Les primitives constituent l’une des notions fondamentales de l’analyse mathématique, enseignée dès le lycée et approfondie à l’université. Comprendre les primitives, c’est maîtriser l’opération inverse de la dérivation et ouvrir la porte au calcul intégral. Dans ce cours, nous allons explorer en profondeur ce concept essentiel, ses propriétés, ses méthodes de calcul et ses applications concrètes.
Pourquoi les primitives sont-elles si importantes ? Elles permettent de résoudre des équations différentielles, de calculer des aires sous des courbes, d’analyser des mouvements en physique et d’optimiser des processus en ingénierie. Leur maîtrise est indispensable pour progresser en mathématiques supérieures.
Définition de la Primitive d’une Fonction
Définition formelle
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit qu’une fonction \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) si et seulement si \( F \) est dérivable sur \( I \) et pour tout \( x \) de \( I \), on a :
F'(x) = f(x)
\]
Autrement dit, une primitive de \( f \) est une fonction dont la dérivée est égale à \( f \). Cette définition établit un lien direct entre les primitives et les dérivées : ce sont deux opérations inverses l’une de l’autre.
Première observation importante
Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur un intervalle \( I \), alors pour toute constante réelle \( C \), la fonction \( F + C \) est également une primitive de \( f \). En effet :
(F + C)’ = F’ + 0 = f(x)
\]
Cette observation conduit à une propriété fondamentale.
Propriété Fondamentale : Unicité à une Constante Près
Théorème d’unicité
Si une fonction \( f \) admet une primitive sur un intervalle \( I \), alors elle en admet une infinité. Toutes ces primitives diffèrent entre elles d’une constante.
Plus précisément, si \( F \) et \( G \) sont deux primitives de \( f \) sur \( I \), alors il existe une constante \( C \) telle que pour tout \( x \) dans \( I \) :
G(x) = F(x) + C
\]
Démonstration
Supposons que \( F \) et \( G \) soient deux primitives de \( f \) sur \( I \). Considérons la fonction \( H \) définie par \( H(x) = G(x) – F(x) \).
Pour tout \( x \) dans \( I \), nous avons :
H'(x) = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0
\]
Puisque \( H’ = 0 \) sur l’intervalle \( I \), la fonction \( H \) est constante sur \( I \). Il existe donc une constante \( C \) telle que \( H(x) = C \) pour tout \( x \) dans \( I \), ce qui signifie :
G(x) – F(x) = C \quad \Rightarrow \quad G(x) = F(x) + C
\]
La Constante d’Intégration
La constante d’intégration, notée généralement \( C \) ou \( k \), représente cette constante arbitraire qui apparaît lors du calcul de primitives. Elle est essentielle car elle traduit mathématiquement le fait qu’il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée.
Notation standard
Lorsqu’on cherche une primitive de \( f \), on écrit :
\int f(x) \, dx = F(x) + C
\]
Cette notation, appelée intégrale indéfinie, désigne l’ensemble de toutes les primitives de \( f \). Le symbole \( \int \) est le signe intégral, \( dx \) indique la variable d’intégration, et \( C \) est la constante d’intégration.
Détermination de la constante
Pour déterminer la valeur de \( C \), on utilise généralement une condition initiale, c’est-à-dire une valeur connue de la primitive en un point particulier. Par exemple, si on sait que \( F(x_0) = y_0 \), on peut calculer \( C \).
Condition d’Existence des Primitives
Théorème d’existence
Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet des primitives sur cet intervalle.
Ce théorème est fondamental car il garantit l’existence de primitives pour toutes les fonctions continues. La continuité est une condition suffisante, mais pas nécessaire : certaines fonctions discontinues peuvent aussi admettre des primitives.
Contre-exemple important
La fonction partie entière, notée \( E(x) \) ou \( \lfloor x \rfloor \), n’admet pas de primitive sur \( \mathbb{R} \) car elle présente des discontinuités de saut. En effet, si elle admettait une primitive \( F \), celle-ci devrait être dérivable partout, ce qui contredirait les sauts de la fonction partie entière.
Tableau des Primitives Usuelles
Voici un tableau de primitives regroupant les fonctions les plus couramment rencontrées. Ce tableau est à connaître absolument pour le calcul de primitives.
| Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) \) | Intervalle de validité |
|---|---|---|
| \( k \) (constante) | \( kx + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( x^n \) avec \( n \neq -1 \) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) | \( \mathbb{R} \) si \( n \geq 0 \), \( \mathbb{R}^* \) sinon |
| \( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| + C \) | \( \mathbb{R}^* \) |
| \( e^x \) | \( e^x + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \cos(x) \) | \( \sin(x) + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \sin(x) \) | \( -\cos(x) + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) | \( \tan(x) + C \) | \( \left]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right[ \) |
| \( \frac{1}{\sin^2(x)} \) | \( -\cot(x) + C \) | \( ]k\pi, (k+1)\pi[ \) |
| \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) | \( \arcsin(x) + C \) | \( ]-1, 1[ \) |
| \( \frac{1}{1+x^2} \) | \( \arctan(x) + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \frac{1}{x\ln(x)} \) | \( \ln|\ln(x)| + C \) | \( ]0,1[ \cup ]1,+\infty[ \) |
Cas particulier : la fonction puissance
Remarquez que la formule \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) est valable pour tout \( n \neq -1 \). Le cas \( n = -1 \) constitue une exception importante, car :
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
\]
Cette formule utilise le logarithme népérien et non une puissance, ce qui la distingue radicalement du cas général.
