Comprendre les ensembles de nombres N Z D Q R en 5 minutes

Cours Ensemble de nombres

Les ensembles de nombres constituent le fondement de toutes les mathématiques modernes. De l’ensemble des nombres entiers naturels aux nombres réels, en passant par les nombres rationnels et décimaux, comprendre ces structures est essentiel pour résoudre des problèmes concrets : calculs financiers, mesures physiques, programmation informatique et analyse de données. Ce cours détaillé explore les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R avec leurs propriétés et applications pratiques.

Table des Matières

1. L’ensemble des entiers naturels (ℕ)

L’ensemble des nombres entiers naturels, noté ℕ, regroupe tous les nombres utilisés pour compter les objets.

\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; n ; \ldots\}

Définition formelle de l’ensemble ℕ

Caractéristiques importantes :

ℕ commence à zéro (selon la convention moderne)
Il contient uniquement des nombres positifs ou nuls
L’ensemble ℕ* désigne ℕ privé de zéro : \( \mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\} \)

Exemple pratique

Le nombre d’élèves dans une classe (15, 28, 30…) appartient toujours à ℕ.

2. L’ensemble des entiers relatifs (ℤ)

L’ensemble des nombres entiers relatifs, noté ℤ, étend ℕ en incluant les nombres négatifs.

\mathbb{Z} = \{\ldots ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\}

Définition formelle de l’ensemble ℤ

Relations d’inclusion :

\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) : tout entier naturel est un entier relatif
ℤ* = ℤ privé de zéro

Exemple d’application

Les températures peuvent être négatives (-5°C) ou positives (25°C), elles appartiennent à ℤ.

3. L’ensemble des nombres décimaux (𝔻)

L’ensemble des nombres décimaux, noté 𝔻, contient tous les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

\mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} \mid a \in \mathbb{Z}, \, n \in \mathbb{N} \right\}

Définition formelle : un nombre décimal est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10

Propriétés essentielles :

Tout décimal s’écrit avec une virgule : 3,5 ; 0,125 ; -7,8
Le développement décimal est fini
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \)

Exemples de nombres décimaux

• 2,5 = \( \frac{25}{10} \) appartient à 𝔻

• 0,375 = \( \frac{375}{1000} \) appartient à 𝔻

• 7 = \( \frac{7}{1} \) appartient à 𝔻

4. L’ensemble des nombres rationnels (ℚ)

L’ensemble des nombres rationnels, noté ℚ, regroupe tous les nombres qui peuvent s’exprimer comme un rapport de deux entiers.

\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z}^* \right\}

Un rationnel est une fraction où le numérateur est un entier et le dénominateur un entier non nul

Caractéristiques des rationnels :

Leur développement décimal est soit fini soit périodique
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \)
Tous les décimaux sont rationnels, mais l’inverse n’est pas vrai

Exemples analysés

• \( \frac{3}{4} = 0,75 \) : développement décimal fini (rationnel)

• \( \frac{1}{3} = 0,333… \) : développement périodique (rationnel)

• \( \frac{22}{7} \approx 3,142857142857… \) : périodique (rationnel)

Note importante

Un nombre avec des décimales périodiques (qui se répètent indéfiniment) est toujours rationnel, même s’il semble infini.

5. L’ensemble des nombres réels (ℝ)

L’ensemble des nombres réels, noté ℝ, est le plus vaste ensemble de nombres utilisé en mathématiques. Il contient tous les nombres rationnels et irrationnels.

