Les probabilités en Seconde construisent un modèle sur un univers fini. Les événements sont des ensembles d'issues : le vocabulaire de réunion, d'intersection et de complémentaire donne un sens précis aux mots ou, et et non.
Un tableau ou un arbre aide à dénombrer les issues, mais le modèle doit être annoncé. L'équiprobabilité n'est pas automatique : elle dépend de l'expérience choisie et ne peut être déduite d'un dessin symétrique sans justification.
Décrire univers, issues et événements
Issues, univers et événements
L'univers rassemble toutes les issues possibles d'une expérience. Un événement est une partie de . se réalise si ou se réalise, si les deux se réalisent, et si ne se réalise pas.
Compter des issues avec deux dés distinguables
On lance deux dés équilibrés, l'un rouge et l'autre bleu. est l'événement « somme égale à 7 » et l'événement « le dé rouge montre un nombre pair ».
- L'univers contient 36 couples ordonnés équiprobables.
- A contient 6 couples et B en contient 18.
- A intersection B contient (2;5), (4;3) et (6;1), soit 3 couples.
- .
- Le retrait de l'intersection empêche de compter ces trois couples deux fois.
Construire un modèle probabiliste fini
- Décrire l'expérience et lister les issues sans doublon.
- Définir chaque événement par une phrase puis par l'ensemble de ses issues.
- Choisir un tableau ou un arbre pour organiser le dénombrement.
- Attribuer des probabilités dont la somme sur l'univers vaut 1.
- Traduire la question avec union, intersection ou contraire avant de calculer.
Calculer la probabilité d’une union sans compter deux fois
Réunion, intersection et complémentaire
En additionnant et , les issues de l'intersection sont comptées deux fois. Il faut donc soustraire . Si les événements sont incompatibles, l'intersection est vide et sa probabilité vaut zéro.
Choisir entre tableau et arbre de dénombrement
Un tableau convient à deux critères croisés et rend les intersections visibles dans les cases. Un arbre convient à des choix successifs et montre le nombre de branches. Dans les deux cas, chaque chemin ou case doit correspondre à une issue unique.
Démontrer la formule de l’union par découpage
Découper l’union sans double comptage
L'union se décompose en trois parties incompatibles : , et . La somme additionne la partie commune deux fois. Retirer rétablit une seule contribution.
Relier ensembles, fréquences et probabilités
Les opérations sur les événements réutilisent le vocabulaire ensembliste. Une loi de probabilité transforme des issues en masses dont la somme vaut 1. Les fréquences observées serviront ensuite à confronter le modèle à une expérience réelle.
Les arbres seront prolongés en Première par les probabilités conditionnelles. Les connecteurs utilisés se consolident avec le langage des ensembles et de la logique.
Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de probabilités Seconde. Les prolongements signalés servent directement à relier ensembles, fréquences et probabilités.
Compter chaque issue une seule fois
Erreur fréquente : le mot ou est inclusif en mathématiques : comprend aussi les issues où et se réalisent ensemble, sauf si l'énoncé précise un ou exclusif.
Contrôle utile : vérifier que les probabilités élémentaires sont positives et que leur somme vaut 1 ; sur une union, contrôler si l'intersection est vide ou non.