Primitives et Dérivées : Opérations Inverses
La relation entre primitives et dérivées est au cœur du calcul différentiel et intégral. Comprendre ce lien permet de simplifier considérablement les calculs.
Principe de la réversibilité
Si vous connaissez la dérivée d’une fonction, vous pouvez immédiatement en déduire une primitive. Par exemple :
- Puisque \( (\sin x)’ = \cos x \), on a \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)
- Puisque \( (e^x)’ = e^x \), on a \( \int e^x \, dx = e^x + C \)
- Puisque \( (x^3)’ = 3x^2 \), on a \( \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \)
Cette approche transforme la recherche de primitives en une reconnaissance de dérivées connues.
Propriété de linéarité
Les primitives héritent de la linéarité de la dérivation. Si \( f \) et \( g \) admettent des primitives et si \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles, alors :
\int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx
\]
Cette propriété permet de décomposer des primitives complexes en primitives plus simples.
Méthodes de Calcul des Primitives
Au-delà du tableau des primitives usuelles, plusieurs méthodes de calcul permettent de déterminer des primitives plus complexes.
Intégration par changement de variable
Cette méthode, aussi appelée substitution, consiste à effectuer un changement de variable pour ramener l’intégrale à une forme plus simple.
Formule du changement de variable
Si \( u = \varphi(x) \) où \( \varphi \) est une fonction dérivable, alors :
\int f(u) \, du = \int f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \, dx
\]
Exemple détaillé
Calculons \( \int 2x(x^2 + 1)^5 \, dx \).
Posons \( u = x^2 + 1 \). Alors \( du = 2x \, dx \).
L’intégrale devient :
\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C
\]
Intégration par parties
Cette méthode, issue de la formule de dérivation d’un produit, est utilisée pour les produits de fonctions.
Formule d’intégration par parties
Si \( u \) et \( v \) sont deux fonctions dérivables, alors :
\int u'(x) v(x) \, dx = u(x)v(x) – \int u(x) v'(x) \, dx
\]
Exemple détaillé
Calculons \( \int x e^x \, dx \).
Choisissons \( u'(x) = e^x \) et \( v(x) = x \).
Alors \( u(x) = e^x \) et \( v'(x) = 1 \).
En appliquant la formule :
\int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C
\]
Reconnaissance de la forme \( \frac{u’}{u} \)
Une forme particulièrement utile à reconnaître est celle du quotient d’une dérivée par la fonction elle-même :
\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C
\]
Exemple
Calculons \( \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \).
On reconnaît \( u(x) = x^2 + 1 \) et \( u'(x) = 2x \). Donc :
\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln(x^2 + 1) + C
\]
Notez qu’ici on n’utilise pas la valeur absolue car \( x^2 + 1 > 0 \) pour tout \( x \).
Interprétation Graphique des Primitives
L’interprétation graphique permet de visualiser concrètement le concept de primitive et de comprendre intuitivement pourquoi il existe une infinité de primitives.
Pente et primitive
Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors en tout point d’abscisse \( x \), la pente de la tangente à la courbe de \( F \) vaut \( f(x) \). Autrement dit, la fonction \( f \) donne la vitesse de variation de \( F \).
Cette interprétation est particulièrement parlante en physique : si \( f(t) \) représente une vitesse, alors sa primitive \( F(t) \) représente la position.
Translation verticale
Toutes les primitives d’une même fonction se déduisent les unes des autres par translation verticale. Graphiquement, leurs courbes sont superposables par un déplacement vertical, ce qui explique visuellement pourquoi elles diffèrent d’une constante.
Applications des Primitives
Calcul d’aires
Les primitives permettent de calculer l’aire sous une courbe grâce au théorème fondamental de l’analyse. Si \( F \) est une primitive de \( f \), l’aire sous la courbe de \( f \) entre \( a \) et \( b \) vaut \( F(b) – F(a) \).
Résolution d’équations différentielles
Une équation différentielle du type \( y’ = f(x) \) se résout directement par calcul de primitive : la solution générale est \( y = F(x) + C \) où \( F \) est une primitive de \( f \).
Physique et cinématique
En mécanique, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps. Inversement, la position s’obtient en calculant une primitive de la vitesse. De même, l’accélération est la dérivée de la vitesse, donc la vitesse est une primitive de l’accélération.
Probabilités et statistiques
En probabilités, la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue est une primitive de la fonction de densité de probabilité.
Résumé du Cours
- Une primitive d’une fonction \( f \) sur un intervalle \( I \) est une fonction \( F \) dérivable telle que \( F'(x) = f(x) \) pour tout \( x \) dans \( I \).
- Si une fonction admet une primitive, elle en admet une infinité qui diffèrent entre elles d’une constante d’intégration \( C \).
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle (théorème d’existence).
- Les primitives et les dérivées sont des opérations inverses : si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( F’ = f \).
- Le tableau des primitives usuelles regroupe les formules essentielles à mémoriser, notamment \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) pour \( n \neq -1 \) et \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \).
- Les principales méthodes de calcul sont : la linéarité, le changement de variable (substitution), l’intégration par parties, et la reconnaissance de formes comme \( \frac{u’}{u} \).
- Pour déterminer une primitive unique, on utilise une condition initiale qui permet de calculer la valeur de la constante \( C \).
- Graphiquement, toutes les primitives d’une fonction se déduisent par translation verticale, ce qui explique visuellement l’unicité à une constante près.
- Les primitives ont des applications fondamentales en calcul d’aires, résolution d’équations différentielles, physique et probabilités.
- Erreurs à éviter : oublier la constante \( C \), confondre primitive et intégrale définie, appliquer la formule des puissances au cas \( n = -1 \), négliger le domaine de définition.