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Hiérarchie complète des ensembles de nombres

Sous-ensembles importants :

ℝ⁺ : ensemble des réels positifs ou nuls
ℝ⁻ : ensemble des réels négatifs ou nuls
ℝ* : ensemble des réels non nuls

Exemples de nombres réels

• Nombres irrationnels : \( \pi \approx 3,14159… \), \( \sqrt{2} \approx 1,41421… \), \( e \approx 2,71828… \)

• Ces nombres ont un développement décimal infini non périodique

• Ils ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction

6. Opérations et règles de calcul dans ℝ

Pour tous nombres réels \( a, b, c, d \) et \( k \), les propriétés fondamentales suivantes sont vérifiées :

Propriétés de l’addition et de la multiplication

a + b = b + a \quad \text{et} \quad a \times b = b \times a

Commutativité de l’addition et de la multiplication

(a + b) + c = a + (b + c) \quad \text{et} \quad (a \times b) \times c = a \times (b \times c)

Associativité des opérations

k(a + b) = ka + kb \quad \text{et} \quad k(a – b) = ka – kb

Distributivité de la multiplication sur l’addition

L’opposé et l’inverse

Pour tout nombre réel \( a \) :

L’opposé de \( a \) est \( -a \) tel que : \( a + (-a) = 0 \)
L’inverse de \( a \neq 0 \) est \( \frac{1}{a} \) tel que : \( a \times \frac{1}{a} = 1 \)

-(-a) = a \quad \text{et} \quad -(a + b) = -a – b

Propriétés essentielles de l’opposé

Opérations sur les fractions

Pour \( b \neq 0 \) et \( d \neq 0 \) :

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Addition de deux fractions

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Multiplication de deux fractions

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \quad (c \neq 0)

Division de deux fractions

Exemple résolu

Calculer : \( \frac{2}{3} + \frac{5}{4} \)

Solution :

\frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{2 \times 4 + 5 \times 3}{3 \times 4} = \frac{8 + 15}{12} = \frac{23}{12}

Égalité de fractions

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc \quad (b \neq 0, \, d \neq 0)

Condition nécessaire et suffisante pour l’égalité de deux fractions

7. Racine carrée d’un nombre positif

Pour tout nombre réel positif ou nul \( a \), la racine carrée de \( a \), notée \( \sqrt{a} \), est le nombre positif dont le carré est égal à \( a \).

\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a

Définition fondamentale de la racine carrée

Propriétés essentielles

Pour \( a \geq 0 \) et \( b \geq 0 \) :

\sqrt{a^2} = |a| = a \quad (\text{si } a \geq 0)

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}

Produit de deux racines carrées

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b > 0)

Quotient de deux racines carrées

\left(\sqrt{a}\right)^n = \sqrt{a^n} \quad (n \in \mathbb{N})

Résolution d’équations avec racines

x^2 = a \quad \Longleftrightarrow \quad x = \sqrt{a} \text{ ou } x = -\sqrt{a} \quad (a \geq 0)

Solutions de l’équation x² = a

Exemples calculés

• \( \sqrt{16} = 4 \) car \( 4^2 = 16 \)

• \( \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 \)

• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)

• Résoudre \( x^2 = 9 \) : \( x = 3 \) ou \( x = -3 \)

8. Les puissances d’un nombre réel

Pour \( a \in \mathbb{R} \) et \( n \in \mathbb{N} \), la puissance n-ième de \( a \) est le produit de \( n \) facteurs égaux à \( a \).

a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs}}

Définition de a puissance n

Cas particuliers importants

a^0 = 1 \quad (\text{si } a \neq 0) \qquad a^1 = a

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (\text{si } a \neq 0)

Définition des puissances négatives

Puissances de 10

Les puissances de 10 sont fondamentales en notation scientifique :

10^n = 1\underbrace{00…0}_{n \text{ zéros}}

10^{-n} = 0,\underbrace{00…0}_{n \text{ zéros}}1

Exemples numériques

• \( 10^3 = 1000 \)

• \( 10^{-1} = 0,1 \)

• \( 10^{-2} = 0,01 \)

• \( 10^0 = 1 \)

Propriétés fondamentales des puissances

Pour \( a \neq 0 \), \( b \neq 0 \), \( n \in \mathbb{Z} \) et \( m \in \mathbb{Z} \) :

a^n \times a^m = a^{n+m}

Produit de puissances de même base

\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

Quotient de puissances de même base

(a^n)^m = a^{nm}

Puissance d’une puissance

(ab)^n = a^n \times b^n

Puissance d’un produit

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)

