Tableau de Variation : Cours Complet avec 6 Méthodes

Qu’est-ce qu’un tableau de variation ?

Le tableau utilise des flèches pour indiquer le sens de variation : une flèche montante (↗) signifie que la fonction est croissante, tandis qu’une flèche descendante (↘) indique qu’elle est décroissante. Une flèche horizontale (→) représente une fonction constante sur un intervalle.

Structure d’un tableau de variation

Un tableau de variation classique se compose de plusieurs lignes :

• Première ligne : les valeurs de \( x \) (bornes du domaine et points critiques)
• Deuxième ligne (facultative) : le signe de la dérivée \( f'(x) \)
• Troisième ligne : les variations de \( f(x) \) avec les flèches et les valeurs

Le lien fondamental entre dérivée et variation

Ce théorème constitue le principe fondamental qui permet de dresser un tableau de variation. La fonction dérivée \( f'(x) \) nous renseigne sur la « pente » de la courbe : une dérivée positive indique une montée, une dérivée négative une descente.

Points critiques et extremums

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de \( x \) où la dérivée s’annule : \( f'(x) = 0 \). Ces points sont essentiels car ils correspondent aux endroits où la fonction peut changer de sens de variation.

Un extremum se produit lorsque la dérivée s’annule et change de signe. Si la dérivée passe du positif au négatif, on a un maximum. Si elle passe du négatif au positif, on a un minimum.

Méthode pour construire un tableau de variation

Voici la démarche complète en 6 étapes pour dresser un tableau de variation sans erreur :

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition

Identifiez l’intervalle ou les intervalles sur lesquels la fonction est définie. Notez les valeurs interdites (division par zéro, racine carrée de nombres négatifs, logarithme de nombres négatifs ou nuls).

Étape 2 : Calculer la fonction dérivée

Utilisez les formules de dérivation pour obtenir \( f'(x) \). Rappel des principales règles :

• La dérivée de \( x^n \) est \( nx^{n-1} \)
• La dérivée de \( e^x \) est \( e^x \)
• La dérivée de \( \ln(x) \) est \( \frac{1}{x} \)
• Règle du produit : \( (uv)’ = u’v + uv’ \)
• Règle du quotient : \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)

Étape 3 : Résoudre l’équation \( f'(x) = 0 \)

Trouvez les points critiques en résolvant cette équation. Ces valeurs seront les « frontières » entre les différentes zones de croissance et de décroissance.

Étape 4 : Étudier le signe de la dérivée

Construisez un tableau de signes pour \( f'(x) \) en analysant son signe sur chaque intervalle délimité par les points critiques. Utilisez la factorisation et la règle des signes.

Étape 5 : Calculer les valeurs aux extremums

Pour chaque point critique trouvé, calculez \( f(a) \), \( f(b) \), etc. Ces valeurs apparaîtront dans le tableau de variation aux extrémités des flèches.

Étape 6 : Construire le tableau de variation

Assemblez toutes les informations :

• Placez les bornes et les points critiques dans l’ordre croissant
• Indiquez les signes de la dérivée
• Tracez les flèches (↗ si \( f'(x) > 0 \), ↘ si \( f'(x) < 0 \))
• Ajoutez les valeurs des extremums et les limites

Exemples détaillés avec solutions complètes

Exemple 1 : Fonction polynôme du second degré

Énoncé : Dresser le tableau de variation de la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \).

Solution :

Étape 1 : La fonction est définie sur \( \mathbb{R} \) (aucune restriction).

Étape 2 : Calculons la dérivée :

Étape 3 : Résolvons \( f'(x) = 0 \) :

Étape 4 : Tableau de signes de \( f'(x) = 2x – 4 \) :

• Si \( x < 2 \), alors \( 2x – 4 < 0 \), donc \( f'(x) < 0 \)
• Si \( x > 2 \), alors \( 2x – 4 > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \)

Étape 5 : Calculons \( f(2) \) :

Étape 6 : Limites aux bornes :

Tableau de variation :

Conclusion : La fonction \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 2] \) et croissante sur \( [2, +\infty[ \). Elle admet un minimum en \( x = 2 \) avec \( f(2) = -1 \).

Exemple 2 : Fonction polynôme du troisième degré

Énoncé : Étudier les variations de la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \).

Solution :

Étape 1 : Domaine de définition : \( \mathbb{R} \).

Étape 2 : Dérivée :

Étape 3 : Points critiques :

Étape 4 : Tableau de signes. Puisque \( f'(x) = 3(x-1)(x+1) \), on étudie le signe du produit :

• Si \( x < -1 \) : \( (x-1) < 0 \) et \( (x+1) < 0 \), donc \( f'(x) > 0 \)
• Si \( -1 < x < 1 \) : \( (x-1) < 0 \) et \( (x+1) > 0 \), donc \( f'(x) < 0 \)
• Si \( x > 1 \) : \( (x-1) > 0 \) et \( (x+1) > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \)

Étape 5 : Valeurs aux extremums :

Étape 6 : Limites :

Tableau de variation :

Interprétation : La fonction admet un maximum local en \( x = -1 \) avec \( f(-1) = 3 \), et un minimum local en \( x = 1 \) avec \( f(1) = -1 \).

Exemple 3 : Fonction rationnelle

Énoncé : Dresser le tableau de variation de \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \) sur son domaine de définition.

Solution :

Étape 1 : Domaine : \( \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \) (car le dénominateur ne doit pas s’annuler).

