Écriture scientifique d'un nombre : définition et exemples

L’écriture scientifique est un outil mathématique fondamental qui permet de représenter de manière concise les nombres extrêmement grands ou incroyablement petits. De la masse de la Terre (5,97 × 10²⁴ kg) à celle d’un électron (9,109 × 10^-31 kg), cette notation révolutionne la façon dont les scientifiques, ingénieurs et étudiants manipulent les quantités physiques.

Dans ce leçon complet, vous apprendrez non seulement la définition de l’écriture scientifique, mais aussi à maîtriser ses applications pratiques, à éviter les pièges courants et à résoudre des exercices pas à pas. Que vous soyez lycéen en spécialité mathématiques ou étudiant en préparation aux grandes écoles, ce cours est conçu pour vous accompagner vers l’excellence.

Table des Matières

Définition de l’écriture scientifique

Définition : Un nombre décimal positif est écrit en notation scientifique (ou écriture scientifique) lorsqu’il est sous la forme :

\[ a \times 10^n \]

Où :

a est un nombre décimal tel que \( 1 \leqslant a < 10 \) (appelé mantisse ou significande)
n est un entier relatif (appelé exposant)

Caractéristiques essentielles

Cette écriture présente plusieurs particularités importantes :

Caractéristique	Explication	Exemple
Partie entière	Un seul chiffre non nul avant la virgule	3,25 (correct) \| 0,75 (incorrect) \| 12,3 (incorrect)
Mantisse	Comprise entre 1 (inclus) et 10 (exclu)	1,0 × 10⁵ \| 9,99 × 10^-3
Exposant	Entier positif pour grands nombres, négatif pour petits	10⁶ (grand) \| 10^-6 (petit)

Exemples fondamentaux

Voici des exemples qui illustrent la notation scientifique :

\[ \begin{align*}
300\,000\,000 &= 3 \times 10^8 \\
0,00456 &= 4,56 \times 10^{-3} \\
7\,450 &= 7,45 \times 10^3 \\
0,000\,000\,001 &= 1 \times 10^{-9}
\end{align*} \]

Propriétés et règles des puissances de 10

La manipulation de l’écriture scientifique repose sur la maîtrise des puissances de 10. Voici les propriétés essentielles à connaître :

Propriétés fondamentales

\[ \begin{align*}
\textbf{Multiplication :} \quad & 10^a \times 10^b = 10^{a+b} \\
\textbf{Division :} \quad & \frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b} \\
\textbf{Puissance de puissance :} \quad & (10^a)^b = 10^{a \times b} \\
\textbf{Valeurs remarquables :} \quad & 10^0 = 1; \quad 10^1 = 10; \quad 10^{-1} = 0,1
\end{align*} \]

Règles de conversion

Pour convertir un nombre en notation scientifique, suivez ces règles pratiques :

Pour les grands nombres (≥ 10)

Placer la virgule après le premier chiffre non nul
Compter le nombre de positions dont la virgule a été déplacée vers la gauche
Ce nombre devient l’exposant positif

Exemple : Convertissons 45 600 000

\[ 45\,600\,000 = 4,56 \times 10^7 \]

Pour les petits nombres (< 1)

Placer la virgule après le premier chiffre non nul
Compter le nombre de positions dont la virgule a été déplacée vers la droite
Ce nombre devient l’exposant négatif

Exemple : Convertissons 0,000 072

\[ 0,000\,072 = 7,2 \times 10^{-5} \]

Applications pratiques de l’écriture scientifique

En astronomie

L’astronomie utilise quotidiennement l’écriture scientifique pour représenter les distances cosmiques :

Objet céleste	Distance (écriture décimale)	Distance (écriture scientifique)
Terre – Soleil	149 600 000 km	1,496 × 10⁸ km
Terre – Lune	384 400 km	3,844 × 10⁵ km
Taille de l’Univers observable	880 000 000 000 000 000 000 000 km	8,8 × 10²³ km

En chimie et physique

Les quantités microscopiques nécessitent également la notation scientifique :

Particule/Constante	Valeur (écriture décimale)	Valeur (écriture scientifique)
Masse d’un électron	0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 94 g	9,1094 × 10^-28 g
Charge élémentaire	0,000 000 000 000 000 000 160 217 656 5 C	1,602176565 × 10^-19 C
Nombre d’Avogadro	602 214 076 000 000 000 000 000 mol^-1	6,02214076 × 10²³ mol^-1

