Angles et parallélisme 5ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les angles et le parallélisme en 5ème font distinguer angles opposés par le sommet, supplémentaires, correspondants et alternes-internes. Le cours sur les angles et le parallélisme rappelle les configurations et leurs propriétés.

Les calculs sont suivis de preuves courtes : une égalité d’angles ne permet de conclure au parallélisme que si les angles occupent les bonnes positions. Cette série appartient au parcours de mathématiques de 5ème.

Reconnaître et calculer des angles liés

On commence sans parallélisme : les relations viennent d’un angle plat, d’un tour ou de deux droites sécantes.

Exercice 1 : Angles opposés par le sommet

Facile

Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) se coupent en OO. On sait que AOC^=58∘\widehat{AOC}=58^\circ.

  1. Donner BOD^\widehat{BOD}.
  2. Calculer AOD^\widehat{AOD} et BOC^\widehat{BOC}.
Indication

Deux angles opposés par le sommet sont égaux ; deux angles adjacents formant une ligne droite sont supplémentaires.

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BOD^=58∘\widehat{BOD}=58^\circ. Les angles adjacents à AOC^\widehat{AOC} complètent un angle plat, donc AOD^=BOC^=180∘−58∘=122∘\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=180^\circ-58^\circ=122^\circ. Les quatre mesures totalisent bien 360∘360^\circ.

Exercice 2 : Complémentaires ou supplémentaires

Facile

On considère les mesures 37∘37^\circ, 53∘53^\circ, 118∘118^\circ et 62∘62^\circ.

  1. Former une paire d’angles complémentaires.
  2. Former une paire d’angles supplémentaires.
  3. Calculer le complément de 26∘26^\circ.
  4. Calculer le supplément de 143∘143^\circ.
Indication

Des angles complémentaires totalisent 90∘90^\circ, des angles supplémentaires 180∘180^\circ.

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  1. 37∘+53∘=90∘37^\circ+53^\circ=90^\circ.
  2. 118∘+62∘=180∘118^\circ+62^\circ=180^\circ.
  3. 90∘−26∘=64∘90^\circ-26^\circ=64^\circ.
  4. 180∘−143∘=37∘180^\circ-143^\circ=37^\circ.

Exercice 3 : Auditer un calcul d’angle

Moyen

Sur une ligne droite, trois angles adjacents mesurent 2x2x, x+15∘x+15^\circ et 45∘45^\circ. Un élève écrit 2x+x+15=1802x+x+15=180 et trouve x=55x=55.

  1. Repérer le terme oublié.
  2. Déterminer correctement xx.
  3. Donner les trois mesures et vérifier leur somme.
Indication

La somme doit contenir les trois angles, y compris l’angle constant de 45∘45^\circ.

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L’équation correcte est 2x+(x+15)+45=1802x+(x+15)+45=180, soit 3x+60=1803x+60=180. Ainsi 3x=1203x=120 et x=40x=40. Les angles mesurent 80∘80^\circ, 55∘55^\circ et 45∘45^\circ ; leur somme vaut 180∘180^\circ. La réponse 5555 provenait d’une modélisation incomplète.

Utiliser une sécante avec deux droites parallèles

Dans une configuration de parallèles coupées par une sécante, les positions des angles déterminent l’égalité utilisable.

Exercice 4 : Repérer les positions

Facile

Deux droites (d)(d) et (d′)(d') sont coupées par une sécante (s)(s). Les angles aa et bb sont intérieurs, placés de part et d’autre de (s)(s). L’angle cc occupe la même position relative que aa au second point d’intersection.

  1. Nommer la relation de position entre aa et bb.
  2. Nommer la relation de position entre aa et cc.
  3. Indiquer quelle information supplémentaire permet d’affirmer leur égalité.
Indication

« Intérieurs et de part et d’autre » décrit les alternes-internes ; « même place » décrit les correspondants.

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aa et bb sont alternes-internes ; aa et cc sont correspondants. Ces noms décrivent seulement leur position. On peut conclure qu’ils sont égaux lorsque (d)(d) et (d′)(d') sont parallèles.

Exercice 5 : Calcul en cascade

Moyen

Les droites (d)(d) et (d′)(d') sont parallèles. Une sécante forme un angle aigu de 67∘67^\circ avec (d)(d).

  1. Donner la mesure de tous les angles aigus de la figure.
  2. Donner celle des angles obtus.
  3. Justifier avec deux propriétés différentes.
  4. Contrôler le résultat autour d’un point d’intersection.
  5. Préciser si une mesure au rapporteur est nécessaire.
Indication

Utilisez d’abord les angles opposés, puis les angles correspondants ; un angle obtus est supplémentaire d’un angle aigu adjacent.

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  1. Tous les angles aigus valent 67∘67^\circ.
  2. Les angles obtus valent 180∘−67∘=113∘180^\circ-67^\circ=113^\circ.
  3. Les opposés par le sommet sont égaux et les correspondants sont égaux car les droites sont parallèles.
  4. 67+113+67+113=36067+113+67+113=360.
  5. Aucune mesure supplémentaire n’est nécessaire : les propriétés suffisent.

Exercice 6 : Retrouver une mesure littérale

Moyen

Deux angles alternes-internes formés par des droites parallèles mesurent 3x+8∘3x+8^\circ et 5x−24∘5x-24^\circ.

  1. Déterminer xx, puis la mesure commune des deux angles.
Indication

Des alternes-internes sont égaux lorsque les deux droites sont parallèles.

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On écrit 3x+8=5x−243x+8=5x-24. En ajoutant 2424, puis en retranchant 3x3x, on obtient 32=2x32=2x, donc x=16x=16. Chaque angle mesure 3×16+8=56∘3\times16+8=56^\circ, et 5×16−24=56∘5\times16-24=56^\circ confirme le calcul.

