Qu’est-ce que le Logarithme Népérien ?
Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout nombre réel strictement positif \( x \), le logarithme népérien de \( x \), noté \( \ln(x) \), est l’unique solution réelle de l’équation \( e^y = x \).
Domaine de définition : \( D_{\ln} = \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \)
Ensemble d’arrivée : \( \mathbb{R} \)
Valeurs remarquables
Certaines valeurs du logarithme népérien sont fondamentales et doivent être mémorisées :
\[ \ln(e) = 1 \quad \text{car} \quad e^1 = e \]
Lien fondamental avec l’exponentielle
Les deux propriétés suivantes illustrent la réciprocité entre les fonctions logarithme et exponentielle :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \ln(e^x) = x \]
Propriétés Algébriques du Logarithme
Les propriétés algébriques du logarithme népérien sont au cœur de son utilité pratique. Elles permettent de transformer des opérations complexes en calculs plus simples.
Propriétés fondamentales
Pour tous réels \( a \) et \( b \) strictement positifs, et pour tout entier relatif \( n \) :
1. Logarithme d’un produit
2. Logarithme d’un quotient
3. Logarithme d’une puissance
4. Logarithme d’un inverse
5. Logarithme d’une racine
Démonstration de la propriété du produit
Démontrons que \( \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \) pour \( a, b > 0 \).
Méthode : Posons \( A = e^{\ln(a)} \) et \( B = e^{\ln(b)} \). Par définition, \( A = a \) et \( B = b \).
a \times b &= e^{\ln(a)} \times e^{\ln(b)} \\
&= e^{\ln(a) + \ln(b)} \quad \text{(propriété de l’exponentielle)} \\
\end{align*}
En appliquant le logarithme népérien aux deux membres :
Dérivée du Logarithme Népérien
Dérivée de la fonction logarithme
La fonction logarithme népérien est dérivable sur \( \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \) et sa dérivée est :
Démonstration
Posons \( f(x) = e^{\ln(x)} \) pour tout \( x \in \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \). Par définition, \( f(x) = x \).
En dérivant les deux membres et en utilisant la dérivée d’une fonction composée :
f'(x) &= (\ln(x))’ \cdot e^{\ln(x)} \\
1 &= (\ln(x))’ \cdot x \\
(\ln(x))’ &= \frac{1}{x}
\end{align*}
Dérivée de \( \ln(u) \)
Soit \( u \) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \( I \). La fonction \( x \mapsto \ln(u(x)) \) est dérivable sur \( I \) et :
Sens de variation et signe de la dérivée
Puisque \( (\ln(x))’ = \dfrac{1}{x} > 0 \) pour tout \( x > 0 \), la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \( \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \).
Attention : La fonction \( \ln(u) \) a le même sens de variation que la fonction \( u \) sur tout intervalle où \( u \) est strictement positive et dérivable. En effet, \( (\ln(u))’ \) et \( u’ \) ont le même signe.
Limites et Croissances Comparées
Limites aux bornes du domaine
\[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \]
Théorème des croissances comparées
Le logarithme népérien croît moins rapidement que toute puissance positive de \( x \). Pour tout \( \alpha > 0 \) :
\[ \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln(x) = 0 \]
En particulier, pour \( \alpha = 1 \) :
Limite remarquable en 0
Cette limite est fondamentale et découle directement de la définition de la dérivée de \( \ln \) en \( x = 1 \).
Étude Complète de la Fonction Logarithme
Tableau de variations
Récapitulons les propriétés de la fonction \( f(x) = \ln(x) \) :
- Domaine de définition : \( D_f = \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \)
- Dérivée : \( f'(x) = \dfrac{1}{x} > 0 \) sur \( D_f \)
- Sens de variation : Strictement croissante
- Limites : \( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \) et \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
- Concavité : \( f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0 \), donc \( f \) est strictement concave
Signe de \( \ln(x) \)
Puisque \( \ln \) est strictement croissante et \( \ln(1) = 0 \) :
- \( \ln(x) < 0 \) pour \( 0 < x < 1 \)
- \( \ln(x) = 0 \) pour \( x = 1 \)
- \( \ln(x) > 0 \) pour \( x > 1 \)
Le Logarithme Décimal et Changement de Base
Définition du logarithme décimal
Le logarithme décimal, noté \( \log \) ou \( \log_{10} \), est le logarithme de base 10. Il s’exprime en fonction du logarithme népérien par :
Formule générale de changement de base
Pour tout réel \( a > 0 \) et \( a \neq 1 \), le logarithme de base \( a \) est défini par :
Cette formule permet de calculer un logarithme dans n’importe quelle base à partir du logarithme népérien.
