Arithmétique dans N Exercices Corrigés

1. \(\in\) (car \(\frac{8}{2} = 4\))
2. \(\notin\) (irrationnel)
3. \(\notin\) (irrationnel)
4. \(\not\subset\) (car \(-\frac{15}{3} = -5\))
5. \(\subset\)

1. Pour être divisible par 3, \(9+a\) doit être un multiple de 3. \(a \in \{0, 3, 6, 9\}\).
2. Pour être divisible par 9, \(9+a\) doit être un multiple de 9. \(a \in \{0, 9\}\).

Comme 4 et 3 sont des nombres premiers entre eux (\(\text{PGCD}(4, 3) = 1\)), un nombre multiple des deux est nécessairement multiple de leur produit \(4 \times 3 = 12\). Cette propriété découle directement de la définition du PGCD.

Non, \(111111\) n’est pas un nombre premier car :

• La somme de ses chiffres est \(1 \times 6 = 6\), donc il est divisible par 3.
• Il est divisible par 11 (critère d’alternance).
• Il est divisible par 7 (\(111111 = 7 \times 15873\)).

En fait, \(111111 = 111 \times 1001 = (3 \times 37) \times (7 \times 11 \times 13)\).

\(1890 = 10 \times 189 = (2 \times 5) \times (3 \times 63) = 2 \times 5 \times 3 \times (9 \times 7)\).

Décomposition finale : \[1890 = 2 \times 3^3 \times 5 \times 7\].

\(126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7\). Donc \(\sqrt{126} = 3\sqrt{14}\).

\(4410 = 10 \times 441 = (2 \times 5) \times 21^2\). Donc \(\sqrt{4410} = 21\sqrt{10}\).

Le produit \((2n+1)(2n+3)\) est le produit de deux nombres impairs, donc il est impair.

\(A = \text{Impair} + 7\) (Impair). La somme de deux nombres impairs donne un nombre pair.

Conclusion : \(A\) est pair.

On calcule \(\sqrt{401} \approx 20,02\). On teste tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à 19.

Tests de divisibilité : 401 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Conclusion : Le nombre 401 est premier.

1. Oui, \(124800\) est divisible par 4 car le nombre formé par les deux derniers chiffres (\(00\)) est divisible par 4.
2. Oui, \(124800\) est divisible par 25 car le nombre se termine par \(00\), ce qui garantit la divisibilité par 25.

On cherche \(\text{PGCD}(150, 180)\). Décompositions en facteurs premiers : \(150 = 2 \times 3 \times 5^2\) et \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\).

Le PGCD se calcule en prenant les facteurs communs avec leurs plus petites puissances : \(\text{PGCD} = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30\).

Réponse : Le nombre maximum de groupes est 30.

1. \(x=75=3 \times 5^2\) et \(y=325=5^2 \times 13\). Donc \(\text{PGCD}(75, 325) = 5^2 = \mathbf{25}\)
2. \(x=330=2 \times 3 \times 5 \times 11\) et \(y=420=2^2 \times 3 \times 5 \times 7\). Donc \(\text{PGCD}(330, 420) = 2 \times 3 \times 5 = \mathbf{30}\)
3. \(x=214=2 \times 107\) (107 est premier) et \(y=816=2^4 \times 51\). Donc \(\text{PGCD}(214, 816) = \mathbf{2}\)
4. \(x=575=5^2 \times 23\) et \(y=1275=3 \times 5^2 \times 17\). Donc \(\text{PGCD}(575, 1275) = 5^2 = \mathbf{25}\)
5. \(x=132=2^2 \times 3 \times 11\) et \(y=666=2 \times 3^2 \times 37\). Donc \(\text{PGCD}(132, 666) = 2 \times 3 = \mathbf{6}\)

En utilisant la relation \(\text{PPCM}(x, y) = \frac{x \times y}{\text{PGCD}(x, y)}\) :

1. \(\text{PPCM}(75, 325) = \frac{75 \times 325}{25} = \mathbf{975}\)
2. \(\text{PPCM}(330, 420) = \frac{330 \times 420}{30} = \mathbf{4620}\)
3. \(\text{PPCM}(214, 816) = \frac{214 \times 816}{2} = \mathbf{87312}\)
4. \(\text{PPCM}(575, 1275) = \frac{575 \times 1275}{25} = \mathbf{29325}\)
5. \(\text{PPCM}(132, 666) = \frac{132 \times 666}{6} = \mathbf{14652}\)

Application de l’algorithme d’Euclide par divisions successives :

• \(510 = 240 \times 2 + 30\)
• \(240 = 30 \times 8 + 0\)

Le dernier reste non nul est 30. Donc \(\text{PGCD}(510, 240) = 30\).

