Dans le domaine des mathématiques, la fonction affine constitue l’une des notions fondamentales que tout élève doit maîtriser. Elle permet de modéliser de nombreuses situations concrètes de la vie quotidienne, de l’économie à la physique, en passant par la géométrie. Contrairement aux fonctions linéaires qui représentent une proportionnalité stricte, les fonctions affines introduisent une constante qui enrichit considérablement leurs applications pratiques.
Ce cours détaillé vous accompagnera dans la compréhension complète des fonctions affines : de leur définition rigoureuse à leurs propriétés graphiques, en passant par les méthodes de détermination et l’étude de leur signe. Vous découvrirez également comment distinguer une fonction affine d’une fonction linéaire, comment calculer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine, et comment résoudre des problèmes concrets grâce à ces outils mathématiques.
Qu’est-ce qu’une fonction affine ? Définition et propriétés
Définition formelle
Une fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) est appelée fonction affine si et seulement si elle peut s’écrire sous la forme :
où a et b sont deux nombres réels quelconques appelés paramètres de la fonction.
- Le nombre a est appelé coefficient directeur ou pente de la fonction.
- Le nombre b est appelé ordonnée à l’origine de la fonction.
Exemples de fonctions affines
Considérons plusieurs exemples pour bien comprendre cette définition :
- La fonction \( f(x) = 3x + 5 \) est une fonction affine avec \( a = 3 \) et \( b = 5 \)
- La fonction \( g(x) = -2x + 7 \) est une fonction affine avec \( a = -2 \) et \( b = 7 \)
- La fonction \( h(x) = \frac{1}{2}x – 4 \) est une fonction affine avec \( a = \frac{1}{2} \) et \( b = -4 \)
Cas particuliers importants
Les fonctions affines englobent deux cas particuliers qui méritent une attention spéciale :
Fonction linéaire
Lorsque b = 0, la fonction affine devient une fonction linéaire. Elle s’écrit alors \( f(x) = ax \). Les fonctions linéaires traduisent des situations de proportionnalité directe entre deux grandeurs.
Exemple : La fonction \( f(x) = 4x \) est à la fois affine et linéaire.
Fonction constante
Lorsque a = 0, la fonction affine devient une fonction constante. Elle s’écrit alors \( f(x) = b \). Pour toute valeur de x, la fonction renvoie toujours la même image b.
Exemple : La fonction \( f(x) = 6 \) est une fonction constante (et donc affine).
Attention : Toute fonction linéaire est une fonction affine, mais l’inverse n’est pas vrai ! Une fonction affine n’est linéaire que si son ordonnée à l’origine est nulle.
Coefficient directeur et ordonnée à l’origine : comprendre les paramètres
Le coefficient directeur a
Le coefficient directeur mesure la variation de la fonction. Il indique de combien varie l’image lorsque la variable augmente d’une unité. Plus précisément :
Cette formule est valable pour tous nombres réels \( x_1 \) et \( x_2 \) distincts. Le coefficient directeur détermine également le sens de variation de la fonction :
- Si \( a > 0 \), la fonction est croissante sur \( \mathbb{R} \)
- Si \( a < 0 \), la fonction est décroissante sur \( \mathbb{R} \)
- Si \( a = 0 \), la fonction est constante sur \( \mathbb{R} \)
L’ordonnée à l’origine b
L’ordonnée à l’origine représente la valeur de la fonction lorsque \( x = 0 \). En effet :
Graphiquement, c’est le point où la représentation de la fonction coupe l’axe des ordonnées. Ce paramètre permet de positionner verticalement la droite dans le plan.
Propriété caractéristique : le taux d’accroissement constant
Théorème : Une fonction f définie sur \( \mathbb{R} \) est affine si et seulement si pour tous réels distincts \( x_1 \) et \( x_2 \), le rapport suivant est constant :
Ce rapport constant, égal au coefficient directeur, s’appelle le taux d’accroissement de la fonction.
Cette propriété signifie que l’accroissement de l’image est proportionnel à l’accroissement de la variable. C’est une caractérisation fondamentale des fonctions affines.
Représentation graphique d’une fonction affine
Propriété fondamentale
Propriété : Dans un repère du plan, la représentation graphique d’une fonction affine \( f(x) = ax + b \) est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation \( y = ax + b \).
Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.
Tracer la représentation graphique d’une fonction affine
Pour tracer la droite représentant une fonction affine, plusieurs méthodes sont possibles :
Méthode 1 : En utilisant deux points
Puisqu’une droite est entièrement déterminée par deux points, il suffit de calculer les images de deux valeurs de x distinctes, puis de placer les points correspondants dans le repère et de tracer la droite passant par ces points.
Exemple : Traçons la fonction \( f(x) = 2x – 3 \)
- Pour \( x = 0 \) : \( f(0) = 2 \times 0 – 3 = -3 \). Le point \( A(0 ; -3) \) appartient à la droite.
- Pour \( x = 2 \) : \( f(2) = 2 \times 2 – 3 = 1 \). Le point \( B(2 ; 1) \) appartient à la droite.
On trace ensuite la droite passant par les points A et B.
Méthode 2 : En utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur
- On place le point d’ordonnée à l’origine \( (0 ; b) \) sur l’axe des ordonnées
- À partir de ce point, on se déplace de 1 unité vers la droite (sur l’axe des abscisses)
- On monte de a unités si \( a > 0 \) ou on descend de \( |a| \) unités si \( a < 0 \)
- On obtient un deuxième point et on trace la droite
Exemple : Pour \( f(x) = -\frac{3}{2}x + 4 \), on place le point \( (0 ; 4) \), puis en avançant de 2 unités à droite, on descend de 3 unités pour obtenir un second point.
Interprétation géométrique du coefficient directeur
Le coefficient directeur a indique l’inclinaison de la droite :
- Si \( a > 0 \), la droite « monte » (de gauche à droite)
- Si \( a < 0 \), la droite « descend » (de gauche à droite)
- Plus la valeur absolue \( |a| \) est grande, plus la droite est « raide »
- Si \( a = 0 \), la droite est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses)
Comment déterminer l’expression d’une fonction affine ?
Plusieurs situations se présentent pour déterminer une fonction affine, c’est-à-dire trouver les valeurs de a et b.
Méthode 1 : À partir de deux images connues
Si l’on connaît les images de deux nombres distincts par la fonction affine, on peut déterminer complètement la fonction.
Méthode : Soit f une fonction affine telle que \( f(x_1) = y_1 \) et \( f(x_2) = y_2 \) avec \( x_1 \neq x_2 \).
- On calcule le coefficient directeur : \( a = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \)
- On détermine b en remplaçant dans l’équation \( f(x_1) = ax_1 + b \), ce qui donne : \( b = y_1 – ax_1 \)
Exemple résolu :
Déterminons la fonction affine f telle que \( f(2) = 7 \) et \( f(5) = 1 \).
a &= \frac{f(5) – f(2)}{5 – 2} \\
&= \frac{1 – 7}{3} \\
&= \frac{-6}{3} \\
&= -2
\end{align*}
Donc \( f(x) = -2x + b \). Or \( f(2) = 7 \), donc :
7 &= -2 \times 2 + b \\
7 &= -4 + b \\
b &= 11
\end{align*}
Conclusion : \( f(x) = -2x + 11 \)
Méthode 2 : À partir de la représentation graphique
Lorsqu’on dispose du graphique d’une fonction affine, on peut déterminer son expression en deux étapes :
- Lecture de l’ordonnée à l’origine : On repère le point d’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées. Son ordonnée est la valeur de b.
- Calcul du coefficient directeur : On choisit deux points bien visibles sur la droite, de coordonnées \( (x_1 ; y_1) \) et \( (x_2 ; y_2) \), puis on calcule \( a = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \).
Astuce pratique : Pour déterminer rapidement le coefficient directeur graphiquement, partez d’un point de la droite, avancez de 1 unité vers la droite et observez de combien vous devez monter (si \( a > 0 \)) ou descendre (si \( a < 0 \)) pour rejoindre la droite. Cette valeur est le coefficient directeur.
