4 \) représente le niveau de production optimal en termes d’efficacité marginale.
Exercice 24 : Vitesse et accélération
Difficile
La position d’un mobile sur un axe est donnée par \( x(t) = t^3 – 9t^2 + 24t \) (en mètres) où \( t \) est le temps en secondes, pour \( t \in [0; 8] \).
- Calculer la vitesse \( v(t) = x'(t) \) et l’accélération \( a(t) = x^{\prime\prime}(t) \).
- À quels instants le mobile est-il immobile ?
- À quels instants l’accélération s’annule-t-elle ?
- Déterminer les intervalles où le mouvement est accéléré et où il est ralenti.
Indication
Le mouvement est accéléré quand \( v(t) \) et \( a(t) \) ont le même signe, ralenti quand ils sont de signes opposés.
Voir le corrigé
\( v(t) = 3t^2 – 18t + 24 = 3(t^2 – 6t + 8) = 3(t – 2)(t – 4) \)
\( a(t) = 6t – 18 = 6(t – 3) \)
Solution de la question 2 :
Le mobile est immobile quand \( v(t) = 0 \)
\( v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \) s ou \( t = 4 \) s
Solution de la question 3 :
\( a(t) = 0 \Leftrightarrow t = 3 \) s
Solution de la question 4 :
Étude des signes :
- Pour \( t \in [0; 2[ \) : \( v(t) > 0 \) et \( a(t) < 0 \) → mouvement ralenti
- Pour \( t \in ]2; 3[ \) : \( v(t) < 0 \) et \( a(t) < 0 \) → mouvement accéléré (vers l’arrière)
- Pour \( t \in ]3; 4[ \) : \( v(t) < 0 \) et \( a(t) > 0 \) → mouvement ralenti
- Pour \( t \in ]4; 8] \) : \( v(t) > 0 \) et \( a(t) > 0 \) → mouvement accéléré
Le mobile part avec une vitesse positive qui diminue jusqu’à \( t = 2 \) s, s’immobilise, repart en arrière en accélérant jusqu’à \( t = 3 \) s, ralentit jusqu’à \( t = 4 \) s où il s’immobilise à nouveau, puis repart en avant en accélérant.