Propriété importante
Applications Concrètes du Logarithme
La fonction logarithme intervient dans de nombreux domaines scientifiques et pratiques. Explorons quelques applications majeures.
L’échelle de Richter (Séismologie)
L’intensité des séismes est mesurée par la magnitude de Richter, définie par une échelle logarithmique. Si \( I \) représente l’intensité d’un séisme et \( I_0 \) une intensité de référence, la magnitude \( M \) est donnée par :
Une augmentation d’une unité sur l’échelle de Richter correspond à une multiplication par 10 de l’intensité du séisme. Un séisme de magnitude 7 est donc 10 fois plus intense qu’un séisme de magnitude 6, et 100 fois plus qu’un séisme de magnitude 5.
Le pH en chimie
Le pH (potentiel hydrogène) mesure l’acidité ou la basicité d’une solution. Il est défini par :
où \( [\text{H}_3\text{O}^+] \) désigne la concentration en ions hydronium (en mol/L). Une solution neutre à 25°C a un pH de 7, correspondant à \( [\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-7} \) mol/L.
Les décibels (Acoustique)
L’intensité sonore est mesurée en décibels (dB), une échelle logarithmique. Si \( I \) est l’intensité acoustique et \( I_0 \) l’intensité de référence (seuil d’audibilité), le niveau sonore \( L \) en décibels est :
Chaque augmentation de 10 dB correspond à une multiplication par 10 de l’intensité sonore perçue.
Croissance exponentielle et datation
En biologie et en archéologie, les logarithmes permettent de résoudre des équations de croissance exponentielle. Par exemple, pour déterminer le temps \( t \) nécessaire pour qu’une population double, on résout :
Équations et Inéquations Logarithmiques
Résolution d’équations
La stricte croissance de la fonction logarithme népérien permet de résoudre facilement des équations.
Propriété fondamentale
Pour tous réels \( a \) et \( b \) strictement positifs :
Pour résoudre \( \ln(x) = k \) où \( k \in \mathbb{R} \) :
Résolution d’inéquations
Puisque \( \ln \) est strictement croissante :
Exemple résolu 1 : Équation avec produit
Résoudre : \( \ln(x) + \ln(x+1) = \ln(6) \)
Solution :
\ln(x) + \ln(x+1) &= \ln(6) \\
\ln(x(x+1)) &= \ln(6) \quad \text{(propriété du produit)} \\
x(x+1) &= 6 \\
x^2 + x – 6 &= 0 \\
(x+3)(x-2) &= 0
\end{align*}
Les solutions de l’équation du second degré sont \( x = -3 \) et \( x = 2 \).
Or, le logarithme n’est défini que pour \( x > 0 \) et \( x + 1 > 0 \), donc \( x > 0 \).
Conclusion : L’unique solution est \( x = 2 \).
Exemple résolu 2 : Inéquation
Résoudre : \( \ln(2x – 1) > \ln(x + 3) \)
Solution :
Condition d’existence : \( 2x – 1 > 0 \) et \( x + 3 > 0 \), donc \( x > \dfrac{1}{2} \).
\ln(2x – 1) &> \ln(x + 3) \\
2x – 1 &> x + 3 \quad \text{(car } \ln \text{ est croissante)} \\
x &> 4
\end{align*}
Conclusion : L’ensemble des solutions est \( S = \mathopen]4 \mathclose; +\infty\mathclose[ \).