Méthode 3 : Par résolution d’un système d’équations
Cette méthode est une formalisation algébrique de la première méthode. Si \( f(x_1) = y_1 \) et \( f(x_2) = y_2 \), on écrit le système :
\begin{cases}
ax_1 + b = y_1 \\
ax_2 + b = y_2
\end{cases}
\]
On résout ce système par substitution ou par combinaison linéaire pour trouver les valeurs de a et b.
Images, antécédents et équations
Calcul d’une image
Calculer l’image d’un nombre x par une fonction affine f revient à calculer \( f(x) \) en remplaçant x par sa valeur dans l’expression de la fonction.
Exemple : Soit \( f(x) = 3x – 7 \). Calculons l’image de 4.
f(4) &= 3 \times 4 – 7 \\
&= 12 – 7 \\
&= 5
\end{align*}
L’image de 4 par f est 5.
Calcul d’un antécédent
Calculer l’antécédent d’un nombre y par une fonction affine revient à résoudre l’équation \( f(x) = y \).
Exemple : Avec la même fonction \( f(x) = 3x – 7 \), cherchons l’antécédent de 11.
On résout : \( 3x – 7 = 11 \)
3x – 7 &= 11 \\
3x &= 11 + 7 \\
3x &= 18 \\
x &= \frac{18}{3} \\
x &= 6
\end{align*}
L’antécédent de 11 par f est 6.
Propriété d’existence et d’unicité
Pour une fonction affine \( f(x) = ax + b \) avec \( a \neq 0 \), tout nombre réel possède un unique antécédent par f.
L’antécédent de y est donné par : \( x = \dfrac{y – b}{a} \)
Étude du signe d’une fonction affine et tableau de signes
Étudier le signe d’une fonction affine consiste à déterminer pour quelles valeurs de x la fonction est positive, négative ou nulle. Cette étude est fondamentale pour résoudre des inéquations.
Racine d’une fonction affine
La racine (ou zéro) d’une fonction affine \( f(x) = ax + b \) avec \( a \neq 0 \) est la valeur de x pour laquelle \( f(x) = 0 \).
ax + b &= 0 \\
ax &= -b \\
x &= -\frac{b}{a}
\end{align*}
La racine de la fonction est \( x_0 = -\dfrac{b}{a} \). Graphiquement, c’est l’abscisse du point d’intersection de la droite avec l’axe des abscisses.
Règle générale du signe
Soit \( f(x) = ax + b \) une fonction affine avec \( a \neq 0 \).
- Si \( a > 0 \) (fonction croissante) :
- \( f(x) < 0 \) pour \( x < -\dfrac{b}{a} \)
- \( f(x) = 0 \) pour \( x = -\dfrac{b}{a} \)
- \( f(x) > 0 \) pour \( x > -\dfrac{b}{a} \)
- Si \( a < 0 \) (fonction décroissante) :
- \( f(x) > 0 \) pour \( x < -\dfrac{b}{a} \)
- \( f(x) = 0 \) pour \( x = -\dfrac{b}{a} \)
- \( f(x) < 0 \) pour \( x > -\dfrac{b}{a} \)
Mnémotechnique : si le coefficient directeur est positif, la fonction est négative avant la racine et positive après. Si le coefficient est négatif, c’est l’inverse.
Construction d’un tableau de signes
Le tableau de signes présente de manière synthétique le signe de la fonction sur l’ensemble des réels.
Exemple 1 : Étudions le signe de \( f(x) = 2x – 6 \)
- Coefficient directeur : \( a = 2 > 0 \) (fonction croissante)
- Racine : \( 2x – 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
| \( x \) | \( -\infty \) | 3 | \( +\infty \) | ||
| \( f(x) = 2x – 6 \) | − | 0 | + |
Exemple 2 : Étudions le signe de \( g(x) = -3x + 9 \)
- Coefficient directeur : \( a = -3 < 0 \) (fonction décroissante)
- Racine : \( -3x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
| \( x \) | \( -\infty \) | 3 | \( +\infty \) | ||
| \( g(x) = -3x + 9 \) | + | 0 | − |
Attention : Avant de construire un tableau de signes, vérifiez toujours si la fonction est sous la forme \( ax + b \). Si nécessaire, développez et réduisez l’expression.
Applications concrètes des fonctions affines
Les fonctions affines modélisent de nombreuses situations réelles où une grandeur dépend linéairement d’une autre, avec une valeur initiale non nulle.
