Variations et extrema Seconde : cours et méthode

Les variations et extrema en Seconde décrivent l'évolution globale d'une fonction. Dire qu'une courbe monte ne suffit pas : la croissance compare l'ordre de toutes les images pour des entrées rangées dans un intervalle.

Un tableau de variations condense cette information, permet de comparer des valeurs sans les calculer et fournit des bornes. Dans une optimisation, le maximum ou le minimum doit ensuite être interprété dans le contexte.

Table des Matières

Définir croissance, décroissance et extremum

Croissance, décroissance et extremum

Une fonction est croissante sur un intervalle si elle conserve l'ordre des entrées ; elle est décroissante si elle l'inverse. Un maximum est une valeur atteinte qui domine toutes les autres images du domaine étudié, et un minimum une valeur atteinte qui leur est inférieure.

Passer de la courbe au tableau sans perdre le domaine

La lecture commence de gauche à droite sur l'axe des abscisses. Une flèche montante indique que les images augmentent lorsque x augmente ; elle ne signifie pas que toutes les images sont positives. Le signe et les variations sont deux informations différentes.

Lecture des variations et des extrema — Les changements de sens de variation repèrent un maximum local et un minimum local sur la courbe.

Exploiter un tableau de variations

Lire une information dans un tableau

Sur un intervalle de croissance, $x_1\lt x_2$ entraîne $f(x_1)\leq f(x_2)$ . Sur un intervalle de décroissance, l'inégalité des images est inversée. Les valeurs aux extrémités et aux changements de sens fournissent les extrema éventuels.

x_1\lt x_2\ \text{et}\ f\ \text{croissante}\quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\leq f(x_2).

Construire et utiliser un tableau de variations

Écrire le domaine et placer les bornes dans l'ordre croissant.
Repérer les intervalles où la courbe monte, descend ou reste constante.
Reporter les valeurs exactes ou approchées aux points clés.
Tracer les flèches sans inventer de valeur entre deux informations connues.
Pour comparer des images, vérifier que les entrées appartiennent au même intervalle de monotonie.

Optimiser l’aire d’un rectangle sous une contrainte

Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Si un côté vaut $x$ , l'autre vaut $10-x$ et l'aire est $A(x)=x(10-x)$ pour $x\in[0;10]$ .

Le domaine physique est $[0;10]$ .
$A(x)=-x^2+10x=25-(x-5)^2$ .
Le carré est positif ou nul, donc $A(x)\leq25$ .
Le maximum 25 est atteint pour $x=5$ .
Le rectangle d'aire maximale est le carré de côté 5 cm.

Distinguer maximum local et maximum sur le domaine

Extremum local ou global

Une valeur peut être la plus grande sur un intervalle restreint sans dominer toute la fonction. La conclusion doit donc toujours préciser le domaine. Dans l'exemple, l'inégalité $A(x)\leq25$ est démontrée pour tout $x\in[0;10]$ .

Comparer, encadrer et optimiser

Les variations encadrent une image lorsque l'entrée appartient à un intervalle. Elles permettent aussi de résoudre graphiquement des inéquations et d'identifier un meilleur coût, une aire maximale ou une distance minimale.

Les méthodes détaillées figurent dans la construction d'un tableau de variations. L'optimisation s'insère ensuite dans l'étude complète d'une fonction.

Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de variations et extrema Seconde. Les prolongements signalés servent directement à comparer, encadrer et optimiser.

Distinguer valeur, antécédent et intervalle

Erreur fréquente : une fonction croissante peut prendre des valeurs négatives. Croissance décrit un ordre, pas un signe, et ne doit pas être confondue avec la position au-dessus de l'axe.

Contrôle utile : pour chaque comparaison, entourer l'intervalle du tableau utilisé et vérifier que les deux entrées s'y trouvent.