Ordre de grandeur et comparaison

L’ordre de grandeur permet d’estimer rapidement la valeur d’un nombre sans effectuer de calculs précis :

Attention : L’ordre de grandeur dépend du significande :
Si a < 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ
Si a ≥ 5, l’ordre de grandeur est 10ⁿ⁺¹

Exemples :

\[ \begin{align*}
3,2 \times 10^6 &\Rightarrow \text{ordre de grandeur : } 10^6 \\
7,8 \times 10^4 &\Rightarrow \text{ordre de grandeur : } 10^5 \\
9,99 \times 10^{-3} &\Rightarrow \text{ordre de grandeur : } 10^{-2}
\end{align*} \]

Calculs avec l’écriture scientifique

Multiplication de nombres en notation scientifique

Pour multiplier deux nombres en écriture scientifique :

\[ (a \times 10^n) \times (b \times 10^m) = (a \times b) \times 10^{n+m} \]

Exemple détaillé : Calculons (3,5 × 10⁴) × (2 × 10³)

\[ \begin{align*}
(3,5 \times 10^4) \times (2 \times 10^3) &= (3,5 \times 2) \times (10^4 \times 10^3) \\
&= 7 \times 10^{4+3} \\
&= 7 \times 10^7
\end{align*} \]

Division de nombres en notation scientifique

Pour diviser deux nombres en notation scientifique :

\[ \frac{a \times 10^n}{b \times 10^m} = \frac{a}{b} \times 10^{n-m} \]

Exemple détaillé : Calculons (8 × 10⁶) ÷ (2 × 10²)

\[ \begin{align*}
\frac{8 \times 10^6}{2 \times 10^2} &= \frac{8}{2} \times \frac{10^6}{10^2} \\
&= 4 \times 10^{6-2} \\
&= 4 \times 10^4
\end{align*} \]

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des nombres en écriture scientifique, il faut d’abord les écrire avec la même puissance de 10 :

Exemple : Calculons 3,2 × 10⁵ + 1,5 × 10⁴

\[ \begin{align*}
3,2 \times 10^5 + 1,5 \times 10^4 &= 3,2 \times 10^5 + 0,15 \times 10^5 \\
&= (3,2 + 0,15) \times 10^5 \\
&= 3,35 \times 10^5
\end{align*} \]

Exercices corrigés

Exercice 1 : Conversion simple

Énoncé : Écrire les nombres suivants en notation scientifique :

456 000
0,0034
78 900 000
0,000 000 12

Solution :

\[ \begin{align*}
456\,000 &= 4,56 \times 10^5 \\
0,0034 &= 3,4 \times 10^{-3} \\
78\,900\,000 &= 7,89 \times 10^7 \\
0,000\,000\,12 &= 1,2 \times 10^{-7}
\end{align*} \]

Exercice 2 : Calculs en notation scientifique

Énoncé : Effectuer les calculs suivants et donner le résultat en écriture scientifique :

(2 × 10³) × (4 × 10⁵)
(9 × 10⁸) ÷ (3 × 10²)
5 × 10⁴ + 2 × 10³

Solution :

1. (2 × 10³) × (4 × 10⁵)

\[ \begin{align*}
(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5) &= (2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5) \\
&= 8 \times 10^{3+5} \\
&= 8 \times 10^8
\end{align*} \]

2. (9 × 10⁸) ÷ (3 × 10²)

\[ \begin{align*}
\frac{9 \times 10^8}{3 \times 10^2} &= \frac{9}{3} \times \frac{10^8}{10^2} \\
&= 3 \times 10^{8-2} \\
&= 3 \times 10^6
\end{align*} \]

3. 5 × 10⁴ + 2 × 10³

\[ \begin{align*}
5 \times 10^4 + 2 \times 10^3 &= 5 \times 10^4 + 0,2 \times 10^4 \\
&= (5 + 0,2) \times 10^4 \\
&= 5,2 \times 10^4
\end{align*} \]

Exercice 3 : Problème de physique

Énoncé : La vitesse de la lumière dans le vide est d’environ 300 000 km/s. La distance Terre-Soleil est d’environ 150 000 000 km.

Écrire ces deux valeurs en notation scientifique.
Calculer le temps que met la lumière du Soleil pour nous atteindre.