Application 1 : Tarification avec abonnement
Situation : Un opérateur téléphonique propose un forfait à 15 € par mois, puis facture 0,25 € par minute de communication.
Si x représente le nombre de minutes consommées et \( C(x) \) le coût total en euros, alors :
Il s’agit d’une fonction affine avec :
- \( a = 0{,}25 \) : coût variable par minute
- \( b = 15 \) : coût fixe mensuel (abonnement)
Question : Quel est le coût pour 80 minutes de communication ?
C(80) &= 0{,}25 \times 80 + 15 \\
&= 20 + 15 \\
&= 35 \text{ euros}
\end{align*}
Application 2 : Conversion de températures
Situation : La conversion entre degrés Celsius (C) et degrés Fahrenheit (F) est donnée par la formule :
Il s’agit d’une fonction affine où la température en Fahrenheit dépend linéairement de la température en Celsius.
Question : À quelle température en Fahrenheit correspond 20°C ?
F &= \frac{9}{5} \times 20 + 32 \\
&= \frac{180}{5} + 32 \\
&= 36 + 32 \\
&= 68°F
\end{align*}
Application 3 : Physique – Loi de Hooke
Situation : Un ressort au repos mesure 15 cm. Lorsqu’on applique une force, sa longueur augmente proportionnellement à la force appliquée. Si une force de 10 N l’allonge de 2 cm, quelle est la fonction donnant la longueur L en fonction de la force F ?
La longueur est donnée par une fonction affine : \( L(F) = kF + L_0 \)
- \( L_0 = 15 \) cm (longueur au repos)
- Pour \( F = 10 \) N, \( L = 17 \) cm
17 &= k \times 10 + 15 \\
k &= \frac{17 – 15}{10} \\
k &= \frac{2}{10} \\
k &= 0{,}2
\end{align*}
Donc : \( L(F) = 0{,}2F + 15 \)
Exercices résolus sur les fonctions affines
Exercice 1 : Reconnaître et identifier
Énoncé : Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont affines ? Pour celles qui le sont, préciser les valeurs de a et b.
- a) \( f(x) = 5x – 3 \)
- b) \( g(x) = x^2 + 2 \)
- c) \( h(x) = \dfrac{4 – 2x}{3} \)
- d) \( k(x) = 7 \)
Solution :
a) \( f(x) = 5x – 3 \) est bien de la forme \( ax + b \) avec \( a = 5 \) et \( b = -3 \). C’est une fonction affine.
b) \( g(x) = x^2 + 2 \) n’est pas une fonction affine car elle contient un terme en \( x^2 \).
c) Développons : \( h(x) = \dfrac{4 – 2x}{3} = \dfrac{4}{3} – \dfrac{2x}{3} = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3} \)
C’est une fonction affine avec \( a = -\dfrac{2}{3} \) et \( b = \dfrac{4}{3} \).
d) \( k(x) = 7 \) est une fonction constante, donc affine avec \( a = 0 \) et \( b = 7 \).
Exercice 2 : Déterminer une fonction affine
Énoncé : Déterminer la fonction affine f telle que \( f(-1) = 5 \) et \( f(3) = -3 \).
Solution :
Étape 1 : Calcul du coefficient directeur
a &= \frac{f(3) – f(-1)}{3 – (-1)} \\
&= \frac{-3 – 5}{3 + 1} \\
&= \frac{-8}{4} \\
&= -2
\end{align*}
Étape 2 : Calcul de l’ordonnée à l’origine
On sait que \( f(x) = -2x + b \). Utilisons \( f(-1) = 5 \) :
5 &= -2 \times (-1) + b \\
5 &= 2 + b \\
b &= 3
\end{align*}
Réponse : \( f(x) = -2x + 3 \)
Vérification : \( f(3) = -2 \times 3 + 3 = -6 + 3 = -3 \) ✓
Exercice 3 : Tableau de signes et inéquation
Énoncé : Résoudre l’inéquation \( 3x – 9 \geq 0 \).
Solution :
Posons \( f(x) = 3x – 9 \). Il s’agit d’une fonction affine avec \( a = 3 > 0 \).
