Produit Scalaire : Cours Complet, Formules et Applications

Définition et Calcul du Produit Scalaire de Deux Vecteurs

Il existe plusieurs manières d’aborder le produit scalaire de deux vecteurs. Le choix de la méthode dépend essentiellement des informations dont vous disposez dans l’énoncé de votre problème : les normes (longueurs), les angles ou les coordonnées.

La Formule Géométrique (Norme et Cosinus)

C’est la définition la plus intuitive pour comprendre le sens physique du produit scalaire. Soient deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) du plan. On appelle produit scalaire de \( \vec{u} \) par \( \vec{v} \), noté \( \vec{u} \cdot \vec{v} \), le nombre réel défini ainsi :

• Si l’un des vecteurs est nul (\( \vec{u} = \vec{0} \) ou \( \vec{v} = \vec{0} \)), alors le produit scalaire est nul : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)
• Dans le cas contraire, la produit scalaire formule fondamentale est:
  \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]

Attention aux notations : Le produit scalaire se note avec un point (\( \vec{u} \cdot \vec{v} \)) et se lit « u scalaire v ». Il ne faut jamais écrire \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{0} \) car le résultat est un nombre réel, pas un vecteur.

Interprétation du signe :

Le signe du résultat dépend exclusivement de l’angle entre les vecteurs, car les normes \( ||\vec{u}|| \) et \( ||\vec{v}|| \) sont toujours positives :

• Si l’angle est aigu (entre 0 et 90°), le cosinus est positif, donc \( \vec{u} \cdot \vec{v} > 0 \).
• Si l’angle est obtus (entre 90° et 180°), le cosinus est négatif, donc \( \vec{u} \cdot \vec{v} < 0 \).
• Cas particuliers de colinéarité :
  • Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires de même sens, l’angle est nul (\( \cos 0 = 1 \)), donc \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \).
  • Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires de sens contraires, l’angle est de \( \pi \) (\( \cos \pi = -1 \)), donc \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \).

Calcul par Projection Orthogonale

Parfois, les angles ne sont pas donnés explicitement, mais la configuration géométrique permet une approche par projection. Cette méthode est souvent plus rapide pour calculer un produit scalaire vecteur dans des figures comme les carrés ou les rectangles.

Soient \( \vec{u} = \vec{OA} \) et \( \vec{v} = \vec{OB} \). Si \( H \) est le projeté orthogonal du point \( B \) sur la droite \( (OA) \), alors le produit scalaire se simplifie :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = \vec{OA} \cdot \vec{OH} \]

Cela revient à multiplier les longueurs algébriques. Si \( \vec{OA} \) et \( \vec{OH} \) sont dans le même sens, le produit est positif. S’ils sont de sens opposés, il est négatif. Cette propriété découle du fait que les vecteurs \( \vec{OA} \) et \( \vec{HB} \) sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul.

Produit Scalaire Coordonnées : La Méthode Analytique

Lorsque le plan est muni d’un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), le calcul du produit scalaire devient purement algébrique, ce qui le rend extrêmement efficace. C’est souvent la méthode privilégiée lorsqu’on cherche des produit scalaire formules simples à programmer ou à calculer rapidement.

Si \( \vec{u} \) a pour coordonnées \( (x; y) \) et \( \vec{v} \) a pour coordonnées \( (x’; y’) \), alors le produit scalaire est la somme des produits des abscisses et des ordonnées :

Démonstration :
Cette formule repose sur la décomposition des vecteurs dans la base orthonormée.
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (x\vec{i} + y\vec{j}) \cdot (x’\vec{i} + y’\vec{j}) \).
En développant, on utilise le fait que \( ||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 \) et que \( \vec{i} \cdot \vec{j} = 0 \) (car le repère est orthogonal).

Propriétés Algébriques et Identité Remarquable Produit Scalaire

Le produit scalaire hérite de nombreuses propriétés de la multiplication réelle, ce qui permet de manipuler les expressions vectorielles avec aisance.

Symétrie et Bilinéarité

L’ordre des vecteurs n’importe pas, c’est la propriété de symétrie :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \]
La démonstration repose sur la parité de la fonction cosinus, car \( \cos(x) = \cos(-x) \).