La relation fondamentale stipule que : \(\text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b) = a \times b\).

Donc : \(\text{PPCM}(132, 666) = \frac{132 \times 666}{6} = \frac{87912}{6} = 14652\).

Décompositions : \(720 = 2^4 \times 3^2 \times 5\) et \(1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\).

Donc \(\text{PGCD}(720, 1260) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\).

Fraction irréductible : \(\frac{720 \div 180}{1260 \div 180} = \frac{4}{7}\).

On cherche \(\text{PGCD}(420, 560)\). Application de l’algorithme d’Euclide :

• \(560 = 420 \times 1 + 140\)
• \(420 = 140 \times 3 + 0\)

Le \(\text{PGCD}(420, 560) = 140\).

Réponse : La dimension maximale du carreau est 140 cm de côté.

On utilise l’identité remarquable \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\).

\[1000000001 = 10^9 + 1 = (10^3)^3 + 1^3\]

En posant \(a=1000\) et \(b=1\), on obtient :

\[(1000+1)(1000^2 – 1000 \times 1 + 1^2) = 1001 \times 999001\]

Puisque \(1000000001\) est le produit de deux nombres strictement supérieurs à 1, il n’est pas premier.

Utilisation de l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) :

\[N = 3^{20} – 1 = (3^{10})^2 – 1^2 = (3^{10} – 1)(3^{10} + 1)\]

Calculons les valeurs : \(3^{10} = 59049\), donc \((3^{10} – 1) = 59048\) et \((3^{10} + 1) = 59050\).

Puisque les deux facteurs sont strictement supérieurs à 1, \(N\) n’est pas premier.

Si \(n\) est impair, on peut l’écrire sous la forme \(n = 2k+1\) où \(k \in \mathbb{N}\).

Calculons \(n^2 – 1\) :

\[n^2 – 1 = (2k+1)^2 – 1 = 4k^2 + 4k + 1 – 1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)\]

Puisque \(k^2+k\) est un entier, \(n^2 – 1\) est un multiple de 4. CQFD.

De l’Exercice 21, on sait que \(n^2 – 1 = 4k(k+1)\) pour \(n = 2k+1\).

Observation clé : Le produit \(k(k+1)\) est toujours pair, car c’est le produit de deux entiers consécutifs (l’un est nécessairement pair).

On peut donc écrire \(k(k+1) = 2m\), où \(m \in \mathbb{N}\).

Par substitution : \[n^2 – 1 = 4(2m) = 8m\]

Puisque \(m\) est un entier, \(n^2 – 1\) est un multiple de 8. CQFD.

Soient \(n\) et \(n+1\) deux entiers consécutifs quelconques.

Leur somme est : \(S = n + (n+1) = 2n + 1\).

Par définition, tout nombre de la forme \(2k+1\) (avec \(k \in \mathbb{N}\)) est impair.

Conclusion : La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire. CQFD.

Soit \(P = n(n+1)(n+2)\) le produit de trois entiers consécutifs.

Divisibilité par 2 : Dans toute suite de deux entiers consécutifs (\(n\) et \(n+1\)), au moins un est pair. Donc \(P\) contient un facteur pair, ce qui garantit la divisibilité par 2.

Divisibilité par 3 : Dans toute suite de trois entiers consécutifs (\(n\), \(n+1\), \(n+2\)), exactement un des trois est un multiple de 3. Donc \(P\) est divisible par 3.

Conclusion : Puisque \(\text{PGCD}(2, 3) = 1\), un nombre divisible à la fois par 2 et par 3 est nécessairement divisible par leur produit \(2 \times 3 = 6\). CQFD.

Posons \(A = 499999\). Observons que \(999999 = 2 \times 500000 – 1 = 2(A+1) – 1 = 2A + 1\).

Substituons dans l’expression de \(E\) :

\[E = A^2 + (2A + 1) = A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2\]

Or, \(A + 1 = 499999 + 1 = 500000 = 5 \times 10^5\).

Donc : \[E = (5 \times 10^5)^2 = 25 \times (10^5)^2 = 25 \times 10^{10}\]

Puisque \(10^{10} = 10^5 \times 10^5\), on peut écrire \(E = 25 \times 10^5 \times 10^5\).

Conclusion : \(E\) est clairement un multiple de \(10^5\). CQFD.