Cherchons la racine :
3x – 9 &= 0 \\
3x &= 9 \\
x &= 3
\end{align*}
Tableau de signes :
| \( x \) | \( -\infty \) | 3 | \( +\infty \) | ||
| \( 3x – 9 \) | − | 0 | + |
Réponse : L’ensemble des solutions de \( 3x – 9 \geq 0 \) est \( [3 ; +\infty[ \) ou \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3 \} \).
Exercice 4 : Problème concret
Énoncé : Une entreprise de location de voitures facture 40 € par jour plus 0,30 € par kilomètre parcouru. Un concurrent facture 55 € par jour plus 0,20 € par kilomètre. À partir de combien de kilomètres le second tarif devient-il plus avantageux ?
Solution :
Notons x le nombre de kilomètres parcourus.
- Coût entreprise 1 : \( C_1(x) = 0{,}30x + 40 \)
- Coût entreprise 2 : \( C_2(x) = 0{,}20x + 55 \)
On cherche pour quelles valeurs de x on a \( C_2(x) < C_1(x) \) :
0{,}20x + 55 &< 0{,}30x + 40 \\ 55 – 40 &< 0{,}30x – 0{,}20x \\ 15 &< 0{,}10x \\ \frac{15}{0{,}10} &< x \\ 150 &< x \end{align*}
Réponse : Le second tarif devient plus avantageux à partir de 150 kilomètres (strictement).
Conseils et pièges à éviter
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre fonction affine et fonction linéaire : Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où \( b = 0 \). Toute fonction linéaire est affine, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.
- Oublier le signe lors du calcul de la racine : Lorsqu’on résout \( ax + b = 0 \), il faut bien faire attention aux signes. La racine est \( x = -\dfrac{b}{a} \) et non \( \dfrac{b}{a} \).
- Inverser le sens de l’inégalité : Lorsqu’on divise ou multiplie une inéquation par un nombre négatif, il faut impérativement changer le sens de l’inégalité.
- Mal lire le tableau de signes : Pour une fonction croissante (\( a > 0 \)), le signe est négatif avant la racine et positif après. Pour une fonction décroissante (\( a < 0 \)), c’est l’inverse.
- Confondre image et antécédent : L’image est le résultat (la sortie) de la fonction, tandis que l’antécédent est la valeur (l’entrée) qui produit ce résultat.
- Négliger les unités dans les problèmes concrets : Dans les applications pratiques, toujours vérifier la cohérence des unités et les mentionner dans la réponse finale.
Conseils pour réussir
- Vérifiez toujours vos calculs : Après avoir déterminé une fonction affine, vérifiez que les conditions initiales sont bien satisfaites.
- Faites des schémas : Représenter graphiquement une fonction aide énormément à comprendre son comportement et à vérifier les résultats.
- Maîtrisez les transformations d’expressions : Savoir développer, factoriser et mettre sous forme \( ax + b \) est essentiel.
- Entraînez-vous régulièrement : La maîtrise des fonctions affines s’acquiert par la pratique répétée d’exercices variés.
Conclusion et points clés à retenir
Les fonctions affines constituent un pilier fondamental des mathématiques du collège et du lycée. Leur maîtrise est indispensable pour progresser vers des concepts plus avancés et pour résoudre de nombreux problèmes pratiques.
Récapitulons les éléments essentiels de ce cours :
- Une fonction affine s’écrit sous la forme \( f(x) = ax + b \) où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine
- Sa représentation graphique est toujours une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
- Le signe du coefficient directeur détermine le sens de variation : croissante si \( a > 0 \), décroissante si \( a < 0 \)
- Pour déterminer une fonction affine, il suffit de connaître deux points de sa représentation graphique ou deux couples (antécédent, image)
- L’étude du signe d’une fonction affine repose sur la recherche de sa racine et l’analyse du signe du coefficient directeur
- Les fonctions affines modélisent efficacement de nombreuses situations concrètes impliquant un coût fixe et un coût variable
En maîtrisant ces concepts, vous disposez d’outils puissants pour analyser et résoudre une grande variété de problèmes mathématiques et scientifiques. Continuez à pratiquer régulièrement pour consolider vos acquis et développer votre intuition mathématique.