Puissance d’un quotient

Exercice résolu

Simplifier : \( \frac{2^5 \times 2^3}{2^4} \)

Solution :

\frac{2^5 \times 2^3}{2^4} = \frac{2^{5+3}}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16

9. Écriture scientifique d’un nombre décimal

La notation scientifique permet d’écrire efficacement des nombres très grands ou très petits.

a \times 10^p \quad \text{où} \quad 1 \leq a < 10 \text{ et } p \in \mathbb{Z}

Format standard de la notation scientifique

Règles essentielles :

\( a \) est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule
\( p \) est un entier relatif (positif, négatif ou nul)
Si \( p > 0 \) : le nombre est grand (≥ 10)
Si \( p < 0 \) : le nombre est petit (< 1)

Exemples de conversion

• \( 3500 = 3,5 \times 10^3 \)

• \( 0,00045 = 4,5 \times 10^{-4} \)

• \( 12000000 = 1,2 \times 10^7 \)

• Vitesse de la lumière : \( 299792458 \, \text{m/s} \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)

Opérations en notation scientifique

Multiplication

\( (2 \times 10^5) \times (3 \times 10^{-2}) = (2 \times 3) \times 10^{5+(-2)} = 6 \times 10^3 \)

Division

\( \frac{8 \times 10^6}{4 \times 10^2} = \frac{8}{4} \times 10^{6-2} = 2 \times 10^4 \)

10. Identités remarquables et factorisation

Les identités remarquables sont des formules fondamentales permettant de développer (transformer un produit en somme) ou de factoriser (transformer une somme en produit) des expressions algébriques.

Les trois identités de base

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \tag{1}

Carré d’une somme

(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \tag{2}

Carré d’une différence

a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \tag{3}

Différence de deux carrés (identité de factorisation)

Applications des identités de base

Développer : \( (x + 3)^2 \)

\( (x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \)

Factoriser : \( x^2 – 16 \)

\( x^2 – 16 = x^2 – 4^2 = (x – 4)(x + 4) \)

Identités avec les cubes

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) \tag{4}

Factorisation de la somme de deux cubes

a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \tag{5}

Factorisation de la différence de deux cubes

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \tag{6}

Développement du cube d’une somme

(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \tag{7}

Développement du cube d’une différence

Exercices résolus sur les cubes

Exemple 1 : Développer \( (2x + 1)^3 \)

Solution :

\begin{align*}(2x + 1)^3 &= (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3 \\&= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\end{align*}

Exemple 2 : Factoriser \( x^3 + 8 \)

Solution :

\( x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4) \)

Exemple 3 : Factoriser \( 27x^3 – 1 \)

Solution :

\( 27x^3 – 1 = (3x)^3 – 1^3 = (3x – 1)(9x^2 + 3x + 1) \)

Rappel important

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement.

11. Résumé du cours

Points clés à retenir sur ensembles de nombres

ℕ : Entiers naturels (0, 1, 2, 3…)
ℤ : Entiers relatifs (négatifs, nuls, positifs)
𝔻 : Nombres décimaux (développement fini)
ℚ : Nombres rationnels (fractions, développement fini ou périodique)
ℝ : Nombres réels (rationnels + irrationnels)
Hiérarchie : \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)
Racine carrée : \( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré vaut \( a \)
Puissances : \( a^n \times a^m = a^{n+m} \) ; \( (a^n)^m = a^{nm} \)
Notation scientifique : \( a \times 10^p \) avec \( 1 \leq a < 10 \)
Identités remarquables : Outils essentiels pour développer et factoriser

12. Questions fréquemment posées (FAQ)

Quelle est la différence entre ℕ et ℤ ?

ℕ contient uniquement les entiers naturels positifs ou nuls (0, 1, 2, 3…), tandis que ℤ contient tous les entiers relatifs, y compris les nombres négatifs (…-2, -1, 0, 1, 2…). Donc ℕ est inclus dans ℤ.

Tous les nombres décimaux sont-ils rationnels ?