Démontrer ou réfuter un parallélisme

La réciproque exige une configuration reconnue et une égalité exacte ; l’apparence du dessin ne constitue jamais une preuve.

Exercice 7 : Prouver avec des angles correspondants

Moyen

Une sécante coupe (d)(d) et (d′)(d'). Deux angles correspondants mesurent chacun 74∘74^\circ.

  1. Rédiger une preuve en trois phrases.
  2. Expliquer pourquoi l’emplacement des angles doit être mentionné.
Indication

Énoncez les données, nommez la configuration, puis appliquez la réciproque.

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Les deux angles sont correspondants et ont la même mesure 74∘74^\circ. Or, si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles. Donc (d)∥(d′)(d)\parallel(d'). Sans le mot « correspondants », l’égalité de deux angles quelconques ne suffirait pas.

Exercice 8 : Refuser une fausse preuve

Difficile

Deux angles alternes-internes mesurent 81∘81^\circ et 79∘79^\circ. La figure semble montrer des droites parallèles.

  1. Peut-on conclure au parallélisme ?
  2. Donner l’écart entre les mesures.
  3. Expliquer pourquoi une imprécision de dessin ne répare pas la preuve.
Indication

La réciproque repose sur une égalité, pas sur des valeurs proches.

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On ne peut pas conclure : 81∘≠79∘81^\circ\neq79^\circ. L’écart vaut 2∘2^\circ. Une figure est seulement une représentation ; si les mesures sont données comme exactes, leur différence suffit à réfuter l’hypothèse de parallélisme dans cette configuration.

Exercice 9 : Deux sécantes dans une même figure

Difficile

Les droites (a)(a) et (b)(b) sont parallèles. Une première sécante donne un angle de 48∘48^\circ. Une seconde sécante est perpendiculaire à la première.

  1. Calculer l’angle aigu formé par la seconde sécante avec (a)(a).
  2. Donner l’angle obtus associé.
  3. Transmettre ces mesures au point d’intersection avec (b)(b).
  4. Justifier chaque transfert.
Indication

Deux directions perpendiculaires forment 90∘90^\circ. Les parallèles conservent ensuite les angles correspondants.

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La seconde sécante forme avec (a)(a) un angle aigu de 90∘−48∘=42∘90^\circ-48^\circ=42^\circ. L’angle obtus adjacent vaut 180∘−42∘=138∘180^\circ-42^\circ=138^\circ. Au croisement avec (b)(b), les angles correspondants valent encore 42∘42^\circ et 138∘138^\circ, car (a)∥(b)(a)\parallel(b).

Construire et contrôler une configuration

Une construction complète associe un programme, des instruments adaptés et un contrôle par les propriétés.

Exercice 10 : Construire une parallèle avec un angle

Moyen

Tracer une droite (d)(d), un point AA extérieur à (d)(d) et une sécante passant par AA. Construire par AA une droite (d′)(d') parallèle à (d)(d) à l’aide du rapporteur.

  1. Décrire les étapes de construction.
  2. Nommer les angles reproduits.
Indication

Mesurez l’angle formé par (d)(d) et la sécante, puis reproduisez-le dans la même position au point AA.

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On mesure l’angle entre (d)(d) et la sécante. Au point AA, on reporte la même mesure dans la position correspondante, puis on trace (d′)(d'). Les angles correspondants étant égaux, la réciproque permet de conclure que (d′)∥(d)(d')\parallel(d).

Exercice 11 : Défi de synthèse

Difficile

Dans un triangle ABCABC, la droite par AA parallèle à (BC)(BC) est tracée. On sait que ABC^=52∘\widehat{ABC}=52^\circ et ACB^=71∘\widehat{ACB}=71^\circ.

  1. Calculer BAC^\widehat{BAC}.
  2. Donner les deux angles formés en AA par la parallèle et les côtés du triangle.
  3. Justifier les égalités utilisées.
Indication

Commencez par la somme des angles du triangle, puis repérez les alternes-internes.

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BAC^=180∘−52∘−71∘=57∘\widehat{BAC}=180^\circ-52^\circ-71^\circ=57^\circ. L’angle entre la parallèle et (AB)(AB) vaut 52∘52^\circ, et celui entre la parallèle et (AC)(AC) vaut 71∘71^\circ, par égalité des angles alternes-internes. On contrôle : 52+57+71=18052+57+71=180.

Exercice 12 : Enquête sur un angle caché

Moyen

Deux droites parallèles (d)(d) et (d′)(d') sont coupées par une même sécante. À la première intersection, l’un des angles mesure 128∘128^\circ. À la seconde intersection, on note xx l’angle aigu situé du même côté de la sécante.

  1. Calculer l’angle adjacent à 128∘128^\circ.
  2. En déduire xx.
  3. Nommer successivement les deux propriétés utilisées.
  4. Expliquer pourquoi la réponse serait indéterminée sans l’information (d)∥(d′)(d)\parallel(d').
Indication

Commencez au premier sommet avec deux angles adjacents, puis transportez la mesure grâce au parallélisme.

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  1. Deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires : l’angle aigu vaut 180∘−128∘=52∘180^\circ-128^\circ=52^\circ.
  2. Les angles correspondants déterminés par une sécante sur deux parallèles sont égaux, donc x=52∘x=52^\circ.
  3. On utilise d’abord la supplémentarité, puis l’égalité des angles correspondants.
  4. Sans parallélisme, la direction de (d′)(d') pourrait varier : aucune propriété ne permettrait de transporter la mesure 52∘52^\circ au second sommet.
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