Équations différentielles Terminale : 8 exercices corrigés

L’inconnue d’une équation différentielle est une fonction. Il faut vérifier une identité sur tout l’intervalle, puis imposer une condition initiale si l’on cherche une solution particulière.

Les exercices restent dans les familles du programme : équation homogène, second membre constant et solution particulière fournie. Un modèle de refroidissement permet d’interpréter la limite obtenue.

Solution générale et condition initiale

Exercice 1 : Décroissance exponentielle

Facile
On résout y′=−2yy'=-2y sur R\mathbb R.
  1. Donner toutes les solutions.
  2. Déterminer celle qui vérifie y(0)=3.
  3. Calculer sa limite en +∞.
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  1. Les solutions sont y(x)=Ce−2xy(x)=Ce^{-2x}, avec C∈RC\in\mathbb R.
  2. La condition impose C=3C=3, donc y(x)=3e−2xy(x)=3e^{-2x}.
  3. Comme e−2x→0e^{-2x}\to0, la solution tend vers 0.

Exercice 2 : Second membre constant

Moyen
On considère y′=3y−6y'=3y-6 et y(0)=5y(0)=5.
  1. Trouver une solution constante.
  2. Donner la solution qui vérifie la condition initiale.
  3. La solution reste-t-elle au-dessus de la solution constante ?
Indication
Soustraire la solution constante à une solution quelconque.
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  1. Une constante c vérifie 0=3c−60=3c-6, donc c=2c=2.
  2. z=y−2z=y-2 satisfait z′=3zz'=3z. Ainsi y=2+Ce3xy=2+Ce^{3x}. Avec y(0)=5y(0)=5, C=3C=3, donc y(x)=2+3e3xy(x)=2+3e^{3x}.
  3. Oui, car y(x)−2=3e3x>0y(x)-2=3e^{3x}\gt 0 pour tout réel x.

Vérification et modèle

Exercice 3 : Une solution particulière fournie

Moyen
On étudie y′=y+xy'=y+x. On propose p(x)=−x−1p(x)=-x-1 comme solution particulière.
  1. Vérifier que p est une solution.
  2. Montrer que y est solution si et seulement si z=y-p satisfait z’=z.
  3. Déterminer la solution avec y(0)=0.
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  1. p′=−1p'=-1 et p+x=−1p+x=-1, donc p vérifie l’équation.
  2. z′=y′−p′=(y+x)−(p+x)=y−p=zz'=y'-p'=(y+x)-(p+x)=y-p=z. Réciproquement, si z′=zz'=z, alors y=p+zy=p+z vérifie y′=y+xy'=y+x.
  3. z=Cexz=Ce^x, donc y=−x−1+Cexy=-x-1+Ce^x. La condition donne C=1C=1, ainsi y=ex−x−1y=e^x-x-1.

Exercice 4 : Refroidissement

Difficile
La température, en degrés Celsius, vérifie T′=−0,2(T−20)T'=-0,2(T-20) pour t≥0t\geq0, où t est en minutes, avec T(0)=80T(0)=80.
  1. Déterminer T(t).
  2. Étudier les variations et la limite de T.
  3. À partir de quel instant la température est-elle au plus 30 °C ?
Indication
Le seuil porte sur T-20. Attention au sens de l’inégalité après division par un nombre négatif.
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  1. T−20T-20 vérifie z′=−0,2zz'=-0,2z, donc T(t)=20+Ce−0,2tT(t)=20+Ce^{-0,2t}. Avec la condition initiale, C=60C=60.
  2. T′(t)=−12e−0,2t<0T'(t)=-12e^{-0,2t}\lt 0 : T décroît et tend vers 20 °C, sans atteindre cette valeur à un instant fini.
  3. T(t)≤30T(t)\leq30 équivaut à e−0,2t≤1/6e^{-0,2t}\leq1/6, puis à t≥5ln⁡6≈8,96t\geq5\ln6\approx8,96 minutes.

Construire et identifier une solution

La forme générale est reliée à une vérification et à l'identification des coefficients.