Oui, tous les nombres décimaux sont rationnels car ils peuvent s’écrire sous forme de fraction. Par exemple : 2,5 = 25/10. Cependant, l’inverse n’est pas vrai : certains rationnels comme 1/3 = 0,333… ne sont pas décimaux car leur développement est infini.

Comment reconnaître un nombre irrationnel ?

Un nombre est irrationnel s’il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction et si son développement décimal est infini et non périodique. Exemples : π, √2, e. Ces nombres appartiennent à ℝ mais pas à ℚ.

Pourquoi √2 est-il irrationnel ?

√2 ≈ 1,41421356… est irrationnel car on peut démontrer par l’absurde qu’il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction p/q avec p et q entiers. Son développement décimal est infini et sans période.

Comment simplifier une racine carrée ?

Pour simplifier une racine carrée, on cherche un carré parfait dans la décomposition. Exemple : √50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2. On utilise la propriété √(ab) = √a × √b.

Quand utiliser la notation scientifique ?

La notation scientifique est utilisée pour exprimer des nombres très grands (distance astronomique : 1,5×10¹¹ m) ou très petits (taille d’un atome : 10⁻¹⁰ m). Elle facilite les calculs et la lecture des ordres de grandeur.

Comment savoir quand factoriser ou développer ?

Développer permet de transformer un produit en somme (utile pour calculer). Factoriser transforme une somme en produit (utile pour résoudre des équations ou simplifier). Le choix dépend de l’objectif du problème.

Quelle est la hiérarchie complète des ensembles de nombres ?

La hiérarchie est : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque ensemble contient le précédent. Les nombres naturels sont des entiers relatifs, qui sont des décimaux, qui sont des rationnels, qui sont des réels.

13. Exercices d’entraînement

Exercice 1 : Classification des nombres

Déterminer à quels ensembles appartiennent les nombres suivants :

a) 7
b) -3
c) 0,25
d) 1/3
e) √5
f) π

Solutions :

a) 7 ∈ ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ

b) -3 ∈ ℤ, ℚ, ℝ (mais pas ℕ)

c) 0,25 = 1/4 ∈ 𝔻, ℚ, ℝ

d) 1/3 ∈ ℚ, ℝ (développement périodique : 0,333…)

e) √5 ∈ ℝ uniquement (nombre irrationnel)

f) π ∈ ℝ uniquement (nombre irrationnel)

Exercice 2 : Calculs avec les fractions

Calculer et simplifier :

A = \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \quad ; \quad B = \frac{4}{7} \times \frac{5}{8} \quad ; \quad C = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}

Solutions détaillées :

A : \( \frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{19}{15} \)

B : \( \frac{4}{7} \times \frac{5}{8} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \)

C : \( \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \)

Exercice 3 : Simplification de racines

Simplifier les expressions suivantes :

D = \sqrt{72} \quad ; \quad E = \sqrt{18} + \sqrt{8} \quad ; \quad F = \sqrt{12} \times \sqrt{3}

Solutions :

D : \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)

E : \( \sqrt{18} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)

F : \( \sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6 \)

Exercice 4 : Identités remarquables

Développer puis factoriser :

G = (3x + 2)^2 \quad ; \quad H = x^2 – 25 \quad ; \quad I = (2x – 1)^3

Solutions :

G : \( (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)

H : \( x^2 – 25 = (x – 5)(x + 5) \)

I : \( (2x – 1)^3 = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \)

Conclusion

La maîtrise des ensembles de nombres est fondamentale pour progresser en mathématiques. De l’ensemble N des nombres naturels à l’ensemble R des nombres réels, chaque structure possède des propriétés spécifiques qui trouvent des applications concrètes dans de nombreux domaines : physique, informatique, économie et ingénierie.

Les opérations sur les nombres rationnels et décimaux, les techniques de simplification des racines carrées, la manipulation des puissances et l’utilisation des identités remarquables constituent un socle de compétences indispensables pour résoudre des problèmes mathématiques complexes.

Continuez à pratiquer avec les exercices sur les ensembles de nombres pour consolider vos connaissances et développer votre aisance calculatoire.