De plus, le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition vectorielle (bilinéarité) :
\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \]
Et compatible avec la multiplication par un réel \( k \) : \( \vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) \).

Carré Scalaire et Norme

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est appelé carré scalaire. Il est noté \( \vec{u}^2 \).
D’après la définition, \( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{u}|| \times \cos(0) = ||\vec{u}||^2 \).
Ainsi, le carré scalaire est égal au carré de la norme : \( \vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2 \).
Cette propriété est cruciale car elle permet de transformer des expressions vectorielles en calculs de longueurs.

Les Identités Remarquables Vectorielles

Comme pour les nombres réels, il existe une identité remarquable produit scalaire pour les vecteurs. Pour tous vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), on a:

1. \( (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2 \)
2. \( (\vec{u} – \vec{v})^2 = \vec{u}^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2 \)
3. \( (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} – \vec{v}) = \vec{u}^2 – \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 – ||\vec{v}||^2 \)

La démonstration de la deuxième identité se fait par double distributivité :
\( (\vec{u} – \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} – \vec{u} \cdot \vec{v} – \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} \).

Formules de Polarisation

À partir des identités remarquables, on peut isoler le produit scalaire pour l’exprimer uniquement en fonction des normes. C’est très utile si l’on connaît les longueurs des côtés d’un triangle mais pas les angles.
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 – ||\vec{u}||^2 – ||\vec{v}||^2 \right) \]
ou encore
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 – ||\vec{u} – \vec{v}||^2 \right) \]

Produit Scalaire, Espace Euclidien et Applications Géométriques

Le produit scalaire est l’outil central de l’espace euclidien. Il permet de généraliser des théorèmes connus comme Pythagore et de résoudre des problèmes métriques complexes.

Orthogonalité des Vecteurs

C’est sans doute l’application la plus fréquente. Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul.
\[ \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
Cette équivalence permet de démontrer qu’un triangle est rectangle ou que deux droites sont perpendiculaires simplement en vérifiant une équation algébrique.

Théorème d’Al Kashi (Pythagore Généralisé)

Le théorème d’Al Kashi permet de calculer le troisième côté d’un triangle quelconque connaissant deux côtés et l’angle inclus. C’est une extension directe du théorème de Pythagore. Pour un triangle ABC :

On remarque que si le triangle est rectangle en A, l’angle est de 90° et \( \cos(90°) = 0 \), on retombe donc sur \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \) (Pythagore). Cette formule est essentielle dans les produit scalaire exercices corrigés sur les triangles quelconques.

Théorème de la Médiane

Ce théorème relie les longueurs des côtés d’un triangle à la longueur de sa médiane. Soient A et B deux points et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan, on a la relation :
\[ MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{1}{2}AB^2 \]
Cette formule est très utilisée pour calculer la longueur d’une médiane sans passer par des coordonnées complexes.

Relations Métriques dans le Triangle Rectangle

Si ABC est un triangle rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur (BC), le produit scalaire permet d’établir des relations comme :
\( AH^2 = HB \times HC \) ou \( AB^2 = BH \times BC \). Ces relations sont des outils puissants pour la géométrie de construction.

Produit Scalaire Exercices Corrigés et Exemples Détaillés

Pour bien maîtriser ce cours, rien ne vaut la pratique. Voici des exemples concrets tirés de situations classiques.

Synthèse : Points Clés à Retenir

Le le produit scalaire cours et ses applications sont vastes. Que ce soit pour vérifier une orthogonalité, calculer une longueur via Al Kashi, ou déterminer un angle, cet outil est incontournable. Il se distingue du produit vectoriel (qui donne un vecteur et s’applique dans l’espace 3D) par sa nature scalaire. Maîtriser les formules produits scalaires présentées ici vous assurera une base solide pour la géométrie dans l’espace et les mathématiques supérieures.

• Le produit scalaire associe un nombre réel à deux vecteurs
• La formule géométrique utilise l’angle : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\)
• La formule en coordonnées simplifie les calculs : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’\)
• Deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul
• Les identités remarquables accélèrent les démonstrations
• Le théorème d’Al-Kashi étend Pythagore aux triangles quelconques
• La projection orthogonale offre une interprétation géométrique intuitive