Exercices Corrigés
Exercice 1 : Simplification d’expressions
Simplifier : \( A = \ln(8) + \ln(2) – \ln(4) \)
Solution :
A &= \ln(8) + \ln(2) – \ln(4) \\
&= \ln(8 \times 2) – \ln(4) \quad \text{(propriété du produit)} \\
&= \ln(16) – \ln(4) \\
&= \ln\left(\frac{16}{4}\right) \quad \text{(propriété du quotient)} \\
&= \ln(4) \\
&= \ln(2^2) \\
&= 2\ln(2)
\end{align*}
Exercice 2 : Calcul de dérivée
Calculer la dérivée de : \( f(x) = \ln(x^2 + 3x + 1) \) sur son domaine de définition.
Solution :
Posons \( u(x) = x^2 + 3x + 1 \), alors \( u'(x) = 2x + 3 \).
Pour que \( f \) soit définie, il faut \( u(x) > 0 \). Le discriminant de \( u \) est \( \Delta = 9 – 4 = 5 > 0 \), donc \( u \) s’annule en \( x_1 = \dfrac{-3 – \sqrt{5}}{2} \) et \( x_2 = \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2} \).
Puisque le coefficient de \( x^2 \) est positif, \( u(x) > 0 \) sur \( \mathopen]-\infty \mathclose; x_1\mathclose[ \cup \mathopen]x_2 \mathclose; +\infty\mathclose[ \).
Sur ce domaine, la dérivée est :
Exercice 3 : Étude de fonction
Étudier les variations de : \( g(x) = x – \ln(x) \) sur \( \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \).
Solution :
La fonction \( g \) est dérivable sur \( \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \) et :
Étude du signe de \( g'(x) \) :
- Pour \( 0 < x < 1 \) : \( g'(x) < 0 \), donc \( g \) est décroissante
- Pour \( x = 1 \) : \( g'(1) = 0 \), donc \( g \) admet un extremum
- Pour \( x > 1 \) : \( g'(x) > 0 \), donc \( g \) est croissante
La fonction \( g \) admet un minimum en \( x = 1 \), avec \( g(1) = 1 – \ln(1) = 1 \).
Limites :
\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \quad \text{(car } x \text{ croît plus vite que } \ln(x)\text{)} \]
Exercice 4 : Calcul de limite
Calculer : \( \lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) \)
Solution :
Il s’agit d’une forme indéterminée \( 0 \times (-\infty) \). On transforme le produit en quotient :
\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} \\
\end{align*}
Posons \( X = \dfrac{1}{x} \). Quand \( x \to 0^+ \), on a \( X \to +\infty \). Donc :
\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) &= \lim_{X \to +\infty} \frac{\ln\left(\frac{1}{X}\right)}{X} \\
&= \lim_{X \to +\infty} \frac{-\ln(X)}{X} \\
&= -\lim_{X \to +\infty} \frac{\ln(X)}{X} \\
&= 0 \quad \text{(croissances comparées)}
\end{align*}
Conclusion : \( \lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0 \)
Exercice 5 : Résolution d’équation exponentielle
Résoudre : \( e^{2x} – 3e^x + 2 = 0 \)
Solution :
Posons \( X = e^x \) avec \( X > 0 \). L’équation devient :
X^2 – 3X + 2 &= 0 \\
(X – 1)(X – 2) &= 0
\end{align*}
Donc \( X = 1 \) ou \( X = 2 \).
Retour à la variable \( x \) :
e^x = 1 &\Rightarrow x = \ln(1) = 0 \\
e^x = 2 &\Rightarrow x = \ln(2)
\end{align*}
Conclusion : L’ensemble des solutions est \( S = \{0 \mathclose; \ln(2)\} \).
Conclusion et Points Clés à Retenir
La fonction logarithme népérien est un outil mathématique fondamental qui trouve des applications dans de multiples disciplines scientifiques. Sa compréhension approfondie est essentielle pour maîtriser l’analyse mathématique et ses extensions.