Solution :

1. Conversion en notation scientifique :

\[ \begin{align*}
300\,000 \text{ km/s} &= 3 \times 10^5 \text{ km/s} \\
150\,000\,000 \text{ km} &= 1,5 \times 10^8 \text{ km}
\end{align*} \]

2. Calcul du temps :

\[ \begin{align*}
t &= \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \frac{1,5 \times 10^8}{3 \times 10^5} \\
&= 0,5 \times 10^{8-5} \\
&= 0,5 \times 10^3 \\
&= 5 \times 10^2 \text{ secondes} \\
&= 500 \text{ secondes}
\end{align*} \]

La lumière met environ 500 secondes (soit 8 minutes 20 secondes) pour nous atteindre.

Erreurs courantes à éviter

Erreur 1 : Oublier que la mantisse doit être comprise entre 1 et 10
Incorrect : 0,75 × 10⁴ (car 0,75 < 1)
Correct : 7,5 × 10³

Erreur 2 : Se tromper dans le signe de l’exposant
Pour les nombres inférieurs à 1, l’exposant est négatif :
Incorrect : 0,005 = 5 × 10³
Correct : 0,005 = 5 × 10^-3

Erreur 3 : Ne pas conserver les zéros significatifs
Incorrect : 7,450 = 7,45 × 10⁰ (on perd l’information sur la précision)
Correct : 7,450 = 7,450 × 10⁰ (le zéro final est significatif)

Erreur 4 : Confondre écriture scientifique et notation E
La notation E est utilisée par les calculatrices : 5E-2 signifie 5 × 10^-2
Mais en écriture mathématique, on utilise la forme complète.

Résumé de la leçon

L’écriture scientifique est un outil puissant qui permet de :

Simplifier l’écriture des nombres très grands ou très petits
Faciliter les comparaisons entre grandeurs physiques
Gagner du temps dans les calculs complexes
Préciser le nombre de chiffres significatifs

Pour réussir :

Maîtrisez les puissances de 10 et leurs propriétés
Respectez toujours la condition \( 1 \leqslant a < 10 \) pour la mantisse
Attention aux signes des exposants selon la grandeur du nombre
Pratiquez régulièrement avec des exercices variés

Cette notation, utilisée dans tous les domaines scientifiques, est indispensable pour poursuivre des études scientifiques supérieures. Elle représente un véritable atout pour la compréhension des phénomènes naturels, de l’échelle atomique à l’échelle cosmique.

Questions fréquemment posées (FAQ)

Comment convertir un nombre en écriture scientifique ?

Pour convertir un nombre en écriture scientifique :

Déplacez la virgule pour n’avoir qu’un seul chiffre non nul avant elle (compris entre 1 et 9)
Comptez le nombre de positions de décalage
Si la virgule va vers la gauche, l’exposant est positif
Si la virgule va vers la droite, l’exposant est négatif

Exemple : 45 600 devient 4,56 × 10⁴

Quelle est la différence entre écriture scientifique et notation E ?

La notation E est une variante compacte utilisée par les calculatrices et ordinateurs :

Écriture scientifique : 3,5 × 10⁴
Notation E : 3.5E4 ou 3.5e4

Les deux représentent la même valeur, mais la notation E est plus compacte pour l’affichage numérique.

Comment multiplier des nombres en écriture scientifique ?

Pour multiplier (a × 10ⁿ) × (b × 10^m) :

Multipliez les mantisses : a × b
Additionnez les exposants : n + m
Réécrivez le résultat en notation scientifique si nécessaire

Exemple : (2 × 10³) × (4 × 10⁵) = 8 × 10⁸

Pourquoi utilise-t-on l’écriture scientifique ?

L’écriture scientifique est utilisée pour plusieurs raisons :

Compacité : Évite d’écrire de nombreux zéros
Clarté : Facilite la lecture des très grands/petits nombres
Précision : Indique le nombre de chiffres significatifs
Comparaison : Permet de comparer rapidement des ordres de grandeur
Calculs : Simplifie les opérations sur les puissances de 10

Qu’est-ce que l’ordre de grandeur ?

L’ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche d’un nombre :

Si la mantisse a < 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ
Si la mantisse a ≥ 5, l’ordre de grandeur est 10ⁿ⁺¹

Exemples : 3,2 × 10⁶ → 10⁶ | 7,8 × 10⁴ → 10⁵