Produit scalaire Première : formules, orthogonalité et Al-Kashi

Le produit scalaire en Première relie longueurs, angles et coordonnées. Il transforme l'orthogonalité en une égalité numérique et fournit plusieurs formules équivalentes adaptées aux données d'un problème.

Le choix de la formule est essentiel : coordonnées dans un repère orthonormé, normes et cosinus pour un angle, projection pour une configuration, ou identité de polarisation lorsque seules des longueurs sont connues.

Définir le produit scalaire par projection et cosinus

Projection, norme et angle

Pour deux vecteurs non nuls u⃗\vec u et v⃗\vec v formant un angle θ\theta, leur produit scalaire vaut ∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta. Il est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus.

Interpréter le signe par la projection orthogonale

Projeter v sur la direction de u donne une longueur algébrique. Si la projection suit le sens de u, le produit est positif ; si elle est opposée, il est négatif ; si elle est nulle, les vecteurs sont orthogonaux.

Projection d'un vecteur pour calculer un produit scalaire
Le produit scalaire relie les normes, l'angle et la projection orthogonale d'un vecteur sur l'autre.

Choisir une expression équivalente du produit scalaire

Quatre écritures équivalentes

Dans une base orthonormée, si u⃗(x;y)\vec u(x;y) et v⃗(x′;y′)\vec v(x';y'), alors u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'. Le produit est symétrique et bilinéaire. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ.\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta.

Démontrer la formule d’Al-Kashi avec les vecteurs

Al-Kashi issu d’une identité vectorielle

Dans un triangle, BC→=BA→+AC→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}. En développant le carré de la norme par bilinéarité, on obtient BC2=BA2+AC2+2 BA→⋅AC→BC^2=BA^2+AC^2+2\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}. L'orientation transforme le dernier terme en −2AB×ACcos⁡(A^)-2AB\times AC\cos(\widehat A).

Choisir la formule adaptée à une configuration

  1. Lister les données : coordonnées, longueurs, angle ou projection.
  2. Orienter les vecteurs et vérifier qu'ils représentent l'angle voulu.
  3. Employer la formule qui utilise directement les données disponibles.
  4. Isoler la longueur ou le cosinus recherché puis contrôler son domaine.
  5. Traduire le résultat en orthogonalité, angle ou distance.

Calculer un angle à partir des coordonnées

On considère u⃗=(3;1)\vec u=(3;1) et v⃗=(1;2)\vec v=(1;2). On cherche l'angle θ\theta entre les deux vecteurs.

  1. u⃗⋅v⃗=3×1+1×2=5\vec u\cdot\vec v=3\times1+1\times2=5.
  2. ∥u⃗∥=10\|\vec u\|=\sqrt{10} et ∥v⃗∥=5\|\vec v\|=\sqrt5.
  3. cos⁡θ=5105=12\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt5}=\frac1{\sqrt2}.
  4. L'angle est π/4\pi/4, soit 45∘45^\circ.
  5. Le cosinus positif confirme un angle aigu.

Calculer angles, longueurs et lieux géométriques

Le produit scalaire démontre une perpendicularité, calcule un angle et généralise Pythagore avec Al-Kashi. La condition MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 caractérise le cercle de diamètre [AB][AB].

Toutes les formules et démonstrations sont reprises dans le produit scalaire détaillé. Le calcul des angles s'appuie sur les formules trigonométriques.

Les notions travaillées correspondent au cadre défini par le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de produit scalaire Première. Les prolongements signalés servent directement à calculer angles, longueurs et lieux géométriques.

Choisir la formule adaptée aux données

Erreur fréquente : dans un repère non orthonormé, la formule xx′+yy′xx'+yy' n'est pas valable telle quelle. Il faut vérifier le cadre avant de calculer.
Contrôle utile : le cosinus obtenu doit appartenir à [−1;1][-1;1] et son signe doit correspondre à l'allure aiguë, droite ou obtuse de l'angle.
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