Résumé des points essentiels
- Définition : Le logarithme népérien \( \ln \) est la fonction réciproque de l’exponentielle, définie sur \( \mathopen]0 \mathclose; +\infty\mathclose[ \) et à valeurs dans \( \mathbb{R} \).
- Relation fondamentale : Pour tout \( x > 0 \), \( y = \ln(x) \Leftrightarrow e^y = x \).
- Propriétés algébriques : Le logarithme transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits : \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \), \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \), \( \ln(a^n) = n\ln(a) \).
- Dérivée : \( (\ln(x))’ = \dfrac{1}{x} \) et \( (\ln(u))’ = \dfrac{u’}{u} \) pour toute fonction \( u > 0 \).
- Sens de variation : La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur son domaine.
- Limites : \( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \) et \( \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \).
- Croissances comparées : Le logarithme croît moins rapidement que toute puissance positive de \( x \).
- Primitive : Une primitive de \( \dfrac{1}{x} \) est \( \ln|x| \) et une primitive de \( \dfrac{u’}{u} \) est \( \ln|u| \).
- Applications concrètes : Échelle de Richter, pH, décibels, croissance exponentielle, datation au carbone 14.
La maîtrise du logarithme népérien ouvre la voie à l’étude de nombreux phénomènes naturels et permet de résoudre efficacement des problèmes complexes impliquant des croissances exponentielles ou des échelles multiplicatives. Son lien intime avec la fonction exponentielle en fait un pilier incontournable de l’analyse mathématique moderne.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Quelle est la différence entre ln et log ?
Le symbole \( \ln \) désigne le logarithme népérien (ou naturel) de base \( e \approx 2,718 \), tandis que \( \log \) désigne généralement le logarithme décimal de base 10. En France, dans l’enseignement secondaire et supérieur, on utilise principalement le logarithme népérien. La relation entre les deux est : \( \log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)} \).
Pourquoi le logarithme de 1 est-il égal à 0 ?
Par définition, \( \ln(1) = 0 \) car \( e^0 = 1 \). Le logarithme népérien répond à la question : « À quelle puissance faut-il élever \( e \) pour obtenir le nombre donné ? » Pour obtenir 1, il faut élever \( e \) à la puissance 0, d’où \( \ln(1) = 0 \).
Comment calculer la dérivée d’un logarithme népérien ?
La dérivée de \( \ln(x) \) est \( \dfrac{1}{x} \). Pour une fonction composée \( \ln(u(x)) \) où \( u \) est une fonction dérivable et strictement positive, on utilise la formule : \( \bigl(\ln(u(x))\bigr)’ = \dfrac{u'(x)}{u(x)} \). Par exemple, la dérivée de \( \ln(x^2 + 1) \) est \( \dfrac{2x}{x^2 + 1} \).
Peut-on calculer le logarithme d’un nombre négatif ?
Non, dans l’ensemble des nombres réels, le logarithme népérien n’est défini que pour les nombres strictement positifs. Il n’existe aucun nombre réel \( y \) tel que \( e^y \) soit négatif ou nul, car l’exponentielle est toujours strictement positive. Dans le domaine des nombres complexes, on peut définir un logarithme pour les nombres négatifs, mais cela dépasse le cadre du programme de lycée.
Quelles sont les propriétés du logarithme les plus utilisées ?
Les trois propriétés fondamentales sont : (1) Produit : \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \), (2) Quotient : \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \), (3) Puissance : \( \ln(a^n) = n\ln(a) \). Ces propriétés permettent de simplifier considérablement les calculs et de résoudre des équations exponentielles.
À quoi sert le logarithme dans la vie quotidienne ?
Le logarithme est utilisé dans de nombreuses applications pratiques : l’échelle de Richter pour mesurer l’intensité des séismes, les décibels pour mesurer le niveau sonore, le pH pour mesurer l’acidité en chimie, la compression de données en informatique, le calcul d’intérêts composés en finance, et la datation au carbone 14 en archéologie. Partout où des grandeurs varient de manière multiplicative sur plusieurs ordres de grandeur, le logarithme permet une représentation plus lisible.