Le développement limité est un outil fondamental de l’analyse mathématique qui permet d’approcher localement une fonction par un polynôme. Cette technique, directement issue de la formule de Taylor-Young, joue un rôle central dans le calcul de limites difficiles, l’étude locale des courbes et la résolution de nombreux problèmes en physique et en ingénierie. Loin d’être une simple formule abstraite, le développement limité offre une vision concrète du comportement d’une fonction au voisinage d’un point.
Définition rigoureuse du développement limité
Définition formelle
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \), \( f : I \to \mathbb{R} \) une fonction et \( x_0 \in I \). On dit que \( f \) admet un développement limité d’ordre \( n \) (noté DL\(_n\)) au point \( x_0 \) s’il existe \( n + 1 \) réels \( a_0, a_1, \ldots, a_n \) et une fonction \( \varepsilon \) définie au voisinage de \( x_0 \) tels que :
f(x) = a_0 + a_1(x – x_0) + a_2(x – x_0)^2 + \cdots + a_n(x – x_0)^n + (x – x_0)^n \varepsilon(x)
\]
avec la condition essentielle :
\lim_{x \to x_0} \varepsilon(x) = 0
\]
On peut également écrire cette formule de manière plus compacte en posant \( h = x – x_0 \) :
f(x_0 + h) = a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + \cdots + a_n h^n + o(h^n)
\]
où la notation \( o(h^n) \) signifie « négligeable devant \( h^n \) » lorsque \( h \to 0 \).
Vocabulaire et notations essentielles
- Partie régulière (ou partie polynomiale) : le polynôme \( P(x) = a_0 + a_1(x – x_0) + \cdots + a_n(x – x_0)^n \)
- Reste : le terme \( (x – x_0)^n \varepsilon(x) \), qui devient négligeable devant le dernier terme polynomial
- Ordre du développement : l’entier \( n \), qui indique jusqu’à quelle puissance on développe
- Point de développement : le point \( x_0 \) autour duquel on effectue l’approximation
Remarque importante : Dans la très grande majorité des cas, on calcule des développements limités au voisinage de 0, c’est-à-dire \( x_0 = 0 \). Les formules sont alors beaucoup plus simples, et c’est pourquoi tous les développements limités usuels que vous devez connaître sont donnés en 0.
Lien avec la formule de Taylor-Young
La formule de Taylor-Young constitue le pont entre la dérivabilité d’une fonction et l’existence d’un développement limité. Elle fournit un moyen direct de calculer les coefficients du développement.
Théorème (Formule de Taylor-Young)
Soit \( f : I \to \mathbb{R} \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^n \) sur un intervalle \( I \) et soit \( a \in I \). Alors \( f \) admet un développement limité d’ordre \( n \) au point \( a \) donné par :
f(a + h) = f(a) + f'(a) h + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} h^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!} h^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n + o(h^n)
\]
Autrement dit, les coefficients du développement limité sont :
a_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \ldots, n
\]
Conséquence pratique : Si une fonction est suffisamment dérivable, on peut toujours calculer son développement limité en utilisant Taylor-Young. Cependant, en pratique, on utilise rarement cette méthode directe car elle nécessite le calcul de nombreuses dérivées successives. On préfère s’appuyer sur les développements limités usuels des fonctions de référence et utiliser les opérations algébriques.
Propriétés fondamentales
Propriété 1 : Unicité
Si une fonction \( f \) admet un développement limité d’ordre \( n \) au point \( x_0 \), alors ce développement est unique. Autrement dit, la partie régulière est entièrement déterminée.
Propriété 2 : Parité et imparité
- Si \( f \) est une fonction paire, alors son développement limité en 0 ne contient que des puissances paires : \( a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \cdots \)
- Si \( f \) est une fonction impaire, alors son développement limité en 0 ne contient que des puissances impaires : \( a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots \)
Exemples : La fonction cosinus (paire) a un DL de la forme \( 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots \), tandis que le sinus (impair) a un DL de la forme \( x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots \)
Propriété 3 : Troncature
Si \( f \) admet un DL d’ordre \( n \) en \( x_0 \), alors elle admet un DL d’ordre \( k \) en \( x_0 \) pour tout \( k < n \). Il suffit de tronquer la partie régulière en ne gardant que les termes jusqu'à l'ordre \( k \).