Étape 2 : Calculons la dérivée en utilisant la règle du quotient :

Étape 3 : Résolvons \( f'(x) = 0 \) :

Étape 4 : Tableau de signes. Le dénominateur \( x^2 \) est toujours positif. Le signe de \( f'(x) \) dépend du numérateur \( (x-1)(x+1) \) :

• Si \( x < -1 \) : \( f'(x) > 0 \)
• Si \( -1 < x < 0 \) : \( f'(x) < 0 \)
• Si \( 0 < x < 1 \) : \( f'(x) < 0 \)
• Si \( x > 1 \) : \( f'(x) > 0 \)

Étape 5 : Valeurs aux extremums :

Étape 6 : Limites :

Tableau de variation :

Note : La double barre || en \( x = 0 \) indique que la fonction n’est pas définie en ce point.

Fonctions usuelles et leurs tableaux de variation

Fonctions affines

Pour une fonction affine \( f(x) = ax + b \) :

• Si \( a > 0 \), la fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
• Si \( a < 0 \), la fonction est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \)
• Si \( a = 0 \), la fonction est constante sur \( \mathbb{R} \)

Fonction carré

La fonction \( f(x) = x^2 \) est :

• Décroissante sur \( ]-\infty, 0] \)
• Croissante sur \( [0, +\infty[ \)
• Admet un minimum en \( x = 0 \) avec \( f(0) = 0 \)

Fonction exponentielle

La fonction \( f(x) = e^x \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). Sa dérivée \( f'(x) = e^x \) est toujours positive.

Fonction logarithme népérien

La fonction \( f(x) = \ln(x) \) est strictement croissante sur \( ]0, +\infty[ \). Sa dérivée \( f'(x) = \frac{1}{x} \) est positive sur son domaine.

Applications pratiques du tableau de variation

Résolution d’équations et inéquations

Le tableau de variation permet de déterminer le nombre de solutions d’une équation \( f(x) = k \) en observant où la droite horizontale \( y = k \) coupe la courbe.

Optimisation

Dans de nombreux problèmes concrets (économie, physique, ingénierie), on cherche à maximiser ou minimiser une quantité. Le tableau de variation révèle directement les extremums de la fonction étudiée.

Exemple d’optimisation : Une entreprise fabrique des composants électroniques. Le coût de production pour \( x \) milliers d’unités est donné par \( C(x) = 0.2x^3 – 3x^2 + 15x + 50 \) (en milliers d’euros), et le revenu par \( R(x) = 20x \). Le bénéfice est \( B(x) = R(x) – C(x) \). Pour trouver la production optimale, on dresse le tableau de variation de \( B(x) \).

Étude complète de fonctions

Le tableau de variation est une étape incontournable dans toute étude de fonction au lycée et à l’université. Il prépare le tracé de la courbe représentative et permet de vérifier la cohérence des calculs.

Cas particuliers et situations avancées

Fonction avec valeur absolue

Pour étudier une fonction contenant une valeur absolue, on distingue les cas selon le signe de l’expression sous la valeur absolue.

Fonction avec racine carrée

Attention au domaine de définition : \( \sqrt{u(x)} \) nécessite \( u(x) \geq 0 \). La dérivée est \( \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} \).

Fonction définie par morceaux

Pour une fonction définie par plusieurs expressions selon les intervalles, on étudie chaque morceau séparément et on vérifie la continuité aux points de jonction.

Points où la dérivée n’existe pas

Certaines fonctions ne sont pas dérivables partout. Par exemple, \( f(x) = |x| \) n’est pas dérivable en \( x = 0 \). On indique ce point dans le tableau avec un symbole spécial.

Exercices d’entraînement guidés

Exercice 1 : Fonction avec paramètre

Énoncé : Soit \( f(x) = x^2 – 2mx + m \) où \( m \) est un paramètre réel. Déterminer le tableau de variation de \( f \) en fonction de \( m \).

Indication : Calculez la dérivée, trouvez le point critique en fonction de \( m \), puis analysez le signe de la dérivée.

Solution :

Point critique : \( f'(x) = 0 \iff x = m \)

Signe de \( f'(x) \) :

• Si \( x < m \), alors \( f'(x) < 0 \)
• Si \( x > m \), alors \( f'(x) > 0 \)

Valeur du minimum :

Le tableau de variation montre que \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, m] \) et croissante sur \( [m, +\infty[ \), avec un minimum en \( x = m \) de valeur \( -m^2 + m \).

Exercice 2 : Fonction trigonométrique

Énoncé : Dresser le tableau de variation de \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) sur \( [0, 2\pi] \).

Solution :

Dérivée :

Résolvons \( f'(x) = 0 \) :

Valeurs aux extremums :

Valeurs aux bornes :

Conclusion : Maîtriser le tableau de variation pour réussir

Le tableau de variation est bien plus qu’un simple outil de représentation : c’est une méthode rigoureuse d’analyse qui révèle la structure profonde d’une fonction. En maîtrisant la technique de construction du tableau, vous développez une compréhension intuitive du comportement des fonctions et de leur dérivée.

Les points essentiels à retenir :

• Le signe de la dérivée détermine le sens de variation
• Les extremums se situent aux points où la dérivée s’annule et change de signe
• Le domaine de définition et les limites aux bornes sont fondamentaux
• La pratique régulière avec des exemples variés consolide la maîtrise

Que vous prépariez le baccalauréat, un concours d’entrée en école d’ingénieurs ou un examen universitaire, le tableau de variation sera votre allié pour analyser et représenter graphiquement des fonctions avec précision et confiance.

Questions fréquemment posées