Chaînes de Markov et matrices de transition Terminale : 10 exercices corrigés

Le cours de Chaînes de Markov et matrices de transition prépare la construction d'une matrice de transition à partir d'une chaîne de Markov et le contrôle de chaque distribution de probabilité.

Les problèmes font évoluer un état probabiliste, recherchent une distribution invariante et ramènent certains modèles à une récurrence affine dont la limite est interprétée.

Construire et faire évoluer

Contrôler que chaque ligne somme à 1.

Exercice 1 : Compléter une matrice

Facile

Depuis A, on reste en A avec 0,7 ; depuis B, on passe en A avec 0,2.

  1. Écrire la matrice dans l'ordre A, B.
  2. Contrôler les lignes.
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  1. P=(0,70,30,20,8)P=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}3\\0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}.
  2. Chaque ligne a des coefficients positifs de somme 1.

Exercice 2 : Une étape

Facile

On prend π0=(0,6;0,4)\pi_0=(0{,}6;0{,}4) et P=(0,80,20,30,7)P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}.

  1. Calculer π1\pi_1.
  2. Interpréter.
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  1. π1=π0P=(0,6;0,4)\pi_1=\pi_0P=(0{,}6;0{,}4).
  2. La distribution initiale est déjà invariante.

Exercice 3 : Deux étapes

Moyen

Avec la même matrice P, on part de π0=(1;0)\pi_0=(1;0).

  1. Calculer π1\pi_1.
  2. Calculer π2\pi_2.
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  1. π1=(0,8;0,2)\pi_1=(0{,}8;0{,}2).
  2. π2=(0,8;0,2)P=(0,70;0,30)\pi_2=(0{,}8;0{,}2)P=(0{,}70;0{,}30).

Exercice 4 : Trois états

Moyen

Une matrice P a pour lignes (0,5;0,5;0)(0{,}5;0{,}5;0), (0,2;0,5;0,3)(0{,}2;0{,}5;0{,}3), (0;0,4;0,6)(0;0{,}4;0{,}6).

  1. Vérifier que P est une matrice de transition.
  2. Depuis le premier état, quelle est la probabilité d'être au troisième après une étape ?
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  1. Tous les coefficients sont positifs ou nuls et chaque ligne somme à 1.
  2. Le coefficient p13p_{13} vaut 0.

Invariance et comportement à long terme

Relier matrice et suite affine.

Exercice 5 : Distribution invariante

Moyen

On reprend P=(0,80,20,30,7)P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}.

  1. Écrire l'équation sur la première coordonnée x.
  2. Résoudre et donner la distribution.
  3. Vérifier l'invariance par un produit matriciel.
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  1. x=0,8x+0,3(1−x)x=0{,}8x+0{,}3(1-x).
  2. 0,5x=0,30{,}5x=0{,}3, donc π=(0,6;0,4)\pi=(0{,}6;0{,}4).
  3. (0,6;0,4)P=(0,48+0,12;0,12+0,28)=(0,6;0,4)(0{,}6;0{,}4)P=(0{,}48+0{,}12;0{,}12+0{,}28)=(0{,}6;0{,}4).

Exercice 6 : Récurrence affine

Moyen

La probabilité xnx_n du premier état vérifie xn+1=0,5xn+0,3x_{n+1}=0{,}5x_n+0{,}3.

  1. Trouver le point fixe.
  2. Exprimer xnx_n.
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  1. ℓ=0,5ℓ+0,3\ell=0{,}5\ell+0{,}3, donc ℓ=0,6\ell=0{,}6.
  2. xn−0,6=0,5n(x0−0,6)x_n-0{,}6=0{,}5^n(x_0-0{,}6), donc xn=0,6+0,5n(x0−0,6)x_n=0{,}6+0{,}5^n(x_0-0{,}6).

Exercice 7 : Limite de la distribution

Moyen

On suppose x0∈[0,1]x_0\in[0,1] et la relation précédente.

  1. Déterminer la limite de xnx_n.
  2. Donner la limite de la distribution.
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  1. Comme 0,5n→00{,}5^n\to0, xn→0,6x_n\to0{,}6.
  2. πn→(0,6;0,4)\pi_n\to(0{,}6;0{,}4).

Exercice 8 : Détecter une convention incohérente

Difficile

Un élève utilise des distributions lignes mais calcule Pπ0P\pi_0.

  1. Expliquer l'erreur de dimensions.
  2. Donner un contrôle probabiliste.
  3. Comment valider la première étape indépendamment ?
Indication
Comparer le calcul matriciel avec un arbre à une étape.
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  1. Une distribution ligne se multiplie à gauche : π0P\pi_0P. Le produit Pπ0P\pi_0 attendrait une colonne.
  2. Le résultat correct doit avoir des coefficients positifs de somme 1.
  3. Calculer chaque probabilité par la formule des probabilités totales sur le graphe.

Modéliser et contrôler

Traduire un contexte avant d'étudier son comportement.

Exercice 9 : Fidélité à un service

Difficile

Chaque mois, 75 % des abonnés restent clients et 40 % des non-clients s'abonnent. On note xnx_n la proportion de clients.

  1. Écrire la matrice de transition dans l'ordre client, non-client.
  2. Établir la récurrence vérifiée par xnx_n.
  3. Déterminer la proportion d'équilibre.
  4. Expliquer pourquoi la suite converge vers cette valeur.
Indication
Écrire séparément les arrivées depuis chacun des deux états.
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  1. P=(0,750,250,400,60)P=\begin{pmatrix}0{,}75&0{,}25\\0{,}40&0{,}60\end{pmatrix}.
  2. xn+1=0,75xn+0,40(1−xn)=0,35xn+0,40x_{n+1}=0{,}75x_n+0{,}40(1-x_n)=0{,}35x_n+0{,}40.
  3. Le point fixe vérifie x=0,35x+0,40x=0{,}35x+0{,}40, donc x=8/13x=8/13, soit environ 61,5 %.
  4. xn+1−8/13=0,35(xn−8/13)x_{n+1}-8/13=0{,}35(x_n-8/13), et 0,35n0{,}35^n tend vers 0.

Exercice 10 : Deux étapes avec trois états

Moyen

On reprend la matrice dont les lignes sont (0,5;0,5;0)(0{,}5;0{,}5;0), (0,2;0,5;0,3)(0{,}2;0{,}5;0{,}3) et (0;0,4;0,6)(0;0{,}4;0{,}6).

  1. Calculer la première ligne de P2P^2.
  2. Interpréter le dernier coefficient.
  3. Contrôler le résultat.
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  1. Elle vaut (0,35;0,50;0,15)(0{,}35;0{,}50;0{,}15).
  2. En partant du premier état, la probabilité d'être au troisième après deux étapes est 0,15.
  3. Les trois coefficients sont positifs et leur somme vaut 1.
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