Interprétation géométrique intuitive
Pour bien comprendre l’intérêt du développement limité, il est essentiel de visualiser ce qu’il représente graphiquement.
Développement limité d’ordre 1 : approximation affine
Le développement limité d’ordre 1 d’une fonction \( f \) en \( x_0 \) s’écrit :
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0) + o(x – x_0)
\]
La partie régulière \( f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0) \) est exactement l’équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point \( (x_0, f(x_0)) \). Ainsi, le DL d’ordre 1 revient à approximer localement la courbe par sa tangente. L’existence d’un DL\(_1\) en \( x_0 \) équivaut à la dérivabilité de \( f \) en \( x_0 \).
Développement limité d’ordre 2 : approximation parabolique
Le développement limité d’ordre 2 s’écrit :
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0) + \frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2}(x – x_0)^2 + o((x – x_0)^2)
\]
Cette fois, la partie régulière est une parabole qui épouse la courbe encore mieux que la simple tangente. Le DL d’ordre 2 permet notamment de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente :
- Si \( f^{\prime\prime}(x_0) > 0 \), la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de \( x_0 \) (concavité tournée vers le haut)
- Si \( f^{\prime\prime}(x_0) < 0 \), la courbe est au-dessous de sa tangente (concavité tournée vers le bas)
- Si \( f^{\prime\prime}(x_0) = 0 \), il faut examiner les termes d’ordre supérieur
Développements limités usuels
Les développements limités suivants sont fondamentaux. Ils sont tous donnés au voisinage de 0 (c’est-à-dire \( x_0 = 0 \)) et doivent être mémorisés, car ils servent de base à tous les calculs.
Fonction exponentielle
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
\]
Logarithme népérien
\ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)
\]
Fonctions trigonométriques
\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2})
\]
\cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1})
\]
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)
\]
Puissances et racines
(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha – 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha – 1)(\alpha – 2)}{3!} x^3 + \cdots + o(x^n)
\]
Cas particuliers importants :
\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)
\]
\frac{1}{1 + x} = 1 – x + x^2 – x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)
\]
\frac{1}{1 – x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n)
\]
Fonctions hyperboliques
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + o(x^6)
\]
\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5)
\]
Opérations sur les développements limités
L’un des grands avantages des développements limités est qu’on peut les combiner algébriquement. Voici les règles essentielles.
Somme et combinaison linéaire
Si \( f \) et \( g \) admettent des DL d’ordre \( n \) en \( x_0 \) :
f(x) = P(x) + o((x – x_0)^n) \quad \text{et} \quad g(x) = Q(x) + o((x – x_0)^n)
\]
alors pour tout \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \) :
\lambda f(x) + \mu g(x) = \lambda P(x) + \mu Q(x) + o((x – x_0)^n)
\]
Produit
Si \( f \) et \( g \) admettent des DL d’ordre \( n \) en \( x_0 \), alors \( f \times g \) admet un DL d’ordre \( n \) dont la partie régulière s’obtient en multipliant les parties régulières de \( f \) et \( g \) et en ne conservant que les termes de degré \( \leq n \).
Exemple : Calculons le DL d’ordre 3 de \( e^x \cos x \) en 0.
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\]
\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + o(x^3)
\]
On multiplie :
e^x \cos x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) \left(1 – \frac{x^2}{2}\right) + o(x^3)
\]
&= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{2} – \frac{x^4}{4} + o(x^3) \\
&= 1 + x + \left(\frac{x^2}{2} – \frac{x^2}{2}\right) + \left(\frac{x^3}{6} – \frac{x^3}{2}\right) + o(x^3) \\
&= 1 + x – \frac{x^3}{3} + o(x^3)
\end{align*}
Quotient
Si \( f \) et \( g \) admettent des DL d’ordre \( n \) en \( x_0 \) et si \( g(x_0) \neq 0 \), alors \( \frac{f}{g} \) admet un DL d’ordre \( n \). Pour le calculer, on se ramène souvent à une forme \( \frac{1}{1 + u} \) où \( u \to 0 \), puis on utilise le développement de l’inverse.