Exercice 5 : Une solution particulière à construire

Moyen
On étudie y′=y+exy'=y+e^x sur les réels.
  1. Vérifier que p(x)=xexp(x)=xe^x est une solution particulière.
  2. Montrer que toute solution s'écrit y(x)=(x+C)exy(x)=(x+C)e^x.
  3. Déterminer la solution vérifiant y(0)=2y(0)=2.
Indication
Soustraire p à une solution quelconque pour faire disparaître le second membre.
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  1. p′(x)=(x+1)exp'(x)=(x+1)e^x, et p(x)+ex=(x+1)exp(x)+e^x=(x+1)e^x. La fonction p est bien solution.
  2. Si z=y−pz=y-p, alors z′=y′−p′=y+ex−(p+ex)=zz'=y'-p'=y+e^x-(p+e^x)=z. Donc z=Cexz=Ce^x et y=(x+C)exy=(x+C)e^x.
  3. y(0)=C=2y(0)=C=2. La solution est y(x)=(x+2)exy(x)=(x+2)e^x.

Exercice 6 : Retrouver les coefficients

Difficile
La fonction y(x)=4−3e−2xy(x)=4-3e^{-2x} est solution d'une équation y′=ay+by'=ay+b, où a et b sont constants.
  1. Calculer y'.
  2. Identifier a et b en comparant les termes constants et exponentiels.
  3. Déterminer la solution constante de l'équation et interpréter la limite de y en +∞+\infty.
Indication
Écrire ay+b=(4a+b)−3ae−2xay+b=(4a+b)-3ae^{-2x}.
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  1. y′(x)=6e−2xy'(x)=6e^{-2x}.
  2. On doit avoir −3a=6-3a=6, donc a=−2a=-2, puis 4a+b=04a+b=0, donc b=8b=8. L'équation est y′=−2y+8y'=-2y+8.
  3. Une solution constante c vérifie 0=−2c+80=-2c+8, donc c=4c=4. Comme l'exponentielle tend vers 0, y tend vers cet équilibre 4.

Approximer et modéliser

Une méthode numérique est distinguée d'une résolution exacte, puis les paramètres d'un modèle sont déterminés par les données.

Exercice 7 : Deux pas de la méthode d’Euler

Moyen
On considère y′=0,5yy'=0,5y, y(0)=2y(0)=2. On applique la méthode d'Euler avec un pas h=0,2h=0,2.
  1. Calculer les approximations de y(0,2)y(0,2) et y(0,4)y(0,4).
  2. Donner la solution exacte.
  3. Comparer l'approximation et la valeur exacte en 0,4.
Indication
La mise à jour d'Euler est yn+1=yn+h×0,5yny_{n+1}=y_n+h\times0,5y_n.
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  1. y1=2+0,2×0,5×2=2,2y_1=2+0,2\times0,5\times2=2,2, puis y2=2,2+0,2×0,5×2,2=2,42y_2=2,2+0,2\times0,5\times2,2=2,42.
  2. La solution exacte est y(t)=2e0,5ty(t)=2e^{0,5t}.
  3. y(0,4)=2e0,2≈2,443y(0,4)=2e^{0,2}\approx2,443. Après deux pas, Euler sous-estime ici la valeur d'environ 0,023.

Exercice 8 : Déterminer une constante de décroissance

Difficile
Une quantité Q vérifie Q′=−kQQ'=-kQ, avec k>0k\gt 0. On mesure Q(0)=120Q(0)=120 et Q(6)=90Q(6)=90. Le temps est exprimé en heures.
  1. Exprimer Q(t) en fonction de k.
  2. Déterminer la valeur exacte de k.
  3. Calculer l'instant à partir duquel la quantité devient inférieure ou égale à 60.
Indication
Utiliser d'abord le rapport Q(6)/Q(0)Q(6)/Q(0), puis prendre le logarithme.
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  1. Q(t)=120e−ktQ(t)=120e^{-kt}.
  2. 90=120e−6k90=120e^{-6k}, donc e−6k=3/4e^{-6k}=3/4 et k=ln⁡(4/3)/6k=\ln(4/3)/6.
  3. Q(t)≤60Q(t)\leq60 équivaut à e−kt≤1/2e^{-kt}\leq1/2, donc t≥ln⁡2/k=6ln⁡2/ln⁡(4/3)≈14,46t\geq\ln2/k=6\ln2/\ln(4/3)\approx14,46 heures.
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