Exemple : Calculons le DL d’ordre 3 de \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) en 0.
\sin x = x – \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\]
\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + o(x^3)
\]
On effectue une division suivant les puissances croissantes (méthode analogue à la division euclidienne) pour obtenir :
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
\]
Composition
Si \( u \) admet un DL d’ordre \( n \) en \( x_0 \) avec \( u(x_0) = 0 \), et si \( v \) admet un DL d’ordre \( n \) en 0, alors \( v \circ u \) admet un DL d’ordre \( n \) en \( x_0 \).
La méthode consiste à :
- Calculer le DL de \( u(x) \) en \( x_0 \)
- Calculer le DL de \( v(t) \) en 0
- Remplacer \( t \) par le DL de \( u(x) \) dans le DL de \( v \)
- Ne conserver que les termes jusqu’à l’ordre \( n \)
Exemple : Calculons le DL d’ordre 3 de \( \sin(e^x – 1) \) en 0.
Posons \( u(x) = e^x – 1 \). On a \( u(0) = 0 \) et :
u(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\]
Ensuite, \( \sin t = t – \frac{t^3}{6} + o(t^3) \). On remplace \( t \) par \( u(x) \) :
\sin(u(x)) &= u(x) – \frac{u(x)^3}{6} + o(u(x)^3) \\
&= \left(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) – \frac{1}{6}\left(x + \frac{x^2}{2}\right)^3 + o(x^3) \\
&= x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} – \frac{x^3}{6} + o(x^3) \\
&= x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)
\end{align*}
Intégration
Si \( f \) est continue et admet un DL d’ordre \( n \) en \( x_0 \), alors toute primitive \( F \) de \( f \) admet un DL d’ordre \( n + 1 \) en \( x_0 \). La partie régulière de \( F \) s’obtient en intégrant terme à terme la partie régulière de \( f \).
Exemple : Calculons le DL d’ordre 4 de \( \arctan x \) en 0.
On sait que \( (\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \). On calcule d’abord :
\frac{1}{1 + x^2} = 1 – x^2 + x^4 + o(x^4)
\]
En intégrant :
\arctan x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)
\]
La constante d’intégration est nulle car \( \arctan(0) = 0 \).
Attention à la dérivation ! Contrairement à l’intégration, il n’existe pas de théorème général permettant de dériver un développement limité. Une fonction peut admettre un DL d’ordre \( n \) sans que sa dérivée admette un DL d’ordre \( n – 1 \).
Développement limité en un point quelconque
Pour calculer un DL en un point \( x_0 \neq 0 \), on utilise le changement de variable \( h = x – x_0 \). On se ramène alors à un DL en 0 pour la fonction \( g(h) = f(x_0 + h) \).
Exemple : Calculons le DL d’ordre 2 de \( \cos x \) au point \( x_0 = \frac{\pi}{2} \).
Posons \( h = x – \frac{\pi}{2} \). On a :
\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + h\right) = \cos\frac{\pi}{2} \cos h – \sin\frac{\pi}{2} \sin h = -\sin h
\]
Or, le DL de \( \sin h \) en 0 est :
\sin h = h – \frac{h^3}{6} + o(h^3)
\]
Donc :
\cos x = -\left(x – \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{6}\left(x – \frac{\pi}{2}\right)^3 + o\left(\left(x – \frac{\pi}{2}\right)^3\right)
\]
Développement limité à l’infini
Pour étudier le comportement d’une fonction en \( +\infty \) ou \( -\infty \), on utilise le changement de variable \( X = \frac{1}{x} \), qui tend vers 0 lorsque \( x \to \pm\infty \). On calcule alors le DL de \( f\left(\frac{1}{X}\right) \) en 0.
Exemple : Cherchons l’asymptote de \( f(x) = \frac{2x^2 + x + 1}{x + 1} \) en \( +\infty \).
Posons \( X = \frac{1}{x} \), donc \( x = \frac{1}{X} \) :
f\left(\frac{1}{X}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{X^2} + \frac{1}{X} + 1}{\frac{1}{X} + 1} = \frac{\frac{2 + X + X^2}{X^2}}{\frac{1 + X}{X}} = \frac{2 + X + X^2}{X(1 + X)}
\]
= \frac{2 + X + X^2}{X + X^2} = \frac{2}{X} \cdot \frac{1 + \frac{X}{2} + \frac{X^2}{2}}{1 + X}
\]
En utilisant \( \frac{1}{1 + X} = 1 – X + X^2 + o(X^2) \) :
f\left(\frac{1}{X}\right) = \frac{2}{X}\left(1 + \frac{X}{2}\right)(1 – X) + o(1) = \frac{2}{X} – \frac{3}{2} + o(1)
\]
En revenant à \( x \) :
f(x) = 2x – \frac{3}{2} + o(1)
\]
Donc la droite \( y = 2x – \frac{3}{2} \) est une asymptote oblique en \( +\infty \).
Applications pratiques des développements limités
Application 1 : Calcul de limites
Les développements limités sont particulièrement efficaces pour lever les formes indéterminées du type \( \frac{0}{0} \), \( 0 \times \infty \), \( 1^\infty \), etc.
Exemple 1 : Calculer \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x – x}{x^3} \)
On utilise le DL du sinus :
\sin x = x – \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\]
Donc :
\frac{\sin x – x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1) \xrightarrow[x \to 0]{} -\frac{1}{6}
\]
Exemple 2 : Calculer \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} \)
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} + o(1) \xrightarrow[x \to 0]{} \frac{1}{2}
\]
Application 2 : Étude locale de courbes
Le développement limité permet de déterminer l’allure locale d’une courbe : tangente, position par rapport à la tangente, points d’inflexion.
Exemple : Étudier la fonction \( f(x) = x \ln(1 + x) \) au voisinage de 0.
\ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
\]
f(x) = x \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) + o(x^4) = x^2 – \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + o(x^4)
\]
Conséquences :
- \( f(0) = 0 \) : la courbe passe par l’origine
- \( f'(0) = 0 \) : la tangente en 0 est horizontale (équation \( y = 0 \))
- Le terme dominant non nul est \( x^2 > 0 \), donc la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0
Application 3 : Recherche d’équivalents
L’équivalent d’une fonction est donné par le premier terme non nul de son développement limité.
Exemple : Trouver un équivalent de \( 1 – \cos x \) au voisinage de 0.
\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
1 – \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \sim \frac{x^2}{2} \quad \text{lorsque } x \to 0
\]
Résumé de cours
- Le développement limité d’ordre n en x₀ permet d’approximer une fonction par un polynôme : f(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + … + aₙ(x – x₀)ⁿ + o((x – x₀)ⁿ)
- La formule de Taylor-Young donne les coefficients explicites : aₖ = f⁽ᵏ⁾(x₀) / k! pour les fonctions de classe Cⁿ
- Le développement limité est unique : la partie régulière est entièrement déterminée
- Les fonctions paires ont des DL avec uniquement des puissances paires, les fonctions impaires avec uniquement des puissances impaires
- Le DL d’ordre 1 représente l’équation de la tangente, le DL d’ordre 2 précise la position par rapport à cette tangente
- Les développements limités usuels (exp, ln, sin, cos, tan, puissances) au voisinage de 0 doivent être mémorisés
- Les opérations algébriques (somme, produit, composition) permettent de calculer de nouveaux DL sans utiliser Taylor-Young
- Pour calculer un DL au quotient, on se ramène à la forme 1/(1 + u) puis on utilise le développement de l’inverse
- L’intégration terme à terme d’un DL d’ordre n donne un DL d’ordre n + 1, mais la dérivation n’est pas toujours possible
- Pour un DL en un point x₀ ≠ 0, on pose h = x – x₀ et on se ramène à un DL en 0
- Pour un DL à l’infini, on pose X = 1/x et on calcule le DL de f(1/X) en 0
- Les DL sont essentiels pour lever les formes indéterminées et calculer des limites difficiles
- L’équivalent d’une fonction au voisinage d’un point est donné par le premier terme non nul de son DL
- Le développement limité permet de déterminer les asymptotes obliques et l’allure locale des courbes
- Ne jamais confondre développement limité (approximation locale) et série entière (égalité globale)
Pour approfondir : Vous pouvez consulter l’article Développement limité sur Wikipédia pour des compléments théoriques et historiques.